TURUNAN PARSIAL: NOTASI, CONTOH, DAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIKA - 2025

The derivatif parsial dari fungsi dari beberapa variabel adalah mereka yang menentukan laju perubahan fungsi ketika salah satu variabel memiliki variasi yang sangat kecil, sedangkan variabel lainnya tetap tidak berubah.

Untuk membuat gagasan lebih konkret, misalkan kasus fungsi dua variabel: z = f (x, y). Turunan parsial dari fungsi f terhadap variabel x dihitung sebagai turunan biasa terhadap x, tetapi menggunakan variabel y seolah-olah konstan.

Gambar 1. Fungsi f (x, y) dan turunan parsial ∂ _x f y ∂ _y f di titik P. (Diuraikan oleh R. Pérez dengan geogebra)

Notasi turunan parsial

Operasi turunan parsial dari fungsi f (x, y) pada variabel x dilambangkan dengan salah satu cara berikut:

Dalam turunan parsial, simbol ∂ (semacam huruf bulat d juga disebut d Jacobi) digunakan, sebagai lawan dari turunan biasa untuk fungsi variabel tunggal di mana huruf d digunakan untuk turunan.

Secara umum, turunan parsial dari fungsi multivariasi, sehubungan dengan salah satu variabelnya, menghasilkan fungsi baru dalam variabel yang sama dari fungsi aslinya:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Perhitungan dan arti turunan parsial

Untuk menentukan laju perubahan atau kemiringan fungsi untuk titik tertentu (x = a, y = b) pada arah sejajar sumbu X:

1- Fungsi ∂ _x f (x, y) = g (x, y) dihitung , mengambil turunan biasa dalam variabel x dan membiarkan variabel y tetap atau konstan.

2- Kemudian nilai titik x = a dan y = b disubstitusikan dimana kita ingin mengetahui laju perubahan fungsi pada arah x:

{Gradien pada arah x pada titik (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Untuk menghitung laju perubahan arah y pada titik koordinat (a, b), pertama hitung ∂ _dan f (x, y) = h (x, y).

4- Kemudian titik (x = a, y = b) diganti pada hasil sebelumnya sehingga diperoleh:

{Gradien searah y pada titik (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Contoh turunan parsial

Beberapa contoh turunan parsial adalah sebagai berikut:

Contoh 1

Diberikan fungsinya:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Temukan turunan parsial dari fungsi f terhadap variabel x dan variabel y.

Larutan:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Perhatikan bahwa untuk menghitung turunan parsial dari fungsi f terhadap variabel x, dilakukan turunan biasa terhadap x, tetapi variabel y diambil seolah-olah konstan. Demikian pula, dalam kalkulasi turunan parsial f terhadap y, variabel x dianggap sebagai konstanta.

Fungsi f (x, y) adalah permukaan yang disebut paraboloid yang ditunjukkan pada gambar 1 dengan warna oker.

Contoh 2

Tentukan laju perubahan (atau kemiringan) fungsi f (x, y) dari Contoh 1, dalam arah sumbu X dan sumbu Y untuk titik (x = 1, y = 2).

Solusi: Untuk mencari kemiringan dalam arah x dan y pada titik tertentu, cukup gantikan nilai titik tersebut ke dalam fungsi ∂ _x f (x, y) dan ke dalam fungsi ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _dan f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Gambar 1 menunjukkan garis singgung (berwarna merah) terhadap kurva yang ditentukan oleh perpotongan fungsi f (x, y) dengan bidang y = 2, kemiringan garis ini adalah -2. Gambar 1 juga menunjukkan garis singgung (berwarna hijau) ke kurva yang mendefinisikan perpotongan fungsi f dengan bidang x = 1; Garis ini memiliki kemiringan -4.

Latihan

Latihan 1

Sebuah gelas berbentuk kerucut pada suatu waktu mengandung air sehingga permukaan air mempunyai radius r dan kedalaman h. Tapi gelas itu memiliki lubang kecil di dasarnya yang melaluinya air hilang dengan kecepatan C sentimeter kubik per detik. Tentukan laju penurunan dari permukaan air dalam sentimeter per detik.

Larutan:

Pertama-tama, perlu diingat bahwa volume air pada saat itu adalah:

Volume adalah fungsi dari dua variabel, radius r dan kedalaman h: V (r, h).

Ketika volume berubah dengan jumlah yang sangat kecil dV, jari-jari r permukaan air dan kedalaman h air juga berubah sesuai dengan hubungan berikut:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Kami melanjutkan untuk menghitung turunan parsial V sehubungan dengan r dan h masing-masing:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 jam) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Selanjutnya jari-jari r dan kedalaman h memenuhi hubungan berikut:

Membagi kedua anggota dengan waktu differential dt memberikan:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Tetapi dV / dt adalah volume air yang hilang per satuan waktu yang diketahui C centimeter per detik, sedangkan dh / dt adalah laju penurunan permukaan bebas air, yang disebut v. Artinya, permukaan air pada saat tertentu turun dengan kecepatan v (dalam cm / s) yang diberikan oleh:

v = C / (π r ^ 2).

Sebagai aplikasi numerik, misalkan r = 3 cm, t = 4 cm, dan laju kebocoran C adalah 3 cm ^ 3 / s. Maka kecepatan turun permukaan saat itu juga adalah:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Latihan 2

Teorema Clairaut-Schwarz menyatakan bahwa jika suatu fungsi bersifat kontinu dalam variabel independennya dan turunan parsial yang berkaitan dengan variabel independen juga kontinu, maka turunan campuran orde dua dapat dipertukarkan. Periksa teorema ini untuk mengetahui fungsinya

f (x, y) = x ^ 2 y, artinya, harus benar bahwa f _xy f = ∂ _yx f.

Larutan:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) sedangkan ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Teorema Schwarz telah terbukti berlaku, karena fungsi f dan turunan parsial terus menerus untuk semua bilangan real.

Referensi

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (2000). Perhitungan 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Perhitungan dengan geometri analitik. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Perhitungan. Meksiko: Pendidikan Pearson.
4. Saenz, J. (2005). Kalkulus diferensial. Sisi miring.
5. Saenz, J. (2006). Kalkulus integral. Sisi miring.
6. Wikipedia. Turunan parsial. Diperoleh dari: es.wikipedia.com