FUNGSI TRANSENDEN: TIPE, DEFINISI, PROPERTI, CONTOH - MATEMATIKA - 2024

Fungsi dasar transendental adalah fungsi eksponensial, logaritmik, trigonometri, fungsi trigonometri terbalik, fungsi hiperbolik dan hiperbolik terbalik. Artinya, mereka adalah yang tidak dapat diekspresikan dengan polinomial, hasil bagi dari polinomial atau akar polinomial.

Fungsi transenden non-elementer juga dikenal sebagai fungsi khusus dan di antaranya fungsi kesalahan dapat dinamai. Fungsi aljabar (polinomial, quotients dari polinomial dan akar polinomial) bersama dengan fungsi dasar transendental membentuk apa yang dalam matematika dikenal sebagai fungsi elementer.

Fungsi transenden juga dianggap sebagai hasil dari operasi antara fungsi transenden atau antara fungsi transenden dan aljabar. Operasi tersebut adalah: penjumlahan dan perbedaan fungsi, perkalian dan hasil bagi fungsi, serta komposisi dua fungsi atau lebih.

Definisi dan properti

Fungsi eksponensial

Ini adalah fungsi nyata dari variabel independen nyata dalam bentuk:

f (x) = a ^ x = a ^x

dimana a adalah bilangan real positif tetap (a> 0) disebut basis. Circfllex atau superscript digunakan untuk menunjukkan operasi yang berpotensi.

Misalkan a = 2 maka fungsinya terlihat seperti ini:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Yang akan dievaluasi untuk beberapa nilai variabel independen x:

Di bawah ini adalah grafik di mana fungsi eksponensial direpresentasikan untuk beberapa nilai basis, termasuk basis e (bilangan Neper e ≃ 2.72). Basis e sangat penting sehingga secara umum berbicara tentang fungsi eksponensial, kita memikirkan e ^ x, yang juga dilambangkan dengan exp (x).

Gambar 1. Fungsi eksponensial a ^ x, untuk berbagai nilai basis a. (Elaborasi sendiri)

Properti dari fungsi eksponensial

Dari gambar 1 dapat dilihat bahwa domain fungsi eksponensial adalah bilangan real (Dom f = R ) dan range atau jalur adalah real positif (Ran f = R ⁺ ).

Di sisi lain, terlepas dari nilai basis a, semua fungsi eksponensial melewati titik (0, 1) dan melalui titik (1, a).

Ketika basis a> 1, maka fungsinya meningkat dan ketika 0 <a <1 fungsinya menurun.

Kurva dari y = a ^ x dan y = (1 / a) ^ x simetris terhadap sumbu Y.

Dengan pengecualian kasus a = 1, fungsi eksponensial bersifat injektif, yaitu, untuk setiap nilai gambar sesuai satu dan hanya satu nilai awal.

Fungsi logaritmik

Ini adalah fungsi nyata dari variabel independen nyata berdasarkan definisi logaritma angka. Logaritma berdasarkan bilangan x adalah bilangan y yang harus dipangkatkan alasnya untuk mendapatkan argumen x:

log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Artinya, berdasarkan fungsi logaritma adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial berdasarkan.

Sebagai contoh:

log ₂ 1 = 0, karena 2 ^ 0 = 1

Kasus lain, log ₂ 4 = 2, karena 2 ^ 2 = 4

Logaritma akar dari 2 adalah log ₂ √2 = ½, karena 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, karena 2 ^ (- 2) = ¼

Di bawah ini adalah grafik fungsi logaritma dalam berbagai basis.

Gambar 2. Fungsi eksponensial untuk nilai basis yang berbeda. (Elaborasi sendiri)

Properti dari fungsi logaritma

Domain dari fungsi logaritma y (x) = log a (x) adalah bilangan real positif R + . Rentang perjalanan atau nyata nomor R .

Terlepas dari basisnya, fungsi logaritma selalu melewati titik (1,0) dan titik (a, 1) termasuk dalam grafik fungsi itu.

