MATRIKS TERBALIK: PERHITUNGAN DAN LATIHAN TERSELESAIKAN - MATEMATIKA - 2025

The invers matriks dari matriks yang diberikan adalah matriks yang dikalikan dengan aslinya memberikan matriks identitas. Matriks invers berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, oleh karena itu penting untuk mengetahui cara menghitungnya.

Matriks sangat berguna dalam fisika, teknik, dan matematika, karena mereka adalah alat yang ringkas untuk memecahkan masalah yang kompleks. Kegunaan matriks ditingkatkan ketika matriks dapat dibalik dan inversnya juga diketahui.

Gambar 1. Matriks 2x2 generik dan matriks inversnya ditampilkan. (Disiapkan oleh Ricardo Pérez)

Di bidang pemrosesan grafis, Big Data, Data Mining, Machine Learning dan lainnya, algoritma yang efisien dan cepat digunakan untuk mengevaluasi matriks invers dari matriks nxn dengan n yang sangat besar, dalam urutan ribuan atau jutaan.

Untuk mengilustrasikan penggunaan matriks invers dalam menangani sistem persamaan linier, kita akan mulai dengan kasus yang paling sederhana: matriks 1 × 1.

Kasus paling sederhana: persamaan linier dari variabel tunggal dianggap: 2 x = 10.

Idenya adalah untuk menemukan nilai x, tetapi akan dilakukan "matriks".

Matriks M = (2) yang mengalikan vektor (x) merupakan matriks 1 × 1 yang menghasilkan vektor (10):

M (x) = (10)

Kebalikan dari matriks M dilambangkan dengan M ^-1 .

Cara umum untuk menulis "sistem linier" ini adalah:

MX = B, di mana X adalah vektor (x) dan B adalah vektor (10).

Secara definisi, matriks invers adalah matriks yang dikalikan dengan matriks asli menghasilkan matriks identitas I:

M ^-1 M = I

Dalam kasus yang dipertimbangkan, matriks M ^-1 adalah matriks (½), yaitu, M ^-1 = (½) karena M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Untuk mencari vektor yang tidak diketahui X = (x), dalam persamaan yang diusulkan, kedua anggota dikalikan dengan matriks invers:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Telah tercapai persamaan dua vektor, yang hanya akan sama jika elemennya sama, yaitu x = 5.

Menghitung invers dari sebuah matriks

Yang memotivasi perhitungan matriks invers adalah menemukan metode universal untuk penyelesaian sistem linier seperti sistem 2x2 berikut:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Mengikuti langkah-langkah kasus 1 × 1, yang dipelajari di bagian sebelumnya, kami menulis sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Gambar 2. Sistem linier dalam bentuk matriks.

Perhatikan bahwa sistem ini ditulis dalam notasi vektor kompak sebagai berikut:

MX = B

dimana

Langkah selanjutnya adalah mencari kebalikan dari M.

Metode 1: Menggunakan Eliminasi Gaussian

Metode eliminasi Gaussian akan diterapkan. Yang terdiri dari melakukan operasi dasar pada baris matriks, operasi ini adalah:

- Mengalikan baris dengan angka bukan nol.

- Menambah atau mengurangi baris lain dari satu baris, atau kelipatan baris lain.

- Tukar barisnya.

Tujuannya adalah, melalui operasi ini, untuk mengubah matriks asli menjadi matriks identitas.

Ketika ini dilakukan, dalam matriks M operasi yang persis sama diterapkan ke matriks identitas. Ketika, setelah beberapa operasi pada baris, M diubah menjadi matriks satuan, maka yang awalnya satuan tersebut akan menjadi matriks kebalikan dari M, yaitu, M ^-1 .

1- Kami memulai proses dengan menulis matriks M dan di sebelahnya matriks unit:

2- Kami menambahkan dua baris dan kami meletakkan hasilnya di baris kedua, dengan cara ini kami mendapatkan nol di elemen pertama dari baris kedua:

3- Kami mengalikan baris kedua dengan -1 untuk mendapatkan 0 dan 1 di baris kedua:

4- Baris pertama dikalikan dengan ½:

5- Yang kedua dan yang pertama ditambahkan dan hasilnya ditempatkan di baris pertama:

6- Sekarang untuk menyelesaikan prosesnya, baris pertama dikalikan dengan 2 untuk mendapatkan matriks identitas di baris pertama dan matriks kebalikan dari matriks asli M di baris kedua:

Artinya:

Solusi sistem

Setelah matriks invers diperoleh, sistem persamaan diselesaikan dengan menerapkan matriks invers ke kedua anggota persamaan vektor kompak:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Yang secara eksplisit terlihat seperti ini:

Kemudian dilakukan perkalian matriks untuk mendapatkan vektor X:

Metode 2: menggunakan matriks terlampir

Dalam metode kedua ini matriks invers dihitung dari matriks adjoint dari matriks A asli .

Misalkan matriks A diberikan oleh:

di mana _{i, j} adalah elemen dalam baris i dan kolom j dari matriks A .

Adjoint dari matriks A akan disebut Adj (A) dan elemen-elemennya adalah:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

di mana Ai, j adalah matriks yang lebih rendah pelengkap diperoleh dengan menghilangkan baris i dan kolom j asli matriks A . Batang ¦ ¦ menunjukkan determinan yang dihitung, yaitu ¦Ai, j¦ adalah determinan dari matriks komplementer minor.

Rumus matriks terbalik

Rumus untuk mencari matriks invers dimulai dari matriks yang berdampingan dari matriks asli adalah sebagai berikut:

Apakah, matriks kebalikan dari A , A ^-1 , adalah transpos dari adjoint dari A dibagi dengan determinan A .

Transposisi A ^T dari matriks A diperoleh dengan menukar baris dengan kolom, yaitu baris pertama menjadi kolom pertama dan baris kedua menjadi kolom kedua dan seterusnya hingga n baris matriks asli selesai dibuat.

Latihan diselesaikan

Biarkan matriks A menjadi sebagai berikut:

Setiap elemen dari matriks adjoint A dihitung: Adj (A)

Sehingga matriks adjoin dari A, Adj (A) adalah sebagai berikut:

Kemudian determinan matriks A, det (A) dihitung:

Akhirnya matriks kebalikan dari A diperoleh:

Referensi

1. Anthony Nicolaides (1994) Penentu & Matriks. Lulus Publikasi.
2. Awol Assen (2013) Studi tentang Perhitungan Determinan dari 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Pengantar aljabar linier. Editorial ESIC.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) Matematika 30 Detik: 50 Teori Paling Memperluas Pikiran dalam Matematika. Ivy Press Limited.
7. Matriks. Penerbitan Akademik Lap Lambert.