BATAS FERMAT: TERDIRI DARI APA DAN LATIHAN DISELESAIKAN - MATEMATIKA - 2025

Batas Fermat adalah metode numerik yang digunakan untuk mendapatkan nilai kemiringan suatu garis, yang bersinggungan dengan suatu fungsi pada titik tertentu dalam domainnya. Ini juga digunakan untuk mendapatkan titik kritis dari suatu fungsi. Ekspresinya didefinisikan sebagai:

Jelas bahwa Fermat tidak mengetahui dasar-dasar derivasi, namun studinya yang mendorong sekelompok ahli matematika untuk menanyakan tentang garis singgung dan aplikasinya dalam kalkulus.

Berapa batas Fermat?

Ini terdiri dari pendekatan 2 titik, yang dalam kondisi sebelumnya membentuk garis garis potong ke fungsi dengan perpotongan berpasangan nilai.

Dengan mendekati variabel ke nilai "a", pasangan poin dipaksa untuk bertemu. Dengan cara ini, garis potong yang sebelumnya bersinggungan dengan titik (a; f (a)).

Nilai hasil bagi (x - a), ketika dievaluasi pada titik "a", menghasilkan ketidakpastian batas tipe K antara nol (K / 0). Dimana melalui teknik pemfaktoran yang berbeda, ketidakpastian ini dapat dipecahkan.

Teknik operasi yang paling umum digunakan adalah:

-Perbedaan kotak (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); Keberadaan elemen (a - b) menyiratkan dalam banyak kasus faktor yang menyederhanakan ekspresi (x - a) dalam hasil bagi dari limit Fermat.

- Penyelesaian kotak (ax ² + bx); Setelah menyelesaikan kuadrat, diperoleh binomial Newton, di mana salah satu dari 2 faktornya disederhanakan dengan persamaan (x - a), memecahkan ketidakpastian.

- Konjugasi (a + b) / (a ​​+ b); Mengalikan dan membagi ekspresi dengan konjugasi beberapa faktor bisa sangat membantu untuk memecahkan ketidakpastian.

- Faktor umum; Dalam banyak kasus, hasil operasi pembilang batas Fermat f (x) - f (a) menyembunyikan faktor (x - a) yang diperlukan untuk memfaktorkan. Untuk ini, diamati dengan cermat elemen mana yang diulangi di setiap faktor ekspresi.

Penerapan batas Fermat untuk maksimum dan minimum

Meskipun batas Fermat tidak membedakan antara maksimum dan minimum, karena hanya dapat mengidentifikasi titik kritis menurut definisinya, ini biasa digunakan dalam penghitungan kap atau lantai fungsi di bidang.

Pengetahuan dasar tentang teori grafis fungsi dalam hubungannya dengan teorema ini mungkin cukup untuk menetapkan nilai maksimum dan minimum antar fungsi. Faktanya, titik-titik belok dapat ditentukan dengan menggunakan teorema nilai rata-rata di samping teorema Fermat.

Perumpamaan kubik

Paradoks paling signifikan untuk Fermat datang dari mempelajari parabola kubik. Karena perhatiannya diarahkan ke garis singgung suatu fungsi untuk suatu titik tertentu, ia mengalami masalah dalam mendefinisikan garis singgung tersebut pada titik belok dalam fungsi tersebut.

Tampaknya tidak mungkin untuk menentukan garis singgung ke suatu titik. Maka dimulailah penyelidikan yang akan memunculkan kalkulus diferensial. Didefinisikan kemudian oleh eksponen penting matematika.

Maximus dan minimal

Studi tentang fungsi maksimum dan minimum merupakan tantangan bagi matematika klasik, di mana metode yang tidak ambigu dan praktis diperlukan untuk mendefinisikannya.

Fermat membuat metode berdasarkan pengoperasian nilai diferensial kecil, yang setelah proses pemfaktoran, dihilangkan, memberikan jalan ke nilai maksimum dan minimum yang dicari.