Dalam hal basis a lebih besar dari satu (a> 1) fungsi logaritma meningkat. Tetapi jika (0 <a <1) maka itu adalah fungsi yang menurun.

Fungsi Sinus, Kosinus, dan Tangen

Fungsi sinus memberikan bilangan real dan untuk setiap nilai x, di mana x mewakili ukuran sudut dalam radian. Untuk mendapatkan nilai Sen (x) suatu sudut, sudut tersebut direpresentasikan dalam lingkaran satuan dan proyeksi sudut tersebut pada sumbu vertikal adalah sinus yang bersesuaian dengan sudut tersebut.

Lingkaran trigonometri dan sinus untuk berbagai nilai sudut X1, X2, X3, dan X4 ditunjukkan di bawah ini (pada Gambar 3).

Gambar 3. Lingkaran trigonometri dan sinus dari berbagai sudut. (Elaborasi sendiri)

Didefinisikan dengan cara ini, nilai maksimum yang dapat dimiliki fungsi Sen (x) adalah 1, yang terjadi jika x = π / 2 + 2π n, di mana n adalah bilangan bulat (0, ± 1, ± 2,). Nilai minimum yang dapat diambil oleh fungsi Sen (x) terjadi ketika x = 3π / 2 + 2π n.

Fungsi kosinus y = Cos (x) didefinisikan dengan cara yang sama, tetapi proyeksi posisi sudut P1, P2, dll. Dilakukan pada sumbu horizontal lingkaran trigonometri.

Sebaliknya, fungsi y = Tan (x) adalah hasil bagi antara fungsi sinus dan fungsi kosinus.

Di bawah ini adalah grafik fungsi transenden Sen (x), Cos (x) dan Tan (x)

Gambar 4. Grafik fungsi transenden, Sinus, Kosinus dan Tangen. (Elaborasi sendiri)

Derivatif dan integral

Turunan dari fungsi eksponensial

Turunan y 'dari fungsi eksponensial y = a ^ x adalah fungsi a ^ x dikalikan dengan logaritma natural dari basis a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

Dalam kasus tertentu dari basis e, turunan dari fungsi eksponensial adalah fungsi eksponensial itu sendiri.

Integral dari fungsi eksponensial

Integral tak tentu dari a ^ x adalah fungsi itu sendiri dibagi dengan logaritma natural dari basis.

Dalam kasus tertentu dari basis e, integral dari fungsi eksponensial adalah fungsi eksponensial itu sendiri.

Tabel turunan dan integral dari fungsi transenden

Di bawah ini adalah tabel ringkasan dari fungsi transenden utama, turunannya dan integral tak tentu (antiturunan):

Tabel turunan dan integral tak tentu untuk beberapa fungsi transenden. (Elaborasi sendiri)

Contoh

Contoh 1

Cari fungsi yang dihasilkan dari komposisi fungsi f (x) = x ^ 3 dengan fungsi g (x) = cos (x):

(kabut) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Turunannya dan integral tak tentu adalah:

Contoh 2

Tentukan komposisi fungsi g dengan fungsi f, di mana g dan f adalah fungsi yang ditentukan pada contoh sebelumnya:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

Perlu diperhatikan bahwa komposisi fungsi bukanlah operasi komutatif.

Turunan dan integral tak tentu untuk fungsi ini adalah:

Integral dibiarkan terindikasi karena tidak mungkin menuliskan hasil sebagai kombinasi fungsi elementer secara tepat.

Referensi

1. Kalkulus Variabel Tunggal. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 November 2008
2. Teorema Fungsi Implisit: Sejarah, Teori, dan Aplikasi. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 November. 2012
3. Analisis Multivariabel. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 Desember. 2010
4. Sistem Dinamika: Pemodelan, Simulasi, dan Pengendalian Sistem Mekatronika. Dekan C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 Maret 2012
5. Kalkulus: Matematika dan Pemodelan. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 Januari 1999
6. wikipedia. Fungsi transenden. Diperoleh dari: es.wikipedia.com