TEOREMA DASAR ARITMATIKA: BUKTI, APLIKASI, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

The teorema dasar aritmatika menyatakan bahwa sejumlah besar alami dari 1 bisa diurai sebagai produk dari bilangan prima - beberapa dapat diulang - dan formulir ini adalah unik untuk nomor yang, meskipun urutan faktor mungkin berbeda.

Ingatlah bahwa bilangan prima p adalah salah satu yang hanya menerima dirinya sendiri dan 1 sebagai pembagi positif.Bilangan-bilangan berikut ini adalah bilangan prima: 2, 3, 5, 7, 11, 13 dan seterusnya, karena ada infinitas. Bilangan 1 tidak dianggap sebagai bilangan prima, karena hanya memiliki satu pembagi.

Gambar 1. Euclid (kiri) membuktikan teorema dasar aritmatika dalam bukunya Elements (350 SM), dan bukti lengkap pertama adalah karena Carl F. Gauss (1777-1855) (kanan). Sumber: Wikimedia Commons.

Pada bagiannya, bilangan yang tidak sesuai dengan yang di atas disebut bilangan komposit, seperti 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Mari kita ambil bilangan 10 sebagai contoh dan segera kita lihat bahwa bilangan itu dapat diuraikan sebagai hasil perkalian dari 2 dan 5:

10 = 2 × 5

Baik 2 dan 5, secara efektif, adalah bilangan prima. Teorema menyatakan bahwa ini mungkin untuk bilangan apa pun n:

Di mana p ₁ , p ₂ , p ₃ … p _r adalah bilangan prima dan k ₁ , k ₂ , k ₃ ,… k _r adalah bilangan asli. Jadi, bilangan prima bertindak sebagai bahan penyusun yang darinya, melalui perkalian, bilangan asli dibangun.

Bukti teorema dasar aritmatika

Kami mulai dengan menunjukkan bahwa setiap bilangan dapat diuraikan menjadi faktor prima. Membiarkan menjadi bilangan asli n> 1, prima atau komposit.

Misalnya jika n = 2, maka dapat dinyatakan sebagai: 2 = 1 × 2 yang merupakan bilangan prima. Dengan cara yang sama, lanjutkan dengan angka-angka berikut:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Kami melanjutkan seperti ini, menguraikan semua bilangan asli sampai kami mencapai nomor n -1. Mari kita lihat apakah kita bisa melakukannya dengan nomor berikut: n.

Jika n adalah bilangan prima, kita dapat menguraikannya menjadi n = 1 × n, tetapi anggaplah n adalah komposit dan memiliki pembagi d, secara logis lebih kecil dari n:

1 <d <n.

Jika n / d = p ₁ , dengan p ₁ bilangan prima, maka n dituliskan sebagai:

n = p _1. d

Jika d adalah bilangan prima tidak ada lagi yang bisa dilakukan, tetapi jika tidak, ada bilangan n ₂ yang merupakan pembagi dari d dan kurang dari ini: n ₂ <d, jadi d dapat dituliskan sebagai hasil perkalian dari n ₂ oleh yang lain bilangan prima p ₂ :

d = p ₂ n ₂

Bahwa ketika mengganti bilangan asli n akan memberikan:

n = p ₁ .P ₂ .n ₂

Sekarang anggaplah n ₂ juga bukan bilangan prima dan kita menuliskannya sebagai hasil kali bilangan prima p ₃ , dengan pembaginya n ₃ , sehingga n ₃ <n ₂ <n ₁ <n:

n ₂ = p ₃ .n ₃ → n = p ₁ p ₂ p ₃ .n ₃

Kami mengulangi prosedur ini beberapa kali hingga kami memperoleh:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … p _r

Ini berarti bahwa dimungkinkan untuk menguraikan semua bilangan bulat dari 2 menjadi bilangan n, sebagai hasil kali bilangan prima.

Keunikan faktorisasi prima

Sekarang mari kita verifikasi bahwa kecuali urutan faktor, dekomposisi ini unik. Misalkan n dapat ditulis dengan dua cara:

n = p ₁ .P ₂ .P ₃ … p _r = q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s (dengan r ≤ s)

Tentu saja q ₁ , q ₂ , q ₃ … juga merupakan bilangan prima. Karena p ₁ membagi (q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s ) maka p ₁ sama dengan salah satu "q", tidak masalah yang mana, jadi kita dapat mengatakan bahwa p ₁ = q ₁ . Kami membagi n dengan p ₁ dan mendapatkan:

p ₂ .P ₃ … p _r = _. q ₂ .q ₃ … ..q _s

Kami ulangi prosedurnya sampai kami membagi semuanya dengan p _r , kemudian kami memperoleh:

1 = q _{r + 1} … q _s

Tetapi tidak mungkin untuk sampai pada q _{r + 1} … q _s = 1 ketika r <s, hanya jika r = s. Meskipun dengan mengakui bahwa r = s, juga diakui bahwa "p" dan "q" adalah sama. Oleh karena itu pembusukannya unik.

