- Apa Teorema Moivre?
- Demonstrasi
- Basis induktif
- Hipotesis induktif
- Verifikasi
- Integer negatif
- Latihan terselesaikan
- Perhitungan kekuatan positif
- Latihan 1
- Larutan
- Latihan 2
- Larutan
- Perhitungan kekuatan negatif
- Latihan 3
- Larutan
- Referensi
The teorema Moivre diterapkan aljabar proses fundamental, seperti kekuatan dan akar penggalian di bilangan kompleks. Teorema ini dikemukakan oleh ahli matematika Prancis terkenal Abraham de Moivre (1730), yang mengaitkan bilangan kompleks dengan trigonometri.
Abraham Moivre membuat asosiasi ini melalui ekspresi sinus dan kosinus. Ahli matematika ini menghasilkan sejenis rumus yang memungkinkan untuk menaikkan bilangan kompleks z ke pangkat n, yang merupakan bilangan bulat positif yang lebih besar dari atau sama dengan 1.
Apa Teorema Moivre?
Teorema Moivre menyatakan sebagai berikut:
Jika kita memiliki bilangan kompleks dalam bentuk kutub z = r Ɵ , di mana r adalah modul dari bilangan kompleks z, dan sudut Ɵ disebut amplitudo atau argumen bilangan kompleks apa pun dengan 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, untuk menghitung n– kekuatan itu tidak akan perlu untuk memperbanyaknya dengan sendirinya sebanyak n kali; Artinya, tidak perlu membuat produk berikut:
Z n = z * z * z *. . . * z = r Ɵ * r Ɵ * r Ɵ *. . . * r Ɵ n kali.
Sebaliknya, teorema mengatakan bahwa, saat menulis z dalam bentuk trigonometri, untuk menghitung pangkat ke-n kita lanjutkan sebagai berikut:
Jika z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ) maka z n = r n (cos n * Ɵ + i * sin n * Ɵ).
Misalnya, jika n = 2, maka z 2 = r 2 . Jika n = 3, maka z 3 = z 2 * z. Juga:
z 3 = r 2 * r = r 3 .
Dengan cara ini, rasio trigonometri dari sinus dan kosinus untuk kelipatan sudut dapat diperoleh, selama rasio trigonometri sudut tersebut diketahui.
Dengan cara yang sama dapat digunakan untuk menemukan ekspresi yang lebih tepat dan tidak membingungkan untuk akar ke-n dari bilangan kompleks z, sehingga z n = 1.
Untuk membuktikan teorema Moivre, digunakan prinsip induksi matematika: jika bilangan bulat "a" memiliki sifat "P", dan jika untuk bilangan bulat "n" lebih besar dari "a" yang memiliki sifat "P" Ini memenuhi bahwa n + 1 juga memiliki properti "P", maka semua bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan "a" memiliki properti "P".
Demonstrasi
Dengan demikian, pembuktian dalil dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Basis induktif
Ini pertama kali diperiksa untuk n = 1.
Karena z 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) 1 = r 1 (cos Ɵ + i * sin Ɵ) 1 = r 1 , teorema berlaku untuk n = 1.
Hipotesis induktif
Rumusnya diasumsikan benar untuk beberapa bilangan bulat positif, yaitu n = k.
z k = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k = r k (cos k Ɵ + i * sin k Ɵ).
Verifikasi
Itu terbukti benar untuk n = k + 1.
Karena z k + 1 = z k * z, maka z k + 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k + 1 = r k (cos kƟ + i * sin kƟ) * r (cos Ɵ + i * senƟ).
Kemudian ekspresi dikalikan:
z k + 1 = r k + 1 ((cos kƟ) * (cosƟ) + (cos kƟ) * (i * sinƟ) + (i * sin kƟ) * (cosƟ) + (i * sin kƟ) * (i * senƟ)).
Untuk sesaat faktor r k + 1 diabaikan , dan faktor persekutuan i diambil:
(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ) + i 2 (sin kƟ) * (sinƟ).
Karena i 2 = -1, kami menggantinya dalam ekspresi dan kami mendapatkan:
(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ).
Sekarang bagian nyata dan bagian imajiner diurutkan:
(cos kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ) + i.
Untuk menyederhanakan pernyataan tersebut, identitas trigonometri dari jumlah sudut diterapkan untuk kosinus dan sinus, yaitu:
cos (A + B) = cos A * cos B - sin A * sin B.
sin (A + B) = sin A * cos B - cos A * cos B.
Dalam hal ini, variabelnya adalah sudut Ɵ dan kƟ. Menerapkan identitas trigonometri, kami memiliki:
cos kƟ * cosƟ - sin kƟ * sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)
sin kƟ * cosƟ + cos kƟ * sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)
Dengan cara ini, ungkapannya adalah:
z k + 1 = r k + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i * sin (kƟ + Ɵ))
z k + 1 = r k + 1 (cos + i * sin).
Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa hasilnya benar untuk n = k + 1. Dengan prinsip induksi matematis, disimpulkan bahwa hasilnya benar untuk semua bilangan bulat positif; yaitu, n ≥ 1.
