TEOREMA KEBERADAAN DAN KEUNIKAN: BUKTI, CONTOH DAN LATIHAN - MATEMATIKA - 2024

The keberadaan dan keunikan teorema menetapkan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk persamaan diferensial orde pertama, dengan kondisi awal yang diberikan, untuk memiliki solusi dan solusi bahwa untuk menjadi satu-satunya.

Namun, teorema tersebut tidak memberikan teknik atau indikasi apapun tentang bagaimana menemukan solusi tersebut. Teorema keberadaan dan keunikan juga diperluas ke persamaan diferensial orde tinggi dengan kondisi awal, yang dikenal sebagai masalah Cauchy.

Gambar 1. Persamaan diferensial dengan kondisi awal dan solusinya ditampilkan. Teorema Eksistensi dan Keunikan menjamin bahwa itu adalah satu-satunya solusi yang mungkin.

Pernyataan formal dari teorema keberadaan dan keunikan adalah sebagai berikut:

“Untuk persamaan diferensial y '(x) = f (x, y) dengan kondisi awal y (a) = b, terdapat setidaknya satu solusi di daerah persegi panjang bidang XY yang berisi titik (a, b), jika f (x, y) kontinu di wilayah itu. Dan jika turunan parsial f terhadap y: g = ∂f / ∂y kontinu di daerah persegi panjang yang sama, maka solusinya unik di lingkungan titik (a, b) yang terdapat di daerah kontinuitas fy g. "

Kegunaan teorema ini pertama-tama terletak pada mengetahui daerah mana dari bidang XY di mana solusi bisa ada dan juga, mengetahui apakah solusi yang ditemukan adalah satu-satunya yang mungkin atau jika ada yang lain.

Perhatikan bahwa jika kondisi keunikan tidak terpenuhi, teorema tidak dapat memprediksi berapa banyak solusi secara total yang dimiliki masalah Cauchy: mungkin satu, dua, atau lebih.

Bukti eksistensi dan keunikan teorema

Gambar 2. Charles Émile Picard (1856-1941) dikreditkan dengan salah satu bukti pertama dari Teorema Eksistensi dan Keunikan. Sumber: Wikimedia Commons.

Untuk teorema ini, dua kemungkinan bukti diketahui, salah satunya adalah bukti Charles Émile Picard (1856-1941) dan yang lainnya karena Giuseppe Peano (1858-1932) berdasarkan karya Augustin Louis Cauchy (1789-1857) .

Patut dicatat bahwa pemikir matematika paling cemerlang di abad kesembilan belas berpartisipasi dalam pembuktian teorema ini, sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak satupun dari mereka yang sederhana.

Untuk membuktikan teorema secara formal, pertama-tama perlu ditetapkan serangkaian konsep matematika yang lebih maju, seperti fungsi tipe Lipschitz, ruang Banach, teorema keberadaan Carathéodory, dan beberapa lainnya, yang berada di luar cakupan artikel.

Sebagian besar persamaan diferensial yang ditangani dalam fisika berurusan dengan fungsi kontinu di wilayah yang diinginkan, oleh karena itu kami akan membatasi diri kami untuk menunjukkan bagaimana teorema diterapkan dalam persamaan sederhana.

Contoh

- Contoh 1

Mari pertimbangkan persamaan diferensial berikut dengan kondisi awal:

y '(x) = - y; dengan y (1) = 3

Apakah ada solusi untuk masalah ini? Apakah ini satu-satunya solusi yang mungkin?

Jawaban

Pertama-tama, keberadaan solusi dari persamaan diferensial dievaluasi dan juga memenuhi syarat awal.

Dalam contoh ini f (x, y) = - dan kondisi keberadaannya membutuhkan pengetahuan apakah f (x, y) kontinu di suatu daerah bidang XY yang berisi titik koordinat x = 1, y = 3.

Tetapi f (x, y) = - y adalah fungsi affine, yang kontinu dalam domain bilangan real dan ada di seluruh range bilangan real.

Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa f (x, y) kontinu di R ² , sehingga teorema menjamin keberadaan setidaknya satu solusi.

Mengetahui hal ini, perlu dilakukan evaluasi apakah solusinya unik atau sebaliknya, ada lebih dari satu. Untuk ini, perlu menghitung turunan parsial dari f terhadap variabel y:

Kemudian g (x, y) = -1 yang merupakan fungsi konstanta, yang juga ditentukan untuk semua R ² dan juga kontinu di sana. Oleh karena itu, teorema keberadaan dan keunikan menjamin bahwa masalah nilai awal ini memang memiliki solusi yang unik, meskipun tidak memberi tahu kita apa itu.