Variabel ini harus dievaluasi dalam ekspresi aslinya untuk menentukan koordinat titik tersebut, yang bersama dengan kriteria analitis akan didefinisikan sebagai ekspresi maksimum atau minimum.

metode

Dalam metodenya, Fermat menggunakan simbolisme literal Vieta, yang terdiri dari penggunaan eksklusif huruf kapital: vokal, untuk yang tidak diketahui, dan konsonan untuk besaran yang diketahui.

Untuk kasus nilai radikal, Fermat menerapkan proses tertentu, yang nantinya akan digunakan dalam faktorisasi dari batasan ketidakpastian tak hingga tak hingga.

Proses ini terdiri dari membagi setiap ekspresi dengan nilai diferensial yang digunakan. Dalam kasus Fermat, ia menggunakan huruf E, di mana setelah dibagi dengan pangkat tertinggi E, nilai titik kritis yang dicari menjadi jelas.

Sejarah

Faktanya, batas Fermat adalah salah satu kontribusi paling tidak terkenal dalam daftar panjang ahli matematika. Studinya beralih dari bilangan prima menjadi pada dasarnya menciptakan dasar untuk perhitungan.

Pada gilirannya, Fermat dikenal karena keeksentrikannya sehubungan dengan hipotesisnya. Itu umum baginya untuk meninggalkan semacam tantangan kepada ahli matematika lain pada saat itu, ketika dia sudah memiliki solusi atau bukti.

Dia memiliki berbagai macam perselisihan dan aliansi dengan ahli matematika yang berbeda pada saat itu, yang suka atau benci bekerja dengannya.

Teorema terakhirnya adalah penanggung jawab utama atas ketenarannya di seluruh dunia, di mana ia menyatakan bahwa generalisasi teorema Pythagoras untuk tingkat "n" apa pun adalah mustahil. Dia mengaku memiliki bukti yang sah, tetapi meninggal sebelum dipublikasikan.

Demonstrasi ini harus menunggu kurang lebih 350 tahun. Pada tahun 1995 ahli matematika Andrew Wiles dan Richard Taylor, mengakhiri kecemasan yang ditinggalkan oleh Fermat, membuktikan bahwa dia benar melalui bukti yang valid dari teorema terakhirnya.

Latihan

Latihan 1

Tentukan kemiringan garis singgung kurva f (x) = x ² pada titik (4, 16)

Mengganti ekspresi batas Fermat yang kita miliki:

Faktor (x - 4) disederhanakan

Saat mengevaluasi Anda punya

M = 4 + 4 = 8

Latihan 2

Tentukan titik kritis dari pernyataan f (x) = x ² + 4x menggunakan batas Fermat

Pengelompokan elemen strategis dilakukan, mencari untuk mengelompokkan pasangan XX ₀

Kuadrat terkecil dikembangkan

Amati faktor persekutuan XX _{0 dan ekstrak}

Ekspresi tersebut sekarang dapat disederhanakan dan ketidakpastian dipatahkan

Pada titik-titik minimum diketahui bahwa kemiringan garis singgung sama dengan nol. Dengan cara ini kita dapat menyamakan ekspresi yang ditemukan menjadi nol dan menyelesaikan nilai X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Untuk mendapatkan koordinat yang hilang, Anda hanya perlu mengevaluasi titik dalam fungsi aslinya

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

Titik kritisnya adalah P (-2, -4).

Referensi

1. Analisis Nyata. A Historical Approach Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 Agustus. 1999.
2. Karir Matematika Pierre de Fermat, 1601-1665: Edisi Kedua. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5 Juni. 2018
3. Dari Fermat ke Minkowski: Kuliah tentang Teori Bilangan dan Perkembangan Sejarahnya. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Teorema Terakhir Fermat: Pengantar Genetik untuk Teori Bilangan Aljabar. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 Jan 2000
5. Fermat Days 85: Matematika untuk Optimasi. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1 Januari. 1986