KONJUGASI BINOMIAL: CARA MENYELESAIKANNYA, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

Sebuah binomial konjugat dari binomial lain adalah satu di mana mereka hanya dibedakan oleh tanda operasi. Binomial, seperti yang tersirat dari namanya, adalah struktur aljabar yang terdiri dari dua suku.

Beberapa contoh binomial adalah: (a + b), (3m - n) dan (5x - y). Dan binomial terkonjugasi masing-masing adalah: (a - b), (-3m - n) dan (5x + y). Seperti yang bisa langsung dilihat, perbedaannya ada pada tandanya.

Gambar 1. Binomial dan binomial konjugasinya. Mereka memiliki istilah yang sama, tetapi berbeda dalam tanda. Sumber: F. Zapata.

Binomial yang dikalikan dengan hasil konjugatnya menghasilkan produk luar biasa yang banyak digunakan dalam aljabar dan sains. Hasil perkalian adalah pengurangan kuadrat dari suku-suku binomial asli.

Misalnya, (x - y) adalah binomial dan konjugasinya adalah (x + y). Jadi, hasil kali dua binomial adalah selisih kuadrat suku:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Bagaimana Anda menyelesaikan binomial konjugasi?

Aturan binomial terkonjugasi yang dinyatakan adalah sebagai berikut:

Sebagai contoh penerapan, kita akan mulai dengan mendemonstrasikan hasil sebelumnya, yang dapat dilakukan dengan menggunakan properti distributif hasil kali sehubungan dengan jumlah aljabar.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Perkalian di atas diperoleh dengan mengikuti langkah-langkah berikut:

- Suku pertama dari binomial pertama dikalikan dengan suku pertama dari suku kedua

- Lalu yang pertama dari yang pertama, untuk yang kedua dari yang kedua

- Kemudian yang kedua dari yang pertama dengan yang pertama dari yang kedua

- Akhirnya yang kedua dari yang pertama demi detik dari yang kedua.

Sekarang mari buat perubahan kecil menggunakan properti komutatif: yx = xy. Ini terlihat seperti ini:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Karena ada dua suku yang sama tetapi bertanda berlawanan (disorot dalam warna dan digarisbawahi), mereka dibatalkan dan disederhanakan:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Akhirnya, diterapkan bahwa mengalikan angka dengan sendirinya sama dengan menaikkannya menjadi pangkat dua, sehingga xx = x ² dan juga yy = y ² .

Dengan cara ini diperlihatkan apa yang telah ditunjukkan di bagian sebelumnya, bahwa hasil kali dari suatu penjumlahan dan selisihnya adalah selisih kuadrat:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Gambar 2. Jumlah dikalikan selisihnya adalah selisih kuadrat. Sumber: F. Zapata.

Contoh

- Binomial terkonjugasi dari berbagai ekspresi

Contoh 1

Tentukan konjugasi (y ² - 3y).

Jawab : (y ² + 3y)

Contoh 2

Dapatkan hasil kali dari (y ² - 3y) dan konjugatnya.

Jawab: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Contoh 3

Kembangkan produk (1 + 2a). (2a -1).

Jawaban: ekspresi sebelumnya sama dengan (2a + 1). (2a -1), yaitu terkait dengan hasil kali binomial dan konjugasinya.

Diketahui bahwa hasil kali binomial dengan binomial konjugasinya sama dengan selisih kuadrat dari suku-suku binomialnya:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Contoh 4

Tulis hasil kali (x + y + z) (x - y - z) sebagai selisih kuadrat.

Jawaban: kita dapat mengasimilasi trinomial di atas dengan bentuk binomial konjugasi, dengan hati-hati menggunakan tanda kurung dan tanda kurung siku:

(x + y + z) (x - y - z) =

Dengan cara ini perbedaan kuadrat dapat diterapkan:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Contoh 5

Nyatakan hasil kali (m ² - m -1). (M ² + m -1) sebagai selisih kuadrat.

