HUKUM MORGAN

L mata Morgan aturan inferensi yang digunakan dalam logika proposisional, yang menetapkan apa hasil menyangkal disjungsi dan konjungsi proposisi atau variabel proposisional. Hukum ini ditentukan oleh matematikawan Augustus De Morgan.

Hukum Morgan merupakan alat yang sangat berguna untuk menunjukkan validitas penalaran matematis. Kemudian mereka digeneralisasikan dalam konsep himpunan oleh ahli matematika George Boole.

Generalisasi yang dibuat oleh Boole ini benar-benar setara dengan hukum awal Morgan, tetapi dikembangkan secara khusus untuk himpunan daripada untuk proposisi. Generalisasi ini juga dikenal sebagai hukum Morgan.

Review logika proposisional

Sebelum melihat apa secara spesifik hukum Morgan dan bagaimana hukum itu digunakan, ada baiknya untuk mengingat beberapa pengertian dasar logika proposisional. (Untuk lebih jelasnya lihat artikel tentang logika proposisional).

Dalam ranah logika matematika (atau proposisional), sebuah kesimpulan adalah kesimpulan yang dikeluarkan dari sekumpulan premis atau hipotesis. Kesimpulan ini, bersama dengan premis-premis yang disebutkan di atas, memunculkan apa yang dikenal sebagai penalaran matematis.

Alasan seperti itu harus dibuktikan atau disangkal; Artinya, tidak semua kesimpulan atau kesimpulan dalam penalaran matematika itu valid.

Kekeliruan

Kesimpulan yang salah yang dibuat dari hipotesis tertentu yang dianggap benar dikenal sebagai kesalahan. Kesalahan memiliki kekhasan menjadi argumen yang tampaknya benar, tetapi secara matematis tidak.

Logika proposisional secara tepat bertanggung jawab untuk mengembangkan dan menyediakan metode yang dengannya, tanpa ambiguitas, penalaran matematis dapat divalidasi atau disangkal; yaitu, simpulkan kesimpulan yang valid dari premis. Metode ini dikenal sebagai aturan inferensi, di mana hukum Morgan menjadi bagiannya.

Proposisi

Unsur-unsur esensial dari logika proposisional adalah proposisi. Proposisi adalah pernyataan yang bisa dikatakan valid atau tidak, tetapi tidak bisa benar atau salah pada saat yang bersamaan. Seharusnya tidak ada ambiguitas dalam hal ini.

Seperti halnya bilangan dapat digabungkan melalui operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, proposisi dapat dioperasikan dengan menggunakan penghubung logis (atau penghubung) yang terkenal: negasi (¬, “tidak”), disjungsi (V , “Atau”), konjungsi (Ʌ, “dan”), bersyarat (→, “jika…, lalu…”) dan bikondisi (↔, “jika, dan hanya jika”).

Untuk bekerja secara lebih umum, daripada mempertimbangkan proposisi tertentu, variabel proposisional yang mewakili proposisi apa pun dipertimbangkan, dan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, s, dll.

Rumus proposisional adalah kombinasi variabel proposisional melalui beberapa penghubung logis. Dengan kata lain, itu adalah komposisi variabel proposisional. Mereka biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani.

Dikatakan bahwa rumus proposisional secara logis menyiratkan yang lain ketika yang terakhir benar setiap kali yang pertama benar. Ini dilambangkan dengan:

Ketika implikasi logis antara dua rumus proposisional adalah timbal balik - yaitu, ketika implikasi sebelumnya juga valid dalam arti yang berlawanan - rumus tersebut dikatakan ekuivalen secara logis, dan dilambangkan dengan

Kesetaraan logis adalah sejenis persamaan antara rumus proposisional dan memungkinkan satu untuk diganti dengan yang lain bila perlu.

Hukum Morgan terdiri dari dua persamaan logis antara dua bentuk proposisional, yaitu:

Hukum-hukum ini memungkinkan pemisahan negasi dari suatu disjungsi atau konjungsi, sebagai negasi dari variabel-variabel yang terlibat.

Yang pertama dapat dibaca sebagai berikut: negasi disjungsi sama dengan konjungsi negasi. Dan yang kedua berbunyi seperti ini: negasi konjungsi adalah disjungsi negasi.

Dengan kata lain, menolak disjungsi dua variabel proposisional sama dengan konjungsi negasi kedua variabel. Demikian pula, menolak konjungsi dua variabel proposisional sama dengan disjungsi negasi kedua variabel.

