BILANGAN KOMPLEKS: PROPERTI, CONTOH, OPERASI - MATEMATIKA - 2025

The bilangan kompleks adalah set numerik yang meliputi bilangan real dan semua akar polinomial termasuk pasang akar angka negatif. Akar ini tidak ada dalam himpunan bilangan real, tetapi dalam bilangan kompleks ada solusinya.

Bilangan kompleks terdiri dari bagian nyata dan bagian yang disebut "imajiner". Bagian nyata disebut a, misalnya, dan bagian imajiner ib, dengan bilangan real a dan b dan "i" sebagai satuan imajiner. Dengan cara ini bilangan kompleks mengambil bentuk:

Gambar 1.- Representasi binomial dari bilangan kompleks dalam bagian nyata dan bagian imajiner. Sumber: Pixabay.

Contoh bilangan kompleks adalah 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Tetapi sebelum mengoperasikannya, mari kita lihat dari mana unit imajiner i berasal, dengan mempertimbangkan persamaan kuadrat ini:

x ² - 10x + 34 = 0

Dimana a = 1, b = -10 dan c = 34.

Saat menerapkan rumus pembeda untuk menentukan solusinya, kami menemukan yang berikut:

Bagaimana cara menentukan nilai √-36? Tidak ada bilangan real yang dikuadratkan menghasilkan besaran negatif. Maka disimpulkan bahwa persamaan ini tidak mempunyai solusi nyata.

Namun, kita bisa menulis ini:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Jika kita mendefinisikan nilai x tertentu seperti itu:

x ² = -1

Begitu:

x = ± √-1

Dan persamaan di atas pasti punya solusi. Oleh karena itu, unit imajiner didefinisikan sebagai:

i = √-1

Sehingga:

√-36 = 6i

Banyak matematikawan kuno bekerja untuk memecahkan masalah serupa, terutama Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) dan Raffaele Bombelli (1526-1572).

Bertahun-tahun kemudian René Descartes (1596-1650) menyebut besaran-besaran itu "imajiner" seperti √-36 dalam contoh. Karena alasan ini √-1 dikenal sebagai satuan imajiner.

Properti bilangan kompleks

-Himpunan bilangan kompleks dilambangkan sebagai C dan mencakup bilangan real R dan bilangan imajiner Im. Kumpulan angka diwakili dalam diagram Venn, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Gambar 2. Diagram Venn kumpulan bilangan. Sumber: F. Zapata.

-Semua bilangan kompleks terdiri dari bagian nyata dan bagian imajiner.

-Jika bagian imajiner dari bilangan kompleks adalah 0, itu adalah bilangan real murni.

-Jika bagian riil dari bilangan kompleks adalah 0, maka bilangan tersebut adalah imajiner murni.

-Dua bilangan kompleks sama jika masing-masing bagian nyata dan bagian imajinernya sama.

-Dengan bilangan kompleks, operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, perkalian, dan peningkatan yang diketahui dilakukan, menghasilkan bilangan kompleks lain.

Representasi bilangan kompleks

Bilangan kompleks dapat direpresentasikan dengan berbagai cara. Inilah yang utama:

- Bentuk binomial

Ini adalah bentuk yang diberikan di awal, di mana z adalah bilangan kompleks, a adalah bagian nyata, b adalah bagian imajiner dan i adalah unit imajiner:

Atau juga:

Salah satu cara untuk membuat grafik bilangan kompleks adalah melalui bidang kompleks yang ditunjukkan pada gambar ini. Sumbu imajiner Im adalah vertikal, sedangkan sumbu nyata adalah horizontal dan dilambangkan sebagai Re.

Bilangan kompleks z direpresentasikan dalam bidang ini sebagai titik koordinat (x, y) atau (a, b), seperti yang dilakukan pada titik-titik bidang nyata.

Jarak dari titik awal ke titik z adalah modulus dari bilangan kompleks yang dilambangkan dengan r, sedangkan φ adalah sudut yang dibuat r dengan sumbu nyata.

