- Bagaimana cara mendapatkan vektor normal ke pesawat?
- Vektor normal dari hasil perkalian vektor
- Contoh
- Larutan
- Perhitungan produk vektor
- Persamaan pesawat
- Referensi
The vektor normal adalah salah satu yang mendefinisikan arah tegak lurus untuk beberapa entitas geometris dalam pertimbangan, yang dapat dengan kurva, pesawat atau permukaan, misalnya.
Ini adalah konsep yang sangat berguna dalam memposisikan partikel bergerak atau permukaan di luar angkasa. Dalam grafik berikut, dimungkinkan untuk melihat seperti apa vektor normal ke kurva sembarang C:
Gambar 1. Sebuah kurva C dengan vektor normal terhadap kurva di titik P. Sumber: Svjo
Pertimbangkan titik P pada kurva C. Titik tersebut dapat mewakili partikel bergerak yang bergerak di sepanjang jalur berbentuk C. Garis singgung kurva di titik P digambar dengan warna merah.
Perhatikan bahwa vektor T bersinggungan dengan C di setiap titik, sedangkan vektor N tegak lurus dengan T dan menunjuk ke pusat lingkaran imajiner yang busurnya adalah segmen C. Vektor dilambangkan dengan huruf tebal pada teks tercetak, karena membedakannya dari besaran non-vektor lainnya.
Vektor T selalu menunjukkan kemana partikel bergerak, oleh karena itu vektor ini menunjukkan kecepatan partikel. Di sisi lain, vektor N selalu menunjuk ke arah di mana partikel berputar, dengan cara ini menunjukkan cekungan kurva C.
Bagaimana cara mendapatkan vektor normal ke pesawat?
Vektor normal belum tentu merupakan vektor satuan, yaitu vektor yang modulusnya 1, tetapi jika demikian, disebut vektor satuan normal.
Gambar 2. Di sebelah kiri sebuah bidang P dan dua vektor normal terhadap bidang tersebut. Di sebelah kanan vektor satuan dalam tiga arah yang menentukan ruang. Sumber: Wikimedia Commons. Lihat halaman untuk penulis
Dalam banyak aplikasi, vektor normal pada bidang perlu diketahui daripada kurva. Vektor ini menunjukkan orientasi bidang tersebut di luar angkasa. Misalnya, perhatikan bidang P (kuning) dari gambar:
Ada dua vektor normal pada bidang ini: n 1 dan n 2 . Penggunaan satu atau lainnya akan bergantung pada konteks di mana bidang tersebut ditemukan. Mendapatkan vektor normal ke bidang sangat sederhana jika persamaan bidangnya diketahui:
Di sini vektor N dinyatakan dalam bentuk vektor satuan tegak lurus i , j dan k , diarahkan sepanjang tiga arah yang menentukan ruang xyz, lihat gambar 2 di kanan.
Vektor normal dari hasil perkalian vektor
Prosedur yang sangat sederhana untuk menemukan vektor normal menggunakan sifat-sifat perkalian vektor antara dua vektor.
Seperti diketahui, tiga titik berbeda dan tidak bertabrakan satu sama lain, tentukan bidang P. Sekarang, dimungkinkan untuk mendapatkan dua vektor u dan v yang dimiliki bidang tersebut yang memiliki tiga titik ini.
Setelah vektor diperoleh, produk vektor u x v adalah operasi yang hasilnya adalah vektor, yang memiliki properti tegak lurus bidang yang ditentukan oleh u dan v .
Diketahui vektor ini, dilambangkan sebagai N , dan darinya dimungkinkan untuk menentukan persamaan bidang berkat persamaan yang ditunjukkan di bagian sebelumnya:
N = u x v
Gambar berikut mengilustrasikan prosedur yang dijelaskan:
Gambar 3. Dengan dua vektor dan hasil kali atau persilangan vektornya, persamaan bidang yang berisi dua vektor tersebut ditentukan. Sumber: Wikimedia Commons. Tidak ada penulis yang dapat dibaca mesin. M. Romero Schmidtke diasumsikan (berdasarkan klaim hak cipta).
Contoh
Tentukan persamaan bidang yang ditentukan oleh titik A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).
Larutan
Latihan ini menggambarkan prosedur yang dijelaskan di atas. Dengan memiliki 3 titik, salah satunya dipilih sebagai asal bersama dari dua vektor milik bidang yang ditentukan oleh titik-titik ini. Misalnya, titik A ditetapkan sebagai asal dan vektor AB dan AC dibangun .
Vektor AB adalah vektor yang asalnya adalah titik A dan yang titik akhirnya adalah titik B. Koordinat vektor AB ditentukan dengan mengurangkan koordinat B dari koordinat A:
Kami melanjutkan dengan cara yang sama untuk menemukan vektor AC :
Perhitungan produk vektor
Ada beberapa prosedur untuk mencari perkalian silang antara dua vektor. Contoh ini menggunakan prosedur mnemonik yang menggunakan gambar berikut untuk mencari perkalian vektor antara vektor satuan i , j dan k:
Gambar 4. Grafik untuk menentukan hasil perkalian vektor antar vektor satuan. Sumber: buatan sendiri.
Untuk memulai, perlu diingat bahwa perkalian vektor antara vektor paralel adalah nol, oleh karena itu:
i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
Dan karena hasil kali vektor adalah vektor lain yang tegak lurus dengan vektor yang berpartisipasi, bergerak ke arah panah merah yang kita miliki:
Jika Anda harus bergerak berlawanan arah dengan panah maka tambahkan tanda (-):
Secara total dimungkinkan untuk membuat 9 produk vektor dengan vektor satuan i , j dan k , dimana 3 akan menjadi nol.
AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
Persamaan pesawat
Vektor N telah ditentukan oleh produk vektor yang dihitung sebelumnya:
N = 2 i -8 j -2 k
Oleh karena a = 2, b = -8, c = -2 maka bidang yang dicari adalah:
Nilai d tetap harus ditentukan. Ini mudah jika nilai dari salah satu titik A, B atau C yang tersedia disubstitusi dalam persamaan bidang. Memilih C misalnya:
x = 4; y = 2; z = 1
Sisa:
Singkatnya, peta yang dicari adalah:
Pembaca yang ingin tahu mungkin bertanya-tanya apakah hasil yang sama akan diperoleh jika alih-alih melakukan AB x AC, ia memilih untuk melakukan AC x AB. Jawabannya adalah ya, bidang yang ditentukan oleh ketiga titik ini unik dan memiliki dua vektor normal, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.
Adapun titik yang dipilih sebagai asal vektor, tidak ada masalah dalam memilih salah satu dari dua vektor lainnya.
Referensi
- Figueroa, D. (2005). Seri: Fisika untuk Sains dan Teknik. Volume 1. Kinematika. Diedit oleh Douglas Figueroa (USB). 31- 62.
- Menemukan normal untuk sebuah pesawat. Diperoleh dari: web.ma.utexas.edu.
- Larson, R. (1986). Kalkulus dan Geometri Analitik. Mc Graw Hill. 616-647.
- Garis dan pesawat di R 3. Diperoleh dari: math.harvard.edu.
- Vektor normal. Dipulihkan dari mathworld.wolfram.com.