Integer negatif
Teorema Moivre juga diterapkan jika n ≤ 0. Mari kita pertimbangkan bilangan bulat negatif «n»; kemudian "n" dapat ditulis sebagai "-m", yaitu n = -m, di mana "m" adalah bilangan bulat positif. Jadi:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = (cos Ɵ + i * sin Ɵ) -m
Untuk mendapatkan eksponen «m» dengan cara positif, ekspresi ditulis terbalik:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i * sin Ɵ) m
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i * sin mƟ)
Sekarang, digunakan bahwa jika z = a + b * i adalah bilangan kompleks, maka 1 ÷ z = ab * i. Jadi:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (mƟ) - i * sin (mƟ).
Menggunakan cos (x) = cos (-x) dan -sen (x) = sin (-x), kita memiliki:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n =
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (- mƟ) + i * sin (-mƟ)
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (nƟ) - i * sin (nƟ).
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa teorema tersebut berlaku untuk semua nilai bilangan bulat "n".
Latihan terselesaikan
Perhitungan kekuatan positif
Salah satu operasi dengan bilangan kompleks dalam bentuk kutubnya adalah perkalian dua di antaranya; dalam hal ini modul dikalikan dan argumen ditambahkan.
Jika Anda memiliki dua bilangan kompleks z 1 dan z 2 dan Anda ingin menghitung (z 1 * z 2 ) 2 , lanjutkan sebagai berikut:
z 1 z 2 = *
Properti distributif berlaku:
z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i * cos Ɵ 1 * i * sin Ɵ 2 + i * sin Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i 2 * sin Ɵ 1 * sin Ɵ 2 ).
Mereka dikelompokkan, mengambil istilah "i" sebagai faktor umum dari ekspresi:
z 1 z 2 = r 1 r 2
Karena i 2 = -1, itu diganti dalam ekspresi:
z 1 z 2 = r 1 r 2
Istilah riil dikelompokkan kembali dengan nyata, dan imajiner dengan imajiner:
z 1 z 2 = r 1 r 2
Akhirnya, properti trigonometri berlaku:
z 1 z 2 = r 1 r 2 .
Kesimpulannya:
(z 1 * z 2 ) 2 = (r 1 r 2 ) 2
= r 1 2 r 2 2 .
Latihan 1
Tuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub jika z = - 2 -2i. Kemudian, menggunakan teorema Moivre, hitung z 4 .
Larutan
Bilangan kompleks z = -2 -2i dinyatakan dalam bentuk persegi panjang z = a + bi, dimana:
a = -2.
b = -2.
Mengetahui bahwa bentuk kutubnya adalah z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ), kita perlu menentukan nilai modulus "r" dan nilai dari argumen "Ɵ". Karena r = √ (a² + b²), nilai yang diberikan diganti:
r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)
= √ (4 + 4)
= √ (8)
= √ (4 * 2)
= 2√2.
Kemudian, untuk menentukan nilai «Ɵ», digunakan bentuk persegi panjang, yang diberikan dengan rumus:
tan Ɵ = b ÷ a
tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.
Karena tan (Ɵ) = 1 dan kita memiliki a <0, maka kita memiliki:
Ɵ = arctan (1) + Π.
= Π / 4 + Π
= 5Π / 4.
Karena nilai «r» dan «Ɵ» telah diperoleh, bilangan kompleks z = -2 -2i dapat diekspresikan dalam bentuk kutub dengan mengganti nilai:
z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4)).
Sekarang kita menggunakan teorema Moivre untuk menghitung z 4 :
z 4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4)) 4
= 32 (cos (5Π) + i * sin (5Π)).
Latihan 2
Temukan produk dari bilangan kompleks dengan mengekspresikannya dalam bentuk kutub:
z1 = 4 (cos 50 o + i * sin 50 o )
z2 = 7 (cos 100 o + i * sin 100 o ).
Kemudian hitung (z1 * z2) ².
Larutan
Pertama produk dari bilangan yang diberikan terbentuk:
z 1 z 2 = *
Kemudian modul dikalikan satu sama lain, dan argumen ditambahkan:
z 1 z 2 = (4 * 7) *
Ungkapannya disederhanakan:
z 1 z 2 = 28 * (cos 150 o + (i * sin 150 o ).
Akhirnya, teorema Moivre berlaku:
(z1 * z2) ² = (28 * (cos 150 o + (i * sin 150 o )) ² = 784 (cos 300 o + (i * sin 300 o )).
Perhitungan kekuatan negatif
Untuk membagi dua bilangan kompleks z 1 dan z 2 dalam bentuk kutubnya, modulus dibagi dan argumen dikurangi. Jadi, hasil bagi adalah z 1 ÷ z 2 dan dinyatakan sebagai berikut:
z 1 ÷ z 2 = r1 / r2 ().
Seperti pada kasus sebelumnya, jika kita ingin menghitung (z1 ÷ z2) ³, pembagian dilakukan terlebih dahulu dan kemudian digunakan teorema Moivre.
Latihan 3
Dadu:
z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),
z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),
hitung (z1 ÷ z2) ³.
Larutan
Mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di atas dapat disimpulkan bahwa:
(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³
= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³
= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).
Referensi
- Arthur Goodman, LH (1996). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
- Croucher, M. (nd). Dari Teorema Moivre untuk Identitas Trigonometri. Proyek Demonstrasi Wolfram.
- Hazewinkel, M. (2001). Ensiklopedia Matematika.
- Max Peters, WL (1972). Aljabar dan Trigonometri.
- Pérez, CD (2010). Pendidikan Pearson.
- Stanley, G. (nd). Aljabar linier. Graw-Hill.
- , M. (1997). Prekalkulasi. Pendidikan Pearson.