Gambar 3. Representasi dari bilangan kompleks dalam bidang kompleks. Sumber: Wikimedia Commons.

Representasi ini terkait erat dengan vektor di bidang nyata. Nilai r sesuai dengan modulus dari bilangan kompleks.

- Bentuk kutub

Bentuk kutub terdiri dari pengungkapan bilangan kompleks dengan memberikan nilai r dan φ. Jika kita melihat gambarnya, nilai r sesuai dengan hipotenusa segitiga siku-siku. Kaki bernilai a dan b, atau x dan y.

Dari bentuk binomial atau binomial, kita dapat berpindah ke bentuk kutub dengan cara:

Sudut φ adalah sudut yang dibentuk oleh ruas r dengan sumbu horizontal atau sumbu imajiner. Ini dikenal sebagai argumen bilangan kompleks. Lewat sini:

Argumen tersebut memiliki nilai tak hingga, dengan mempertimbangkan bahwa setiap belokan berbelok, yang bernilai 2π radian, r menempati posisi yang sama lagi. Dengan cara umum ini, argumen z, dilambangkan dengan Arg (z), diekspresikan seperti ini:

Di mana k adalah bilangan bulat dan digunakan untuk menunjukkan jumlah belokan yang diputar: 2, 3, 4…. Tanda tersebut menunjukkan arah putaran, jika searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam.

Gambar 4. Representasi kutub dari sebuah bilangan kompleks dalam bidang kompleks. Sumber: Wikimedia Commons.

Dan jika kita ingin beralih dari bentuk kutub ke bentuk binomial, kita menggunakan rasio trigonometri. Dari gambar sebelumnya kita dapat melihat bahwa:

x = r cos φ

y = r sin φ

Dengan cara ini z = r (cos φ + i sin φ)

Yang disingkat seperti ini:

z = r cis φ

Contoh bilangan kompleks

Bilangan kompleks berikut diberikan dalam bentuk binomial:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Dan ini dalam bentuk pasangan yang teratur:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Akhirnya, kelompok ini diberikan dalam bentuk kutub atau trigonometri:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Untuk apa mereka?

Kegunaan bilangan kompleks lebih dari sekadar menyelesaikan persamaan kuadrat yang ditunjukkan di awal, karena bilangan kompleks sangat penting dalam bidang teknik dan fisika, terutama dalam:

-Pelajari tentang gelombang elektromagnetik

-Analisis arus dan tegangan bolak-balik

-Pemodelan semua jenis sinyal

-Teori relativitas, di mana waktu diasumsikan sebagai besaran imajiner.

Operasi bilangan kompleks

Dengan bilangan kompleks kita dapat melakukan semua operasi yang dilakukan dengan bilangan real. Beberapa lebih mudah dilakukan jika bilangan tersebut berbentuk binomial, seperti penjumlahan dan pengurangan. Sebaliknya, perkalian dan pembagian lebih sederhana jika dilakukan dengan bentuk kutub.

Mari kita lihat beberapa contoh:

- Contoh 1

Tambahkan z ₁ = 2 + 5i dan z ₂ = -3 -8i

Larutan

Bagian nyata ditambahkan secara terpisah dari bagian imajiner:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Contoh 2

Kalikan z ₁ = 4 cis 45º dan z ₂ = 5 cis 120º

Larutan

Dapat ditunjukkan bahwa hasil perkalian dua bilangan kompleks dalam bentuk kutub atau trigonometri diberikan oleh:

z ₁ . z ₂ = r _1. r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Menurut Ini:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Aplikasi

Penerapan sederhana dari bilangan kompleks adalah mencari semua akar dari persamaan polinomial seperti yang ditunjukkan di awal artikel.

Dalam kasus persamaan x ² - 10x + 34 = 0, dengan menerapkan rumus pembeda, kita memperoleh:

Oleh karena itu solusinya adalah:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Referensi

1. Earl, R. Bilangan kompleks. Diperoleh dari: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1. Diversifikasi. Edisi CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Pemilihan topik Matematika. Publikasi Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Bilangan kompleks. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org