METODE GAUSS-SEIDEL: PENJELASAN, APLIKASI, CONTOH - MATEMATIKA - 2025

Metode Gauss-Seidel adalah prosedur berulang untuk menemukan solusi perkiraan untuk sistem persamaan aljabar linier dengan presisi yang dipilih secara sewenang-wenang. Metode ini diterapkan pada matriks persegi dengan elemen bukan nol di diagonalnya dan konvergensi dijamin jika matriks tersebut dominan secara diagonal.

Itu dibuat oleh Carl Friedrich Gauss (1777-1855), yang memberikan demonstrasi pribadi kepada salah satu muridnya pada tahun 1823. Itu kemudian secara resmi diterbitkan oleh Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) pada tahun 1874, maka namanya dari kedua ahli matematika.

Gambar 1. Metode Gauss-Seidel melakukan konvergensi dengan cepat untuk mendapatkan solusi dari sistem persamaan. Sumber: F. Zapata.

Untuk memahami metode ini secara lengkap, perlu diketahui bahwa matriks dominan secara diagonal jika nilai absolut elemen diagonal setiap baris lebih besar atau sama dengan jumlah nilai absolut elemen lain pada baris yang sama.

Secara matematis dinyatakan seperti ini:

Penjelasan menggunakan kasus sederhana

Untuk mengilustrasikan terdiri dari apa metode Gauss-Seidel, kita akan mengambil kasus sederhana, di mana nilai X dan Y dapat ditemukan dalam sistem persamaan linier 2x2 yang ditunjukkan di bawah ini:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Langkah-langkah untuk diikuti

1- Pertama-tama, penting untuk menentukan apakah konvergensi aman. Segera diamati bahwa, pada dasarnya, ini adalah sistem yang dominan secara diagonal, karena pada baris pertama koefisien pertama memiliki nilai absolut yang lebih tinggi daripada yang lain di baris pertama:

-5 -> - 2-

Demikian pula, koefisien kedua di baris kedua juga dominan secara diagonal:

--4 -> - 1-

2- Variabel X dan Y dihapus:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- Sebuah nilai awal arbitrer ditempatkan, disebut "seed": Xo = 1, I = 2.

4-Iterasi dimulai: untuk mendapatkan aproksimasi pertama X1, Y1, benih disubstitusi pada persamaan pertama langkah 2 dan hasilnya pada persamaan kedua langkah 2:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Kami melanjutkan dengan cara yang sama untuk mendapatkan pendekatan kedua dari solusi sistem persamaan:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Iterasi ketiga:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Iterasi keempat, sebagai iterasi terakhir dari kasus ilustrasi ini:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Nilai-nilai ini sangat sesuai dengan solusi yang ditemukan oleh metode resolusi lainnya. Pembaca dapat dengan cepat memeriksanya dengan bantuan program matematika online.

Analisis metode

Seperti dapat dilihat, dalam metode Gauss-Seidel, nilai perkiraan yang diperoleh untuk variabel sebelumnya pada langkah yang sama harus diganti dengan variabel berikut. Ini membedakannya dari metode iteratif lain seperti Jacobi, di mana setiap langkah memerlukan perkiraan dari tahap sebelumnya.

Metode Gauss-Seidel bukanlah prosedur paralel, sedangkan metode Gauss-Jordan adalah. Ini juga merupakan alasan bahwa metode Gauss-Seidel memiliki konvergensi yang lebih cepat - dalam langkah yang lebih sedikit - daripada metode Jordan.

Sedangkan untuk kondisi matriks dominan secara diagonal, hal ini tidak selalu terpenuhi. Namun, dalam banyak kasus, hanya menukar baris dari sistem asli sudah cukup untuk memenuhi ketentuan. Lebih lanjut, metode ini hampir selalu menyatu, bahkan ketika kondisi dominasi diagonal tidak terpenuhi.

Hasil sebelumnya, diperoleh dari empat iterasi metode Gauss-Seidel, dapat ditulis dalam bentuk desimal:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

Solusi yang tepat untuk sistem persamaan yang diusulkan adalah:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Jadi hanya dengan 4 iterasi Anda mendapatkan hasil dengan presisi seperseribu (0,001).

Gambar 1 mengilustrasikan bagaimana iterasi yang berurutan dengan cepat menyatu ke solusi yang tepat.

