- Asal dan sejarah
- Aristoteles
- Apa yang dipelajari logika matematika?
- Proposisi
- Tabel kebenaran
- Jenis-jenis logika matematika
- Area
- Referensi
The logika matematika atau logika simbolik adalah bahasa matematika yang mencakup alat-alat yang melaluinya orang dapat menegaskan atau menyangkal penalaran matematika.
Diketahui dengan baik bahwa tidak ada ambiguitas dalam matematika. Diberikan argumen matematis, itu valid atau tidak. Itu tidak bisa salah dan benar pada saat bersamaan.
Aspek tertentu dari matematika adalah bahwa ia memiliki bahasa formal dan ketat yang dengannya validitas argumen dapat ditentukan. Apa yang membuat penalaran tertentu atau bukti matematis apa pun tak terbantahkan? Itulah inti dari logika matematika.
Dengan demikian, logika adalah disiplin matematika yang bertanggung jawab untuk mempelajari penalaran dan pembuktian matematika, dan menyediakan alat untuk dapat menyimpulkan kesimpulan yang benar dari pernyataan atau proposisi sebelumnya.
Untuk melakukan ini, digunakan aksioma dan aspek matematika lainnya yang akan dikembangkan nanti.
Asal dan sejarah
Tanggal pasti sehubungan dengan banyak aspek logika matematika tidak pasti. Namun, sebagian besar bibliografi tentang masalah ini menelusuri asalnya ke Yunani kuno.
Aristoteles
Awal dari perlakuan ketat logika dikaitkan, sebagian, untuk Aristoteles, yang menulis serangkaian karya logika, yang kemudian disusun dan dikembangkan oleh filsuf dan ilmuwan yang berbeda, hingga Abad Pertengahan. Ini bisa dianggap sebagai "logika lama".
Kemudian, dalam apa yang dikenal sebagai Zaman Kontemporer, Leibniz, tergerak oleh keinginan yang dalam untuk membangun bahasa universal untuk bernalar secara matematis, dan ahli matematika lain seperti Gottlob Frege dan Giuseppe Peano, secara khusus mempengaruhi perkembangan logika matematika dengan kontribusi yang besar. , di antaranya, Aksioma Peano, yang merumuskan sifat yang sangat diperlukan dari bilangan asli.
Matematikawan George Boole dan Georg Cantor juga sangat berpengaruh saat ini, dengan kontribusi penting dalam teori himpunan dan tabel kebenaran, menyoroti, di antara aspek-aspek lain, Aljabar Boolean (oleh George Boole) dan Aksioma Pilihan (oleh George Cantor).
Ada juga Augustus De Morgan dengan hukum Morgan yang terkenal, yang merenungkan negasi, konjungsi, disjungsi dan kondisional antara proposisi, kunci pengembangan Symbolic Logic, dan Jhon Venn dengan diagram Venn yang terkenal.
Pada abad ke-20, kira-kira antara 1910 dan 1913, Bertrand Russell dan Alfred North Whitehead menonjol dengan terbitan Principia mathematica, seperangkat buku yang mengumpulkan, mengembangkan, dan mendalilkan serangkaian aksioma dan hasil logika.
Apa yang dipelajari logika matematika?
Proposisi
Logika matematika dimulai dengan studi tentang proposisi. Proposisi adalah pernyataan yang dapat dikatakan tanpa ambiguitas apakah benar atau tidak. Berikut adalah contoh proposisi:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- Pada tahun 1930 terjadi gempa bumi di Eropa.
Yang pertama adalah pernyataan yang benar dan yang kedua adalah pernyataan yang salah. Ketiga, meskipun orang yang membacanya mungkin tidak tahu apakah itu benar atau langsung, adalah pernyataan yang dapat diuji dan ditentukan apakah itu benar-benar terjadi atau tidak.
Berikut adalah contoh ekspresi yang bukan proposisi:
- Dia berambut pirang.
- 2x = 6.
- Mari main!
- Apakah kamu suka film
Dalam proposisi pertama, tidak ditentukan siapa "dia", oleh karena itu tidak ada yang dapat ditegaskan. Dalam proposisi kedua, apa yang diwakili oleh "x" belum ditentukan. Jika sebaliknya dikatakan bahwa 2x = 6 untuk beberapa bilangan asli x, dalam hal ini itu akan sesuai dengan proposisi, sebenarnya benar, karena untuk x = 3 itu benar.
Dua pernyataan terakhir tidak sesuai dengan proposisi, karena tidak ada cara untuk menyangkal atau menegaskannya.
Dua atau lebih proposisi dapat digabungkan (atau dihubungkan) menggunakan penghubung logis (atau konektor) yang terkenal. Ini adalah:
- Penolakan: "Ini tidak hujan."
- Perpisahan: "Luisa membeli tas putih atau abu-abu."
