KURTOSIS: PENGERTIAN, JENIS, RUMUS, UNTUK APA, CONTOH - DUDAS - 2025

The kurtosis atau kurtosis merupakan parameter statistik yang digunakan untuk mengkarakterisasi distribusi probabilitas dari variabel random, menunjukkan tingkat konsentrasi nilai sekitar ukuran pusat. Ini juga dikenal sebagai "kelas puncak".

Istilah ini berasal dari bahasa Yunani “kurtos” yang artinya melengkung, oleh karena itu kurtosis menunjukkan derajat penunjukan atau perataan distribusi, seperti terlihat pada gambar berikut:

Gambar 1. Berbagai jenis kurtosis. Sumber: F. Zapata.

Hampir semua nilai variabel acak cenderung mengelompok di sekitar nilai sentral seperti mean. Tetapi di beberapa distribusi, nilainya lebih tersebar daripada di distribusi lain, menghasilkan kurva yang lebih datar atau lebih ramping.

Definisi

Kurtosis adalah nilai numerik yang khas dari setiap distribusi frekuensi, yang menurut konsentrasi nilai di sekitar mean, diklasifikasikan menjadi tiga kelompok:

- Leptokurtik: di mana nilai-nilai sangat berkerumun di sekitar mean, sehingga distribusinya cukup runcing dan ramping (gambar 1, kiri).

- Mesocúrtic: memiliki konsentrasi nilai sedang di sekitar mean (gambar 1 di tengah).

- Platicúrtica: distribusi ini bentuknya lebih lebar, karena nilainya cenderung lebih tersebar (gambar 1 di sebelah kanan).

Rumus dan persamaan

Kurtosis dapat memiliki nilai apa pun, tanpa batasan. Perhitungannya dilakukan tergantung pada cara pengiriman data. Notasi yang digunakan dalam setiap kasus adalah sebagai berikut:

-Koefisien kurtosis: g ₂

-Aritmatika berarti: X atau x dengan batang

-Nilai ke-i: x _i

Deviasi standar: σ

-Jumlah data: N

-Frekuensi nilai ke-i: f _i

-Kelas merek: mx _i

Dengan notasi ini, kami menyajikan beberapa rumus yang paling sering digunakan untuk menemukan kurtosis:

- Kurtosis menurut penyajian data

Data tidak dikelompokkan atau dikelompokkan dalam frekuensi

Data dikelompokkan dalam interval

Kurtosis berlebih

Juga disebut koefisien penargetan Fisher atau ukuran Fisher, ini digunakan untuk membandingkan distribusi yang diteliti dengan distribusi normal.

Ketika kurtosis berlebih adalah 0, kita berada pada distribusi normal atau bel Gaussian. Dengan cara ini, setiap kali kelebihan kurtosis dari suatu distribusi dihitung, kita sebenarnya membandingkannya dengan distribusi normal.

Untuk data yang tidak dikelompokkan dan dikumpulkan, koefisien penunjuk Fisher, dilambangkan dengan K, adalah:

K = g ₂ - 3

Sekarang, dapat ditunjukkan bahwa kurtosis distribusi normal adalah 3, oleh karena itu jika koefisien penunjuk Fisher adalah 0 atau mendekati 0 dan ada distribusi mesokratis. Jika K> 0 distribusinya leptokurtik dan jika K <0 distribusinya platicúrtic.

Untuk apa kurtosis?

Kurtosis adalah ukuran variabilitas yang digunakan untuk mengkarakterisasi morfologi suatu distribusi. Dengan cara ini, distribusi simetris dengan rata-rata yang sama dan dispersi yang sama (diberikan oleh deviasi standar) dapat dibandingkan.

Memiliki ukuran variabilitas memastikan bahwa rata-rata dapat diandalkan dan membantu mengontrol variasi dalam distribusi. Sebagai contoh, mari kita lihat dua situasi ini.

