FUNGSI INJEKTIF: UNTUK APA, UNTUK APA DAN CONTOH - MATEMATIKA - 2024

Sebuah fungsi injektif adalah setiap hubungan unsur domain dengan satu elemen dari kodomain tersebut. Juga dikenal sebagai fungsi satu-ke-satu ( 1 - 1 ), mereka adalah bagian dari klasifikasi fungsi sehubungan dengan cara elemennya terkait.

Sebuah elemen dari codomain hanya dapat berupa gambar dari sebuah elemen domain, dengan cara ini nilai variabel dependen tidak dapat diulang.

Sumber: Penulis.

Contoh yang jelas adalah mengelompokkan pria dengan pekerjaan di grup A, dan di grup B semua bos. Fungsi F akan menjadi salah satu yang menghubungkan setiap pekerja dengan bosnya. Jika setiap pekerja dikaitkan dengan bos yang berbeda melalui F , maka F akan menjadi fungsi injeksi .

Untuk mempertimbangkan fungsi injeksi , berikut ini harus dipenuhi:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Ini adalah cara aljabar untuk mengatakan Untuk setiap x ₁ berbeda dari x ₂ kita memiliki F (x ₁ ) berbeda dari F (x ₂ ).

Untuk apa fungsi injeksi?

Injektifitas adalah properti fungsi berkelanjutan, karena memastikan penetapan gambar untuk setiap elemen domain, aspek penting dalam kelangsungan suatu fungsi.

Saat menggambar garis yang sejajar dengan sumbu X pada grafik fungsi injeksi, grafik hanya boleh disentuh pada satu titik, tidak peduli berapa tinggi atau besar Y garis tersebut. Ini adalah cara grafis untuk menguji injektivitas suatu fungsi.

Cara lain untuk menguji apakah suatu fungsi bersifat injektif adalah dengan menyelesaikan variabel independen X dalam bentuk variabel dependen Y. Kemudian harus diverifikasi jika domain ekspresi baru ini berisi bilangan real, pada saat yang sama untuk setiap nilai Y ada satu nilai X.

Fungsi-fungsi atau keteraturan hubungan tersebut antara lain mengikuti notasi F: D _f → C _f

Apa yang dibaca F yang beralih dari D _f ke C _f

Dimana fungsi F menghubungkan himpunan Domain dan Codomain. Juga dikenal sebagai set awal dan set finishing.

Domain D _f berisi nilai yang diperbolehkan untuk variabel independen. Kodomain C _f terdiri dari semua nilai yang tersedia untuk variabel dependen. Unsur-unsur C _{f yang} terkait dengan D _f dikenal sebagai Range dari fungsi (R _f ).

Pengondisian fungsi

Kadang-kadang suatu fungsi yang tidak bersifat suntik dapat mengalami kondisi tertentu. Kondisi baru ini bisa menjadikannya fungsi suntik. Semua jenis modifikasi pada domain dan codomain dari fungsi tersebut valid, di mana tujuannya adalah untuk memenuhi properti injektivitas dalam hubungan yang sesuai.

Contoh fungsi injeksi dengan latihan terselesaikan

Contoh 1

Misalkan fungsi F: R → R ditentukan oleh garis F (x) = 2x - 3

SEBUAH:

Sumber: Penulis.

Teramati bahwa untuk setiap nilai domain ada gambar di codomain. Gambar ini unik yang menjadikan F sebagai fungsi injeksi. Ini berlaku untuk semua fungsi linier (Fungsi yang derajat tertinggi variabelnya adalah satu).

Sumber: Penulis.

Contoh 2

Misalkan fungsi F: R → R ditentukan oleh F (x) = x ² +1

Sumber: Penulis

Saat menggambar garis horizontal, terlihat bahwa grafik ditemukan lebih dari satu kali. Karena itu, fungsi F tidak injektif selama R → R ditentukan

Kami melanjutkan ke kondisi domain fungsi:

F: R ⁺ U {0} → R

Sumber: Penulis

Sekarang variabel independen tidak mengambil nilai negatif, dengan cara ini, hasil berulang dihindari dan fungsi F: R ⁺ U {0} → R ditentukan oleh F (x) = x ² + 1 bersifat injektif .

Solusi homolog lainnya adalah membatasi domain ke kiri, yaitu membatasi fungsi untuk hanya mengambil nilai negatif dan nol.

Kami melanjutkan ke kondisi domain fungsi

F: R ^- U {0} → R

Sumber: Penulis

Sekarang variabel independen tidak mengambil nilai negatif, dengan cara ini hasil berulang dihindari dan fungsi F: R ^- U {0} → R didefinisikan oleh F (x) = x ² + 1 bersifat injektif .

