TEOREMA BINOMIAL: BUKTI DAN CONTOH - MATEMATIKA

The teorema binomial adalah persamaan yang memberitahu kita bagaimana mengembangkan ekspresi dalam bentuk (a + b) ⁿ untuk beberapa nomor n alam. Binomial tidak lebih dari jumlah dua elemen, seperti (a + b). Ia juga memungkinkan kita mengetahui suku yang diberikan oleh a ^k b ^n-k berapa koefisien yang menyertainya.

Teorema ini biasanya dikaitkan dengan penemu Inggris, fisikawan dan matematikawan Sir Isaac Newton; Namun, berbagai catatan telah ditemukan yang menunjukkan keberadaannya sudah diketahui di Timur Tengah, sekitar tahun 1000.

Angka kombinatorial

Teorema binomial secara matematis memberi tahu kita hal-hal berikut:

Dalam ekspresi ini a dan b adalah bilangan real dan n adalah bilangan asli.

Sebelum memberikan demo, mari kita lihat beberapa konsep dasar yang diperlukan.

Bilangan kombinatorial atau kombinasi n dalam k dinyatakan sebagai berikut:

Bentuk ini mengungkapkan nilai berapa banyak himpunan bagian dengan k elemen yang dapat dipilih dari himpunan n elemen. Ekspresi aljabar diberikan oleh:

Mari kita lihat contoh: misalkan kita memiliki sekelompok tujuh bola, dua di antaranya berwarna merah dan sisanya berwarna biru.

Kami ingin tahu berapa banyak cara kami mengaturnya dalam satu baris. Salah satu caranya adalah dengan menempatkan dua merah di posisi pertama dan kedua, dan sisa bola di posisi yang tersisa.

Mirip dengan kasus sebelumnya, kita bisa memberi bola merah posisi pertama dan terakhir masing-masing, dan menempati yang lain dengan bola biru.

Sekarang cara yang efisien untuk menghitung berapa cara kita menyusun bola dalam satu baris adalah dengan menggunakan bilangan kombinatorial. Kita dapat melihat setiap posisi sebagai elemen dari himpunan berikut:

Kemudian tinggal memilih bagian dari dua elemen, di mana masing-masing elemen ini mewakili posisi yang akan ditempati bola merah. Kita dapat membuat pilihan ini sesuai dengan hubungan yang diberikan oleh:

Dengan cara ini, kami memiliki 21 cara untuk memesan bola-bola ini.

Ide umum dari contoh ini akan sangat berguna dalam membuktikan teorema binomial. Mari kita lihat kasus tertentu: jika n = 4, kita memiliki (a + b) ⁴ , yang tidak lebih dari:

Saat kita mengembangkan produk ini, kita akan mendapatkan jumlah suku yang diperoleh dengan mengalikan satu elemen dari masing-masing empat faktor (a + b). Jadi, kita akan memiliki istilah-istilah yang akan berbentuk:

Jika kita ingin mendapatkan suku dalam bentuk a ⁴ , kita tinggal mengalikannya sebagai berikut:

Perhatikan bahwa hanya ada satu cara untuk mendapatkan elemen ini; tetapi apa yang terjadi jika sekarang kita mencari suku dari bentuk a ² b ² ? Karena "a" dan "b" adalah bilangan real dan, oleh karena itu, hukum komutatif valid, kita memiliki satu cara untuk mendapatkan istilah ini adalah dengan mengalikan dengan anggota seperti yang ditunjukkan oleh panah.

Melakukan semua operasi ini biasanya agak membosankan, tetapi jika kita melihat istilah "a" sebagai kombinasi di mana kita ingin tahu berapa banyak cara untuk memilih dua "a" dari sekumpulan empat faktor, kita dapat menggunakan gagasan dari contoh sebelumnya. Jadi, kami memiliki yang berikut:

Jadi, kita tahu bahwa pada ekspansi akhir ekspresi (a + b) ⁴ kita akan mendapatkan tepat 6a ² b ² . Menggunakan ide yang sama untuk elemen lainnya, Anda harus:

Kemudian kami menambahkan ekspresi yang diperoleh sebelumnya dan kami memiliki itu:

Ini adalah bukti formal untuk kasus umum di mana "n" adalah bilangan asli.