- Konjungsi: "4 2 = 16 dan 2 × 5 = 10".
- Syarat: "Jika hujan, maka saya tidak pergi ke gym sore ini."
- Biconditional: "Saya pergi ke gym sore ini jika, dan hanya jika, tidak hujan."
Proposisi yang tidak memiliki penghubung sebelumnya disebut proposisi sederhana (atau atomik). Misalnya, "2 kurang dari 4" adalah proposisi sederhana. Proposisi yang memiliki beberapa ikat disebut proposisi majemuk, seperti "1 + 3 = 4 dan 4 adalah bilangan genap".
Pernyataan yang dibuat dengan proposisi biasanya panjang, jadi membosankan untuk selalu menulisnya seperti yang terlihat selama ini. Untuk alasan ini, bahasa simbolik digunakan. Proposisi biasanya diwakili oleh huruf kapital seperti P, Q, R, S, dll. Dan penghubung simbolik sebagai berikut:
Yang seperti itu
The berbicara dari proposisi bersyarat
adalah proposisi
Dan kontra-timbal balik (atau kontrapositif) dari suatu proposisi
adalah proposisi
Tabel kebenaran
Konsep penting lainnya dalam logika adalah tabel kebenaran. Nilai kebenaran proposisi adalah dua kemungkinan proposisi: benar (yang dilambangkan dengan V dan dikatakan nilai kebenarannya adalah V) atau salah (yang akan dilambangkan dengan F dan akan dikatakan nilainya sebenarnya adalah F).
Nilai kebenaran proposisi majemuk bergantung secara eksklusif pada nilai kebenaran proposisi sederhana yang muncul di dalamnya.
Untuk bekerja secara lebih umum, kita tidak akan mempertimbangkan proposisi spesifik, tetapi variabel proposisional p, q, r, s, dll., Yang akan mewakili proposisi apa pun.
Dengan variabel ini dan penghubung logis, rumus proposisional terkenal terbentuk, sama seperti proposisi majemuk dibangun.
Jika setiap variabel yang muncul dalam rumus proposisional diganti dengan proposisi, maka proposisi majemuk diperoleh.
Di bawah ini adalah tabel kebenaran untuk koneksi logis:
Ada rumus proposisional yang hanya menerima nilai V dalam tabel kebenarannya, yaitu kolom terakhir dari tabel kebenarannya hanya memiliki nilai V. Jenis rumus ini dikenal sebagai tautologi. Sebagai contoh:
Berikut ini adalah tabel kebenaran rumusnya
Rumus α dikatakan secara logis menyiratkan rumus lain β, jika α benar setiap kali β benar. Artinya, dalam tabel kebenaran α dan β, baris di mana α memiliki V, β juga memiliki V. Kita hanya tertarik pada baris di mana α memiliki nilai V. Notasi untuk implikasi logisnya adalah sebagai berikut :
Tabel berikut ini meringkas properti dari implikasi logis:
Dua rumus proposisional dikatakan setara secara logis jika tabel kebenarannya identik. Notasi berikut digunakan untuk mengekspresikan persamaan logis:
Tabel berikut meringkas properti kesetaraan logis:
Jenis-jenis logika matematika
Ada berbagai jenis logika, terutama jika seseorang memperhitungkan logika pragmatis atau informal yang menunjuk pada filsafat, di antara bidang-bidang lain.
Sejauh menyangkut matematika, jenis logika dapat diringkas sebagai:
- Logika formal atau Aristotelian (logika kuno).
- Logika proposisional: bertanggung jawab untuk mempelajari segala sesuatu yang berhubungan dengan validitas argumen dan proposisi menggunakan bahasa formal dan simbolik.
- Logika simbolik: berfokus pada studi himpunan dan propertinya, juga dengan bahasa formal dan simbolik, dan sangat terkait dengan logika proposisional.
- Logika kombinatorial: salah satu yang paling baru dikembangkan, melibatkan hasil yang dapat dikembangkan menggunakan algoritma.
- Pemrograman logis: digunakan dalam berbagai paket dan bahasa pemrograman.
Area
Di antara bidang-bidang yang memanfaatkan logika matematika dengan cara yang sangat diperlukan dalam pengembangan penalaran dan argumen mereka, menonjol filsafat, teori himpunan, teori bilangan, matematika konstruktif aljabar dan bahasa pemrograman.
Referensi
- Aylwin, CU (2011). Logika, Set dan Angka. Mérida - Venezuela: Dewan Publikasi, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Pengantar Teori Bilangan. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Kursus dasar teori bilangan. Universitas Utara.
- Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Bagaimana Mengembangkan Penalaran Logis Matematis. Rumah Penerbitan Universitas.
- Zaragoza, AC (sf). Teori bilangan Editorial Vision Libros.