- Contoh 2

Perhatikan persamaan diferensial biasa orde pertama berikut dengan kondisi awal:

y '(x) = 2√y; dan (0) = 0.

Apakah ada solusi y (x) untuk masalah ini? Jika ya, tentukan apakah ada satu atau lebih.

Balasan

Kami menganggap fungsi f (x, y) = 2√y. Fungsi f hanya didefinisikan untuk y≥0, karena kita tahu bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar yang sebenarnya. Selain itu, f (x, y) kontinu di setengah bidang atas dari R ² termasuk sumbu X, sehingga keberadaan dan teorema keunikan jaminan setidaknya satu solusi di wilayah itu.

Sekarang kondisi awal x = 0, y = 0 berada di tepi daerah solusi. Kemudian kita ambil turunan parsial dari f (x, y) terhadap y:

∂f / ∂y = 1 / √y

Dalam hal ini fungsi tidak ditentukan untuk y = 0, tepatnya di mana kondisi awalnya berada.

Apa teorema memberitahu kita? Ini memberi tahu kita bahwa meskipun kita tahu bahwa setidaknya ada satu solusi di setengah bidang atas sumbu X, termasuk sumbu X, karena kondisi keunikan tidak terpenuhi, tidak ada jaminan bahwa akan ada solusi unik.

Ini berarti bahwa mungkin ada satu atau lebih dari satu solusi di wilayah kontinuitas f (x, y). Dan seperti biasa, teorema tidak memberi tahu kita seperti apa mereka.

Latihan terselesaikan

- Latihan 1

Pecahkan masalah Cauchy di Contoh 1:

y '(x) = - y; dengan y (1) = 3.

Temukan fungsi y (x) yang memenuhi persamaan diferensial dan kondisi awal.

Larutan

Dalam Contoh 1 ditentukan bahwa masalah ini memiliki solusi dan juga unik. Untuk mencari solusinya, hal pertama yang harus diperhatikan adalah persamaan diferensial derajat pertama dari variabel yang dapat dipisahkan, yang ditulis sebagai berikut:

Membagi antara dan di kedua anggota untuk memisahkan variabel yang kita miliki:

Integral tak tentu diterapkan di kedua anggota:

Memecahkan integral tak tentu yang kita miliki:

dimana C adalah konstanta integrasi yang ditentukan oleh kondisi awal:

Mengganti nilai C dan mengaturnya kembali tetap:

Menerapkan properti logaritma berikut:

Ungkapan di atas dapat ditulis ulang seperti ini:

Fungsi eksponensial dengan basis e di kedua anggota diterapkan untuk mendapatkan:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Yang mana setara dengan:

y = 3e e ^-x

Ini adalah solusi unik untuk persamaan y '= -y dengan y (1) = 3. Grafik solusi ini ditunjukkan pada Gambar 1.

- Latihan 2

Temukan dua solusi untuk masalah yang diajukan dalam Contoh 2:

y '(x) = 2√ (y); dan (0) = 0.

Larutan

Ini juga merupakan persamaan variabel yang dapat dipisahkan, yang ditulis dalam bentuk diferensial, terlihat seperti ini:

dy / √ (y) = 2 dx

Mengambil integral tak tentu di kedua anggota tetap:

2 √ (y) = 2 x + C.

Karena kita tahu bahwa y≥0 di wilayah solusi, kita memiliki:

y = (x + C) ²

Namun karena kondisi awal x = 0, y = 0 harus dipenuhi, maka konstanta C adalah nol dan solusi berikut tetap:

y (x) = x ² .

Tetapi solusi ini tidak unik, fungsi y (x) = 0 juga merupakan solusi dari masalah yang diajukan. Teorema keberadaan dan keunikan yang diterapkan untuk masalah ini di Contoh 2 telah memprediksi bahwa mungkin ada lebih dari satu solusi.

Referensi

1. Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Theory of Ordinary Differential Equations, New York: McGraw-Hill.
2. Ensiklopedia Matematika. Teorema Cauchy-Lipschitz. Diperoleh dari: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations berturut-turut aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 116, 1894, hal. 454–457. Diperoleh dari: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Metode perkiraan Picard yang berurutan. Diperoleh dari: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Teorema Picard-Lindelöf. Diperoleh dari: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Persamaan Diferensial Elementer dengan Penerapan Prentice Hall.