Aplikasi

Metode Gauss-Seidel tidak terbatas pada sistem persamaan linier 2x2 saja. Prosedur sebelumnya dapat digeneralisasikan untuk menyelesaikan sistem linear dari n persamaan dengan n tidak diketahui, yang direpresentasikan dalam matriks seperti ini:

A X = b

Dimana A adalah matriks nxn, sedangkan X adalah vektor n komponen dari n variabel yang akan dihitung; dan b adalah vektor yang berisi nilai-nilai suku independen.

Untuk menggeneralisasi urutan iterasi yang diterapkan dalam kasus ilustrasi ke sistem nxn, dari mana variabel Xi ingin dihitung, rumus berikut akan diterapkan:

Dalam persamaan ini:

- k adalah indeks untuk nilai yang diperoleh dalam iterasi k.

-k + 1 menunjukkan nilai baru berikut ini.

Jumlah akhir dari iterasi ditentukan ketika nilai yang diperoleh dalam iterasi k + 1 berbeda dari yang diperoleh segera sebelumnya, dengan jumlah ε yang merupakan presisi yang diinginkan.

Contoh metode Gauss-Seidel

- Contoh 1

Tulis algoritme umum yang memungkinkan penghitungan vektor solusi perkiraan X dari sistem persamaan linear nxn, dengan menggunakan matriks koefisien A, vektor suku independen b , jumlah iterasi (i ter) dan nilai awal atau "seed "dari vektor X .

Larutan

Algoritme terdiri dari dua siklus "Ke", satu untuk jumlah iterasi dan yang lainnya untuk jumlah variabel. Ini akan menjadi sebagai berikut:

Untuk k ∊

Untuk i ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Contoh 2

Periksa pengoperasian algoritme sebelumnya melalui aplikasinya di perangkat lunak matematika SMath Studio yang gratis dan dapat digunakan, tersedia untuk Windows dan Android. Ambil contoh kasus matriks 2x2 yang membantu kita mengilustrasikan metode Gauss-Seidel.

Larutan

Gambar 2. Solusi sistem persamaan contoh 2x2, menggunakan software SMath Studio. Sumber: F. Zapata.

- Contoh 3

Terapkan algoritma Gauss-Seidel untuk sistem persamaan 3 × 3 berikut, yang sebelumnya telah diurutkan sedemikian rupa sehingga koefisien diagonal dominan (yaitu, nilai absolut lebih besar daripada nilai absolut koefisien dari baris yang sama):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Gunakan vektor nol sebagai benih dan pertimbangkan lima iterasi. Komentari hasilnya.

Larutan

Gambar 3. Solusi sistem persamaan dari contoh 3 diselesaikan, menggunakan SMath Studio. Sumber: F. Zapata.

Untuk sistem yang sama dengan 10 iterasi, bukan 5, diperoleh hasil sebagai berikut: X1 = -0.485; X2 = 1,0123; X3 = -0,3406

Ini memberi tahu kita bahwa lima iterasi sudah cukup untuk mendapatkan ketepatan tiga tempat desimal dan metode tersebut dengan cepat menyatu ke solusi.

- Contoh 4

Dengan menggunakan algoritma Gauss-Seidel yang diberikan di atas, temukan solusi untuk sistem persamaan 4 × 4 yang diberikan di bawah ini:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

Untuk memulai metode ini, gunakan benih ini:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 dan x4 = 0

Pertimbangkan 10 iterasi dan perkirakan kesalahan hasilnya, bandingkan dengan iterasi nomor 11.

Larutan

Gambar 4. Solusi sistem persamaan dari contoh diselesaikan 4, menggunakan SMath Studio. Sumber: F. Zapata.

Saat membandingkan dengan iterasi berikutnya (nomor 11), hasilnya identik. Perbedaan terbesar antara kedua iterasi berada pada urutan 2 × 10 ^-8 , yang berarti bahwa solusi yang ditampilkan memiliki ketepatan setidaknya tujuh tempat desimal.

Referensi

1. Metode solusi berulang. Gauss-Seidel. Diperoleh dari: cimat.mx
2. Metode numerik. Gauss-Seidel. Diperoleh dari: test.cua.uam.mx
3. Numerik: Metode Gauss-Seidel. Diperoleh dari: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Metode Gauss-Seidel. Diperoleh dari: en. wikipedia.com
5. Wikipedia. Metode Gauss-Seidel. Diperoleh dari: es.wikipedia.com