Aplikasi

Seperti yang telah kita katakan sebelumnya, bilangan prima mewakili, jika Anda suka, atom dari bilangan tersebut, komponen dasarnya. Jadi, teorema dasar aritmatika memiliki banyak penerapan, yang paling jelas: kita dapat bekerja dengan bilangan besar dengan lebih mudah jika kita menyatakannya sebagai perkalian bilangan yang lebih kecil.

Dengan cara yang sama, kita dapat menemukan kelipatan persekutuan terbesar (KPK) dan pembagi persekutuan terbesar (GCF), sebuah prosedur yang membantu kita untuk membuat penjumlahan pecahan dengan lebih mudah, mencari akar dari bilangan besar, atau mengoperasikan dengan akar, merasionalisasi dan menyelesaikan masalah aplikasi yang sangat beragam.

Selain itu, bilangan prima sangat membingungkan. Sebuah pola belum dikenali di dalamnya dan tidak mungkin untuk mengetahui mana yang akan menjadi pola berikutnya. Sejauh ini yang terbesar ditemukan oleh komputer dan memiliki 24.862.048 digit, meskipun bilangan prima baru lebih jarang muncul setiap kali.

Bilangan prima di alam

Cicadas, cicádidos atau cicadas yang hidup di timur laut Amerika Serikat muncul dalam siklus 13 atau 17 tahun. Keduanya adalah bilangan prima.

Dengan cara ini, jangkrik menghindari bertepatan dengan predator atau pesaing yang memiliki periode kelahiran lain, juga tidak berbagai varietas jangkrik bersaing satu sama lain, karena mereka tidak bertepatan pada tahun yang sama.

Gambar 2. Jangkrik Magicicada di Amerika Serikat bagian timur muncul setiap 13 hingga 17 tahun. Sumber: Pxfuel.

Bilangan prima dan belanja online

Bilangan prima digunakan dalam kriptografi untuk menjaga kerahasiaan detail kartu kredit saat melakukan pembelian melalui Internet. Dengan cara ini, data pembeli sampai ke toko tanpa tersesat atau jatuh ke tangan oknum orang.

Bagaimana? Data pada kartu dikodekan dalam bilangan N yang dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian bilangan prima. Bilangan prima ini adalah kunci yang diungkapkan oleh data, tetapi tidak diketahui publik, bilangan prima hanya dapat diterjemahkan di web yang dituju.

Menguraikan bilangan menjadi faktor-faktor adalah tugas yang mudah jika angkanya kecil (lihat latihan yang diselesaikan), tetapi dalam hal ini bilangan prima 100 digit digunakan sebagai kunci, yang ketika mengalikannya menghasilkan bilangan yang jauh lebih besar, yang penguraian detailnya melibatkan tugas yang sangat besar. .

Latihan terselesaikan

- Latihan 1

Pecahkan 1029 menjadi faktor prima.

Larutan

1029 habis dibagi 3. Diketahui karena ketika menjumlahkan digitnya, jumlahnya adalah kelipatan 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Karena urutan faktor tidak mengubah hasil kali, kita bisa mulai dari sini:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

Sebaliknya 343 = 7 ³ , maka:

1029 = 3 × 7 ³ = 3 × 7 × 7 × 7

Dan karena 3 dan 7 adalah bilangan prima, ini adalah penguraian dari 1029.

- Latihan 2

Faktorkan trinomial x ² + 42x + 432.

Larutan

Trinomial tersebut ditulis ulang dalam bentuk (x + a). (x + b) dan kita perlu mencari nilai a dan b, sehingga:

a + b = 42; ab = 432

Angka 432 diuraikan menjadi faktor prima dan dari situ kombinasi yang sesuai dipilih secara trial and error sehingga faktor yang dijumlahkan menjadi 42.

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 =…

Dari sini ada beberapa kemungkinan untuk menulis 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….

Dan semua dapat ditemukan dengan menggabungkan hasil kali antara faktor prima, tetapi untuk menyelesaikan latihan yang diusulkan, satu-satunya kombinasi yang cocok adalah: 432 = 24 × 18 karena 24 + 18 = 42, maka:

x ² + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)

Referensi

1. Baldor, A. 1986. Aritmatika praktis teoretis. Editor Kebudayaan Compañía de Textos Americanos SA
2. BBC World. Kode Tersembunyi Alam. Diperoleh dari: bbc.com.
3. De Leon, Manuel. Bilangan prima: penjaga internet. Diperoleh dari: blog.20minutos.es.
4. UNAM. Teori Bilangan I: Teorema Dasar Aritmatika. Diperoleh dari: teoriadenumeros.wikidot.com.
5. Wikipedia. Teorema dasar aritmatika. Diperoleh dari: es.wikipedia.org.