Demonstrasi

Perhatikan bahwa suku-suku yang tertinggal dari perluasan (a + b) ⁿ berbentuk a ^k b ^n-k , di mana k = 0,1,…, n. Menggunakan ide dari contoh sebelumnya, kita memiliki cara untuk memilih «k» variabel «a» dari faktor «n» adalah:

Dengan memilih cara ini, kita secara otomatis memilih variabel nk "b". Dari sini dapat disimpulkan bahwa:

Contoh

Mempertimbangkan (a + b) ⁵ , bagaimana perkembangannya?

Dengan teorema binomial kita memiliki:

Teorema binomial sangat berguna jika kita memiliki ekspresi yang ingin kita ketahui koefisien suku tertentu tanpa harus melakukan ekspansi penuh. Sebagai contoh, kita dapat mengambil yang tidak diketahui berikut ini: berapakah koefisien dari x ⁷ dan ⁹ pada pemuaian (x + y) ¹⁶ ?

Berdasarkan teorema binomial, kita mendapatkan bahwa koefisiennya adalah:

Contoh lainnya adalah: berapa koefisien x ⁵ dan ⁸ dalam pemuaian (3x-7y) ¹³ ?

Pertama kami menulis ulang ekspresi dengan cara yang nyaman; ini adalah:

Kemudian, menggunakan teorema binomial, kita mendapatkan bahwa koefisien yang dicari adalah jika kita memiliki k = 5

Contoh lain dari penggunaan teorema ini adalah dalam bukti beberapa identitas umum, seperti yang akan kami sebutkan selanjutnya.

Identitas 1

Jika «n» adalah bilangan asli, kita memiliki:

Untuk pembuktiannya kita menggunakan teorema binomial, di mana «a» dan «b» mengambil nilai 1. Kemudian kita memiliki:

Dengan cara ini kami telah membuktikan identitas pertama.

Identitas 2

Jika "n" adalah bilangan asli, maka

Dengan teorema binomial kita memiliki:

Demonstrasi lain

Kita dapat membuat bukti lain untuk teorema binomial menggunakan metode induktif dan identitas Pascal, yang menyatakan bahwa, jika «n» dan «k» adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n ≥ k, maka:

Bukti induksi

Pertama mari kita lihat bahwa basis induktif berlaku. Jika n = 1, kita punya:

Memang, kami melihat bahwa itu terpenuhi. Sekarang, misalkan n = j seperti itu:

Kami ingin melihat bahwa untuk n = j + 1 memang benar bahwa:

Jadi kami harus:

Dengan hipotesis kita tahu bahwa:

Kemudian, menggunakan properti distributif:

Selanjutnya, mengembangkan setiap penjumlahan, kami memiliki:

Sekarang, jika kita mengelompokkan dengan cara yang nyaman, kita punya:

Menggunakan identitas pascal, kami memiliki:

Terakhir, perhatikan bahwa:

Oleh karena itu, kita melihat bahwa teorema binomial berlaku untuk semua "n" yang termasuk dalam bilangan asli, dan dengan ini pembuktiannya berakhir.

Keingintahuan

Bilangan kombinatorial (nk) disebut juga koefisien binomial karena justru koefisien yang muncul dalam perkembangan binomial (a + b) ⁿ .

Isaac Newton memberikan generalisasi teorema ini untuk kasus di mana eksponen adalah bilangan real; Teorema ini dikenal sebagai teorema binomial Newton.

Pada zaman dahulu, hasil ini dikenal untuk kasus tertentu di mana n = 2. Kasus ini disebutkan dalam Elemen Euclid.

Referensi

Johnsonbaugh Richard. Matematika diskrit. PHH
Kenneth.H. Rosen, Matematika Diskrit dan Aplikasinya. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Matematika Diskrit. McGRAW-HILL.
Ralph P. Grimaldi. Matematika Diskrit dan Kombinatorial. Addison-Wesley Iberoamericana
Bintang Hijau Luis. . Matematika Diskrit dan Kombinatorial Antropos

TEOREMA BINOMIAL: BUKTI DAN CONTOH - MATEMATIKA - 2025