Seperti disebutkan sebelumnya, mengganti kesetaraan logis ini membantu untuk membuktikan hasil penting, bersama dengan aturan inferensi lain yang ada. Dengan ini, Anda dapat menyederhanakan banyak rumus proposisional, sehingga lebih berguna untuk dikerjakan.

Berikut adalah contoh pembuktian matematis yang menggunakan aturan inferensi, termasuk hukum Morgan. Secara khusus, diperlihatkan bahwa rumus:

Ini setara dengan:

Yang terakhir ini lebih sederhana untuk dipahami dan dikembangkan.

Demonstrasi

Perlu disebutkan bahwa validitas hukum Morgan dapat dibuktikan secara matematis. Salah satu caranya adalah dengan membandingkan tabel kebenaran Anda.

Set

Aturan inferensi yang sama dan gagasan logika yang diterapkan pada proposisi juga dapat dikembangkan dengan mempertimbangkan himpunan. Inilah yang dikenal sebagai aljabar Boolean, diambil dari nama ahli matematika George Boole.

Untuk membedakan kasus, perlu untuk mengubah notasi dan transfer ke himpunan, semua gagasan logika proposisional yang sudah terlihat.

Satu set adalah kumpulan objek. Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital A, B, C, X, … dan elemen dari himpunan dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, x, dll. Ketika sebuah elemen a milik himpunan X, itu dilambangkan dengan:

Jika bukan milik X, notasinya adalah:

Cara merepresentasikan himpunan adalah dengan menempatkan elemennya di dalam tanda kurung. Misalnya, himpunan bilangan asli diwakili oleh:

Set juga dapat direpresentasikan tanpa menulis daftar eksplisit elemennya. Mereka dapat diekspresikan dalam bentuk {:}. Titik dua dibaca "sedemikian rupa". Di sebelah kiri dari dua titik ditempatkan variabel yang mewakili elemen-elemen himpunan, dan di sisi kanan ditempatkan properti atau kondisi yang mereka penuhi. Ini adalah:

Misalnya, kumpulan bilangan bulat yang lebih besar dari -4 dapat dinyatakan sebagai:

Atau dengan kata lain, dan lebih disingkat, sebagai:

Demikian pula, ekspresi berikut mewakili himpunan bilangan ganjil dan genap, masing-masing:

Gabungan, persimpangan, dan pelengkap himpunan

Selanjutnya kita akan melihat analog dari penghubung logis dalam kasus himpunan, yang merupakan bagian dari operasi dasar antar himpunan.

Persatuan dan persimpangan

Gabungan dan perpotongan himpunan masing-masing didefinisikan sebagai berikut:

Misalnya, pertimbangkan set:

Jadi, Anda harus:

Melengkapi

Komplemen suatu himpunan dibentuk oleh unsur-unsur yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut (dari jenis yang sama yang diwakili oleh aslinya). Komplemen dari himpunan A, dilambangkan dengan:

Misalnya, dalam bilangan asli, komplemen dari himpunan bilangan genap adalah bilangan ganjil, dan sebaliknya.

Untuk menentukan komplemen suatu himpunan, himpunan universal atau pokok dari unsur-unsur yang dipertimbangkan harus jelas sejak awal. Sebagai contoh, tidak sama untuk menganggap komplemen dari suatu himpunan atas bilangan asli seperti pada bilangan rasional.

Tabel berikut menunjukkan hubungan atau analogi yang ada antara operasi pada himpunan yang ditentukan sebelumnya, dan hubungan logika proposisional:

Hukum Morgan untuk Set

Akhirnya, hukum Morgan tentang set adalah:

Dengan kata lain: komplemen dari sebuah kesatuan adalah perpotongan dari komplemen, dan komplemen dari sebuah perpotongan adalah gabungan dari komplemen.

Bukti matematis dari persamaan pertama adalah sebagai berikut:

Bukti yang kedua adalah analog.

Referensi

Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Editorial Limusa.
Aylwin, CU (2011). Logika, Set dan Angka. Mérida - Venezuela: Dewan Publikasi, Universidad de Los Andes.
Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Pengantar Teori Bilangan. EUNED.
Castañeda, S. (2016). Kursus dasar teori bilangan. Universitas Utara.
Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Bagaimana Mengembangkan Penalaran Logis Matematis. Rumah Penerbitan Universitas.
Guevara, MH (nd). Teori Bilangan. EUNED.
Zaragoza, AC (sf). Teori bilangan Editorial Vision Libros.

HUKUM MORGAN - MATEMATIKA - 2025