Sebuah fungsi surjective adalah setiap hubungan di mana setiap elemen milik kodomain adalah gambar dari setidaknya satu unsur domain. Juga dikenal sebagai fungsi amplop , mereka adalah bagian dari klasifikasi fungsi sehubungan dengan cara elemennya terkait.

Misalnya fungsi F: A → B ditentukan oleh F (x) = 2x

Yang berbunyi " F yang berpindah dari A ke B ditentukan oleh F (x) = 2x"

Anda harus menentukan set awal dan akhir A dan B.

J: {1, 2, 3, 4, 5} Sekarang nilai atau gambar yang akan dihasilkan masing-masing elemen ini saat dievaluasi di F akan menjadi elemen codomain.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Sehingga membentuk himpunan B: {2, 4, 6, 8, 10}

Maka dapat disimpulkan bahwa:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} ditentukan oleh F (x) = 2x Ini adalah fungsi dugaan

Setiap elemen codomain harus dihasilkan dari setidaknya satu operasi variabel independen melalui fungsi yang dimaksud. Tidak ada batasan gambar, elemen codomain dapat berupa gambar lebih dari satu elemen domain dan tetap mencoba fungsi perkiraan .

Pada gambar 2 contoh dengan fungsi dugaan ditampilkan .

Sumber: Penulis

Pada bagian pertama, diamati bahwa gambar dapat dirujuk ke elemen yang sama, tanpa mengurangi dugaan fungsi tersebut.

Di bagian kedua kita melihat distribusi yang adil antara domain dan gambar. Hal ini memunculkan fungsi bijektiva , dimana kriteria fungsi injeksi dan fungsi dugaan harus dipenuhi .

Metode lain untuk mengidentifikasi fungsi dugaan adalah dengan memverifikasi apakah codomain sama dengan peringkat fungsi. Ini berarti bahwa jika set kedatangan sama dengan gambar yang disediakan oleh fungsi saat mengevaluasi variabel independen, fungsinya bersifat surjective.

Properti

Untuk mempertimbangkan suatu fungsi dugaan , berikut ini harus dipenuhi:

Misal F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Ini adalah cara aljabar untuk menetapkan bahwa untuk setiap "b" yang dimiliki C _f ada "a" yang dimiliki D _f sehingga fungsi F yang dievaluasi pada "a" sama dengan "b".

Surjectivity adalah kekhasan fungsi, dimana codomain dan range adalah serupa. Jadi, elemen yang dievaluasi dalam fungsi membentuk set kedatangan.

Pengondisian fungsi

Terkadang suatu fungsi yang tidak terduga dapat mengalami kondisi tertentu. Kondisi baru ini dapat menjadikannya fungsi dugaan.

Semua jenis modifikasi pada domain dan codomain dari fungsi tersebut valid, di mana tujuannya adalah untuk memenuhi properti dugaan dalam hubungan yang sesuai.

Contoh: latihan terselesaikan

Untuk memenuhi kondisi perkiraan , teknik pengkondisian yang berbeda harus diterapkan, ini untuk memastikan bahwa setiap elemen dari codomain berada dalam himpunan gambar dari fungsi.

Latihan 1

• Misalkan fungsi F: R → R ditentukan oleh garis F (x) = 8 - x

SEBUAH:

Sumber: penulis

Dalam hal ini, fungsi menggambarkan garis kontinu, yang mencakup semua bilangan real baik dalam domain maupun jangkauannya. Karena range dari fungsi R _f sama dengan codomain R maka dapat disimpulkan bahwa:

F: R → R ditentukan oleh garis F (x) = 8 - x adalah fungsi perkiraan.

Ini berlaku untuk semua fungsi linier (Fungsi yang derajat tertinggi variabelnya adalah satu).

Latihan 2

• Pelajari fungsi F: R → R yang ditentukan oleh F (x) = x ² : Tentukan apakah fungsi tersebut merupakan fungsi perkiraan . Jika tidak, tunjukkan kondisi yang diperlukan untuk membuatnya surjective.

Sumber: penulis

Hal pertama yang harus diperhatikan adalah codomain dari F , yang terdiri dari bilangan real R. Tidak ada cara bagi fungsi untuk menghasilkan nilai negatif, yang mengecualikan real negatif dari kemungkinan gambar.

