- Rumus dan properti
- Area di bawah kurva
- Latihan terselesaikan
- - Latihan 1
- Larutan
- - Latihan 2
- Larutan
- Referensi
Jumlah Riemann adalah nama yang diberikan untuk perkiraan kalkulasi dari integral tertentu, melalui penjumlahan diskrit dengan jumlah suku terbatas. Penerapan yang umum adalah perkiraan luas fungsi pada grafik.
Adalah ahli matematika Jerman Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) yang pertama kali menawarkan definisi yang ketat dari integral suatu fungsi dalam interval tertentu. Dia membuatnya dikenal dalam sebuah artikel yang diterbitkan pada tahun 1854.
Gambar 1. Jumlah Riemann didefinisikan pada fungsi f dan pada partisi dalam interval. Sumber: Fanny Zapata.
Jumlah Riemann ditentukan pada fungsi y = f (x), dengan x termasuk dalam interval tertutup. Pada interval ini, partisi P dari n elemen dibuat:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Artinya interval dibagi sebagai berikut:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
Gambar 1 secara grafis menunjukkan jumlah Riemann dari fungsi f dalam interval pada partisi empat subinterval, persegi panjang abu-abu.
Jumlahnya mewakili total luas persegi panjang dan hasil dari jumlah ini secara numerik mendekati luas di bawah kurva f, antara absis x = x 0 dan x = x 4 .
Tentu saja, pendekatan ke area di bawah kurva meningkat pesat karena jumlah n partisi lebih besar. Dengan cara ini, jumlah tersebut menyatu dengan area di bawah kurva, ketika jumlah n partisi cenderung tak terbatas.
Rumus dan properti
Jumlah Riemann dari fungsi f (x) pada partisi:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Didefinisikan selama interval, itu diberikan oleh:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
Dimana t k adalah nilai dalam interval. Dalam penjumlahan Riemann, interval reguler dengan lebar Δx = (b - a) / n biasanya digunakan, di mana a dan b adalah nilai minimum dan maksimum absis, sedangkan n adalah jumlah subdivisi.
Dalam hal ini jumlah yang tepat Riemann adalah:
Sd (f, n) = * Δx
Gambar 2. Jumlah yang benar Riemann. Sumber: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
Sedangkan jumlah kiri Riemann dinyatakan sebagai:
Jika (f, n) = * Δx
Gambar 3. Jumlah Riemann kiri. Sumber: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Akhirnya jumlah Riemann sentral adalah:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
Gambar 4. Jumlah Riemann Menengah. Sumber: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Bergantung pada di mana titik tk terletak dalam interval, jumlah Riemann dapat menaksir terlalu tinggi atau meremehkan nilai pasti dari area di bawah kurva fungsi y = f (x). Dengan kata lain, persegi panjang bisa menonjol dari kurva atau berada sedikit di bawahnya.
Area di bawah kurva
Properti utama dari jumlah Riemann dan dari mana kepentingannya berasal, adalah bahwa jika jumlah subdivisi cenderung tak terbatas, hasil dari penjumlahan tersebut menyatu dengan integral tertentu dari fungsi tersebut:
Latihan terselesaikan
- Latihan 1
Hitung nilai integral pasti antara a = -2 sampai b = +2 dari fungsi:
f (x) = x 2
Manfaatkan jumlah Riemann. Untuk melakukan ini, pertama-tama temukan jumlah untuk n partisi reguler dari interval dan kemudian ambil batas matematika untuk kasus di mana jumlah partisi cenderung tak hingga.
Larutan
Ini adalah langkah-langkah yang harus diikuti:
-Pertama, interval partisi didefinisikan sebagai:
Δx = (b - a) / n.
-Lalu jumlah Riemann di sebelah kanan sesuai dengan fungsi f (x) terlihat seperti ini:
-Dan kemudian dengan hati-hati diganti dalam penjumlahan:
-Langkah selanjutnya adalah memisahkan penjumlahan dan mengambil jumlah konstan sebagai faktor persekutuan dari setiap jumlah. Perlu diperhatikan bahwa indeksnya adalah i, oleh karena itu angka dan suku dengan n dianggap konstan:
-Setiap jumlah dievaluasi, karena untuk masing-masing ada ekspresi yang sesuai. Misalnya, penjumlahan pertama menghasilkan n:
-Akhirnya, integral yang akan dihitung adalah:
Pembaca dapat memeriksa bahwa ini adalah hasil yang tepat, yang dapat diperoleh dengan menyelesaikan integral tak tentu dan mengevaluasi batas integrasi dengan aturan Barrow.
- Latihan 2
Tentukan kira-kira area di bawah fungsi:
f (x) = (1 / √ (2π)) e (x 2 /2)
Masukkan x = -1 dan x = + 1, menggunakan jumlah Riemann pusat dengan 10 partisi. Bandingkan dengan hasil yang tepat dan perkirakan perbedaan persentase.
Larutan
Langkah atau kenaikan antara dua nilai diskrit yang berurutan adalah:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Jadi partisi P di mana persegi panjang didefinisikan terlihat seperti ini:
P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0}
Tetapi karena yang diinginkan adalah jumlah sentral, fungsi f (x) akan dievaluasi di titik tengah subinterval, yaitu, dalam himpunan:
T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0.9}.
Jumlah Riemann (tengah) terlihat seperti ini:
S = f (-0.9) * 0.2 + f (-0.7) * 0.2 + f (-0.5) * 0.2 +… + f (0.7) * 0.2 + f (0,9) * 0,2
Karena fungsi f simetris, jumlah tersebut dapat dikurangi menjadi hanya 5 suku dan hasilnya dikalikan dengan dua:
S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}
S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683
Fungsi yang diberikan dalam contoh ini tidak lain adalah bel Gaussian yang terkenal (dinormalisasi, dengan mean sama dengan nol dan deviasi standar satu). Area di bawah kurva dalam interval untuk fungsi ini diketahui 0,6827.
Gambar 5. Area di bawah lonceng Gaussian didekati dengan jumlah Riemann. Sumber: F. Zapata.
Ini berarti bahwa solusi perkiraan hanya dengan 10 suku akan cocok dengan solusi eksak dengan tiga tempat desimal. Persentase kesalahan antara perkiraan dan integral eksak adalah 0,07%.
Referensi
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Kalkulus integral (edisi ke Illustrated). Madrid: Editorial ESIC.
- Unican. Sejarah konsep integral. Dipulihkan dari: repositorio.unican.es
- UIS. Riemann menghitung. Diperoleh dari: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. Jumlah Riemann. Diperoleh dari: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Integrasi Riemann. Diperoleh dari: es.wikipedia.com