PERHITUNGAN PERKIRAAN MENGGUNAKAN DIFERENSIAL - MATEMATIKA - 2025

Perkiraan dalam matematika adalah bilangan yang bukan merupakan nilai pasti dari sesuatu, tetapi sangat dekat dengannya sehingga dianggap sama bermanfaatnya dengan nilai eksak tersebut.

Ketika perkiraan dibuat dalam matematika, itu karena secara manual sulit (atau terkadang tidak mungkin) untuk mengetahui nilai yang tepat dari apa yang Anda inginkan.

Alat utama saat bekerja dengan aproksimasi adalah diferensial suatu fungsi.

Diferensial fungsi f, dilambangkan dengan Δf (x), tidak lebih dari turunan fungsi f dikalikan dengan perubahan variabel independen, yaitu, Δf (x) = f '(x) * Δx.

Terkadang df dan dx digunakan sebagai pengganti Δf dan Δx.

Perkiraan menggunakan diferensial

Rumus yang diterapkan untuk melakukan pendekatan melalui diferensial muncul tepat dari definisi turunan fungsi sebagai batas.

Rumus ini diberikan oleh:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Di sini dipahami bahwa Δx = x-x0, oleh karena itu x = x0 + Δx. Dengan menggunakan rumus ini dapat ditulis ulang sebagai

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Perlu diperhatikan bahwa "x0" bukanlah nilai arbitrer, tetapi nilai sedemikian rupa sehingga f (x0) mudah diketahui; selain itu, "f (x)" hanyalah nilai yang ingin kita perkirakan.

Apakah ada perkiraan yang lebih baik?

Jawabannya iya. Di atas adalah pendekatan paling sederhana yang disebut "pendekatan linier".

Untuk pendekatan kualitas yang lebih baik (kesalahan yang dibuat lebih sedikit), polinomial dengan lebih banyak turunan yang disebut "polinomial Taylor" digunakan, serta metode numerik lainnya seperti metode Newton-Raphson.

Strategi

Strategi yang harus diikuti adalah:

- Pilih fungsi f yang sesuai untuk melakukan aproksimasi dan nilai «x» sedemikian sehingga f (x) adalah nilai yang akan didekati.

- Pilih nilai "x0", mendekati "x", sehingga f (x0) mudah dihitung.

- Hitung Δx = x-x0.

- Hitung turunan dari fungsi y f '(x0).

- Gantikan data dalam rumus.

Latihan aproksimasi terpecahkan

Dalam apa yang berlanjut ada serangkaian latihan di mana perkiraan dibuat dengan menggunakan diferensial.

Latihan pertama

Sekitar √3.

Larutan

Mengikuti strategi, fungsi yang sesuai harus dipilih. Dalam hal ini, terlihat bahwa fungsi yang dipilih haruslah f (x) = √x dan nilai yang akan didekati adalah f (3) = √3.

Sekarang kita harus memilih nilai "x0" yang mendekati "3" sehingga f (x0) mudah dihitung. Jika "x0 = 2" dipilih, maka "x0" mendekati "3" tetapi f (x0) = f (2) = √2 tidak mudah dihitung.

Nilai yang sesuai dari "x0" adalah "4", karena "4" mendekati "3" dan juga f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jika "x = 3" dan "x0 = 4", maka Δx = 3-4 = -1. Sekarang kita lanjutkan untuk menghitung turunan dari f. Artinya, f '(x) = 1/2 * √x, jadi f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Mengganti semua nilai dalam rumus yang Anda dapatkan:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Jika Anda menggunakan kalkulator, Anda mendapatkan √3≈1.73205… Ini menunjukkan bahwa hasil sebelumnya adalah perkiraan yang baik dari nilai sebenarnya.

Latihan kedua

Sekitar √10.

Larutan

Seperti sebelumnya, f (x) = √xy dipilih sebagai fungsi, dalam hal ini x = 10.

Nilai x0 yang harus dipilih kali ini adalah "x0 = 9". Kemudian kita dapatkan bahwa Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 dan f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Saat mengevaluasi dalam rumus diperoleh bahwa

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

Dengan menggunakan kalkulator diperoleh bahwa √10 ≈ 3.1622776… Di sini juga dapat dilihat bahwa pendekatan yang baik telah diperoleh sebelumnya.

Latihan ketiga

Perkiraan ³√10, di mana ³√ menunjukkan akar pangkat tiga.

Larutan

Jelas fungsi yang akan digunakan dalam latihan ini adalah f (x) = ³√x dan nilai "x" harus "10".

Nilai yang mendekati "10" sehingga akar pangkat tiga-nya diketahui adalah "x0 = 8". Maka kita mendapatkan bahwa Δx = 10-8 = 2 dan f (x0) = f (8) = 2. Kita juga memiliki f '(x) = 1/3 * ³√x², dan akibatnya f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Mengganti data dalam rumus, diperoleh bahwa:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

Kalkulator mengatakan bahwa ³√10 ≈ 2.15443469… Oleh karena itu, perkiraan yang ditemukan adalah baik.

Latihan keempat

Perkiraan ln (1.3), di mana "ln" menunjukkan fungsi logaritma natural.

Larutan

Pertama kita pilih sebagai fungsi f (x) = ln (x) dan nilai "x" adalah 1,3. Sekarang, mengetahui sedikit tentang fungsi logaritma, kita dapat mengetahui bahwa ln (1) = 0, dan selanjutnya "1" mendekati "1.3". Oleh karena itu, "x0 = 1" dipilih dan dengan demikian Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Sebaliknya f '(x) = 1 / x, sehingga f' (1) = 1. Saat mengevaluasi dalam rumus yang diberikan, kami memiliki:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Menggunakan kalkulator kita memiliki ln (1.3) ≈ 0.262364… Jadi perkiraan yang dibuat sudah bagus.

Referensi

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematika Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematika precalculus: pendekatan pemecahan masalah (2, edisi ke-Illustrated). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (edisi ke-8). Pembelajaran Cengage.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Geometri Analitik Bidang. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Prekalkulasi. Pendidikan Pearson.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (edisi ke-9). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Kalkulus Diferensial dengan fungsi transenden awal untuk Sains dan Teknik (edisi ke-Second Edition). Sisi miring.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Bagian: Analytical Conics (1907) (edisi ke-reprint). Sumber Petir.
10. Sullivan, M. (1997). Prekalkulasi. Pendidikan Pearson.