Jawaban : ekspresi sebelumnya adalah hasil kali dari dua trinomial. Ini harus terlebih dahulu ditulis ulang sebagai produk dari dua binomial terkonjugasi:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Kami menerapkan fakta bahwa hasil kali binomial dengan konjugatnya adalah perbedaan kuadrat suku-suku, seperti yang telah dijelaskan:

. = (m ² -1) ² - m ²

Latihan

Seperti biasa, Anda mulai dengan latihan paling sederhana dan kemudian tingkatkan tingkat kerumitannya.

- Latihan 1

Tulis (9 - hingga ² ) sebagai produk.

Larutan

Pertama, kami menulis ulang ekspresi sebagai selisih kuadrat, untuk menerapkan apa yang telah dijelaskan sebelumnya. Jadi:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Selanjutnya kita memfaktorkan, yang setara dengan menulis selisih kuadrat ini sebagai hasil kali, seperti yang diminta dalam pernyataan:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3 -a)

- Latihan 2

Faktorkan 16x ² - 9y ⁴ .

Larutan

Memfaktorkan ekspresi berarti menuliskannya sebagai produk. Dalam hal ini, ekspresi tersebut harus ditulis ulang sebelumnya, untuk mendapatkan selisih kuadrat.

Tidak sulit untuk melakukan ini, karena jika diperhatikan dengan cermat, semua faktor adalah kuadrat sempurna. Misalnya 16 adalah kuadrat dari 4, 9 adalah kuadrat dari 3, dan ⁴ adalah kuadrat dari y ² dan x ² adalah kuadrat dari x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Kemudian kami menerapkan apa yang telah kami ketahui sebelumnya: bahwa selisih kuadrat adalah hasil kali binomial terkonjugasi:

(4x) ² - (3 dan ² ) ² = (4x - 3 dan ² ). (4x + 3 dan ² )

- Latihan 3

Tulis (a - b) sebagai hasil kali binomial

Larutan

Perbedaan di atas harus ditulis sebagai selisih kuadrat

(√a) ² - (√b) ²

Kemudian diterapkan bahwa selisih kuadrat adalah hasil kali dari binomial terkonjugasi

(√a - √b) (√a + √b)

- Latihan 4

Salah satu kegunaan binomial konjugasi adalah rasionalisasi ekspresi aljabar. Prosedur ini terdiri dari menghilangkan akar penyebut ekspresi pecahan, yang dalam banyak kasus memfasilitasi operasi. Ini diminta untuk menggunakan binomial konjugasi untuk merasionalisasi ekspresi berikut:

√ (2-x) /

Larutan

Hal pertama adalah mengidentifikasi binomial konjugasi penyebut :.

Sekarang kita mengalikan pembilang dan penyebut dari ekspresi asli dengan binomial konjugasi:

√ (2-x) / {.}

Dalam penyebut ekspresi sebelumnya, kita mengenali hasil kali selisih dengan jumlah, yang sudah kita ketahui sesuai dengan selisih kuadrat binomial:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Menyederhanakan penyebutnya adalah:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Sekarang kita berurusan dengan pembilang, yang akan kita terapkan properti distributif produk sehubungan dengan jumlah:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

Pada ekspresi sebelumnya kita mengenali hasil kali binomial (2-x) dengan konjugatnya, yang merupakan produk penting yang sama dengan selisih kuadrat. Dengan cara ini, ekspresi yang dirasionalisasi dan disederhanakan akhirnya diperoleh:

/ (1 - x)

- Latihan 5

Kembangkan produk berikut, menggunakan properti binomial konjugasi:

.

Larutan

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = .a ^(2x)

Pembaca yang penuh perhatian akan memperhatikan faktor umum yang telah disorot dalam warna.

Referensi

1. Baldor, A. 1991. Aljabar. Editorial Budaya Venezolana SA
2. González J. Latihan binomial terkonjugasi. Diperoleh dari: academia.edu.
3. Guru matematika Alex. Produk yang luar biasa. Dipulihkan dari youtube.com.
4. Math2me. Binomial terkonjugasi / produk terkenal. Dipulihkan dari youtube.com.
5. Produk binomial terkonjugasi. Diperoleh dari: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Binomial terkonjugasi. Dipulihkan dari: youtube.com.