Gaji 3 departemen

Misalkan grafik berikut menunjukkan distribusi gaji dari 3 departemen di perusahaan yang sama:

Gambar 2. Tiga distribusi dengan kurtosis berbeda menggambarkan situasi praktis. (Disiapkan oleh Fanny Zapata)

Kurva A adalah yang paling tipis dari semuanya, dan dari bentuknya dapat disimpulkan bahwa sebagian besar gaji departemen itu sangat mendekati rata-rata, oleh karena itu sebagian besar karyawan menerima kompensasi yang sama.

Di sisi lain, di departemen B, kurva upah mengikuti distribusi normal, karena kurva tersebut mesocúrtic, di mana kami mengasumsikan bahwa upah didistribusikan secara acak.

Dan terakhir ada kurva C yang sangat datar, pertanda di departemen ini kisaran gaji jauh lebih luas daripada di departemen lain.

Hasil ujian

Sekarang anggaplah tiga kurva pada Gambar 2 mewakili hasil ujian yang diterapkan pada tiga kelompok siswa dari mata pelajaran yang sama.

Kelompok yang peringkatnya diwakili oleh kurva leptokurtik A cukup homogen, mayoritas memperoleh peringkat rata-rata atau mendekati.

Bisa juga karena soal tes memiliki tingkat kesulitan yang kurang lebih sama.

Sebaliknya, hasil kelompok C menunjukkan adanya heterogenitas yang lebih besar dalam kelompok tersebut, yang kemungkinan terdiri dari siswa rata-rata, beberapa siswa lebih lanjut dan tentunya kurang perhatian yang sama.

Atau itu bisa berarti bahwa soal tes memiliki tingkat kesulitan yang sangat berbeda.

Kurva B mesokutik, menunjukkan bahwa hasil tes mengikuti distribusi normal. Ini biasanya kasus yang paling sering terjadi.

Contoh kerja kurtosis

Temukan koefisien penilaian Fisher untuk nilai berikut, yang diperoleh dalam ujian Fisika kepada sekelompok siswa, dengan skala dari 1 hingga 10:

Larutan

Ekspresi berikut akan digunakan untuk data yang tidak dikelompokkan, diberikan di bagian sebelumnya:

K = g ₂ - 3

Nilai ini memungkinkan Anda mengetahui jenis distribusinya.

Untuk menghitung g _{2 akan} lebih mudah untuk melakukannya secara berurutan, selangkah demi selangkah, karena beberapa operasi aritmatika harus diselesaikan.

Langkah 1

Pertama, dihitung rata-rata nilai. Ada N = 11 data.

Langkah 2

Deviasi standar ditemukan, yang persamaan ini digunakan:

σ = 1,992

Atau Anda juga bisa membuat tabel, yang juga diperlukan untuk langkah berikutnya dan di mana setiap istilah penjumlahan yang akan dibutuhkan ditulis, dimulai dengan (x _i - X), lalu (x _i - X) ² dan kemudian (x _i - X) ⁴ :

LANGKAH 3

Lakukan penjumlahan yang ditunjukkan di pembilang rumus untuk g ₂ . Untuk ini, hasil kolom kanan dari tabel sebelumnya digunakan:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290,15

Jadi:

g ₂ = (1/11) x 290,15 /1,992 ⁴ = 1,675

Koefisien penunjuk Fisher adalah:

K = g ₂ - 3 = 1,675 - 3 = -1,325

Yang menarik adalah tanda hasil, yang, negatif, sesuai dengan distribusi platicúrtic, yang dapat ditafsirkan seperti yang dilakukan pada contoh sebelumnya: mungkin itu adalah kursus heterogen dengan siswa dari tingkat minat yang berbeda atau soal ujian yang tingkat kesulitan yang berbeda.

Penggunaan spreadsheet seperti Excel sangat memudahkan penyelesaian jenis masalah ini dan juga menawarkan opsi grafik distribusi.

Referensi

1. Levin, R. 1988. Statistik untuk Administrator. 2nd. Edisi. Prentice Hall.
2. Marco, F. Curtosis. Diperoleh dari: economipedia.com.
3. Oliva, J. Asimetri dan kurtosis. Diperoleh dari: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Pengambilan Keputusan dalam Manajemen. Limusa.
5. Wikipedia. Kurtosis. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org.