Mengondisikan codomain ke interval. Hal ini dihindari untuk membiarkan elemen dari codomain tidak berhubungan melalui F.

Gambar diulang untuk pasangan elemen variabel independen, seperti x = 1 dan x = - 1. Tetapi ini hanya mempengaruhi injektivitas fungsi, tidak menjadi masalah untuk penelitian ini.

Dengan cara ini dapat disimpulkan bahwa:

F: R → . Interval ini harus mengkondisikan codomain untuk mencapai perkiraan fungsi.

F: R → didefinisikan oleh F (x) = Sen (x) Ini adalah fungsi dugaan

F: R → didefinisikan oleh F (x) = Cos (x) Ini adalah fungsi perkiraan

Latihan 4

• Pelajari fungsinya

F :) .push ({});

Sumber: Penulis

Fungsi F (x) = ± √x memiliki kekhususan yang mendefinisikan 2 variabel dependen pada setiap nilai "x". Artinya, rentang menerima 2 elemen untuk setiap elemen yang dibuat di domain. Nilai positif dan negatif harus diverifikasi untuk setiap nilai "x".

Saat mengamati set awal, dicatat bahwa domain telah dibatasi, ini untuk menghindari ketidakpastian yang dihasilkan saat mengevaluasi bilangan negatif dalam akar genap.

Saat memeriksa rentang fungsi, dicatat bahwa setiap nilai codomain termasuk dalam rentang tersebut.

Dengan cara ini dapat disimpulkan bahwa:

F: [0, ∞ ) → R didefinisikan oleh F (x) = ± √x Ini adalah fungsi perkiraan

Latihan 4

• Pelajari fungsi F (x) = Ln x menunjukkan jika itu adalah fungsi dugaan . Kondisikan set kedatangan dan keberangkatan agar sesuai dengan fungsi dengan kriteria dugaan.

Sumber: Penulis

Seperti yang ditunjukkan pada grafik, fungsi F (x) = Ln x ditentukan untuk nilai "x" yang lebih besar dari nol. Sedangkan nilai "dan" atau gambar bisa mengambil nilai sebenarnya.

Dengan cara ini kita dapat membatasi domain F (x) = ke interval (0, ∞ )

Selama rentang fungsinya dapat dipertahankan sebagai himpunan bilangan real R.

Berdasarkan hal tersebut, dapat disimpulkan bahwa:

F: [0, ∞ ) → R didefinisikan oleh F (x) = Ln x Ini adalah fungsi dugaan

Latihan 5

• Pelajari fungsi nilai absolut F (x) = - x - dan tentukan set kedatangan dan keberangkatan yang memenuhi kriteria dugaan.

Sumber: Penulis

Domain dari fungsi tersebut terpenuhi untuk semua bilangan real R. Dengan cara ini, satu-satunya pengkondisian harus dilakukan dalam codomain, dengan mempertimbangkan bahwa fungsi nilai absolut hanya mengambil nilai positif.

Kami melanjutkan untuk menetapkan codomain dari fungsi yang menyamakannya dengan peringkat yang sama

[0, ∞ )

Sekarang dapat disimpulkan bahwa:

F: [0, ∞ ) → R didefinisikan oleh F (x) = - x - Ini adalah fungsi dugaan

Latihan yang diusulkan

1. Periksa apakah fungsi berikut ini bersifat dugaan:

• F: (0, ∞ ) → R ditentukan oleh F (x) = Log (x + 1)
• F: R → R ditentukan oleh F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞ ) ditentukan oleh F (x) = x ² + 1
• [0, ∞ ) → R ditentukan oleh F (x) = Log (2x + 3)
• F: R → R ditentukan oleh F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R ditentukan oleh F (x) = 1 / x

Referensi

1. Pengantar Logika dan Berpikir Kritis. Merrilee H. Salmon. Universitas Pittsburgh
2. Masalah dalam Analisis Matematika. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universitas Wroclaw. Polandia.
3. Elemen Analisis Abstrak. Mícheál O'Searcoid PhD. Jurusan matematika. Perguruan tinggi Universitas Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Pengantar Logika dan Metodologi Ilmu Deduktif. Alfred Tarski, New York Oxford. Pers Universitas Oxford.
5. Prinsip analisis matematika. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Spanyol.