Fungsi trigonometri memiliki perilaku seperti gelombang, di mana sangat umum untuk menemukan pengulangan nilai dalam variabel dependen. Melalui pengkondisian khusus, berdasarkan pengetahuan sebelumnya tentang fungsi-fungsi ini, kita dapat mempersempit domain untuk memenuhi kondisi injeksi.

Contoh 3

Misalkan fungsi F: → R didefinisikan oleh F (x) = Cos (x)

Dalam interval fungsi cosinus memvariasikan hasilnya antara nol dan satu.

Sumber: Penulis.

Seperti yang bisa dilihat di grafik. Dimulai dari nol pada x = - π / 2, kemudian mencapai maksimum pada nol. Setelah x = 0 , nilai-nilai mulai berulang, sampai kembali ke nol pada x = π / 2. Dengan cara ini diketahui bahwa F (x) = Cos (x) tidak injektif untuk interval tersebut.

Ketika mempelajari grafik fungsi F (x) = Cos (x) , diamati interval dimana perilaku kurva menyesuaikan dengan kriteria injektivitas. Seperti interval

Dimana fungsi bervariasi menghasilkan dari 1 hingga -1, tanpa mengulangi nilai apa pun dalam variabel dependen.

Dengan cara ini fungsi fungsi F: → R ditentukan oleh F (x) = Cos (x). Ini suntik

Ada fungsi nonlinier di mana kasus serupa terjadi. Untuk ekspresi tipe rasional, di mana penyebut berisi setidaknya satu variabel, ada batasan yang mencegah injektivitas hubungan.

Contoh 4

Misalkan fungsi F: R → R didefinisikan oleh F (x) = 10 / x

Fungsi ditentukan untuk semua bilangan real kecuali {0} yang memiliki ketidakpastian (Tidak dapat dibagi dengan nol) .

Ketika variabel dependen mendekati nol dari kiri, dibutuhkan nilai negatif yang sangat besar, dan segera setelah nol, nilai variabel dependen mengambil angka positif yang besar.

Gangguan ini membuat ekspresi F: R → R ditentukan oleh F (x) = 10 / x

Jangan injeksi.

Seperti yang terlihat pada contoh sebelumnya, pengecualian nilai dalam domain berfungsi untuk "memperbaiki" ketidakpastian ini. Kami melanjutkan untuk mengecualikan nol dari domain, membiarkan set awal dan akhir didefinisikan sebagai berikut:

R - {0} → R

Dimana R - {0} melambangkan real kecuali untuk himpunan yang satu-satunya elemen adalah nol.

Dengan cara ini ekspresi F: R - {0} → R didefinisikan oleh F (x) = 10 / x adalah injeksi.

Contoh 5

Misalkan fungsi F: → R didefinisikan oleh F (x) = Sen (x)

Dalam interval fungsi sinus bervariasi hasilnya antara nol dan satu.

Sumber: Penulis.

Seperti yang bisa dilihat di grafik. Ini dimulai dari nol pada x = 0 dan kemudian mencapai maksimum pada x = π / 2. Setelah x = π / 2, nilai-nilai mulai berulang, sampai kembali ke nol pada x = π. Dengan cara ini diketahui bahwa F (x) = Sen (x) tidak injektif untuk interval tersebut.

Ketika mempelajari grafik dari fungsi F (x) = Sen (x) , diamati interval dimana perilaku kurva menyesuaikan dengan kriteria injektivitas. Seperti interval

Dimana fungsi bervariasi menghasilkan dari 1 hingga -1, tanpa mengulangi nilai apa pun dalam variabel dependen.

Dengan cara ini fungsi F: → R ditentukan oleh F (x) = Sen (x). Ini suntik

Contoh 6

Periksa apakah fungsi F: → R ditentukan oleh F (x) = Tan (x)

F: → R didefinisikan oleh F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R ditentukan oleh garis F (x) = 7x + 2

Referensi

1. Pengantar Logika dan Berpikir Kritis. Merrilee H. Salmon. Universitas Pittsburgh
2. Masalah dalam Analisis Matematika. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universitas Wroclaw. Polandia.
3. Elemen Analisis Abstrak. Mícheál O'Searcoid PhD. Jurusan matematika. Perguruan tinggi Universitas Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Pengantar Logika dan Metodologi Ilmu Deduktif. Alfred Tarski, New York Oxford. Pers Universitas Oxford.
5. Prinsip analisis matematika. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Spanyol.