AKSIOMA PROBABILITAS: JENIS, PENJELASAN, CONTOH, LATIHAN - DUDAS

The aksioma probabilitas yang proposisi matematika mengacu pada teori probabilitas, yang tidak bukti merit. Aksioma didirikan pada tahun 1933 oleh matematikawan Rusia Andrei Kolmogorov (1903-1987) dalam Foundations of Probability Theory dan meletakkan dasar untuk studi matematis tentang probabilitas.

Saat melakukan eksperimen acak tertentu ξ, ruang sampel E adalah himpunan dari semua kemungkinan hasil eksperimen, juga disebut peristiwa. Setiap peristiwa dilambangkan sebagai A dan P (A) adalah probabilitas kemunculannya. Kemudian Kolmogorov menetapkan bahwa:

Gambar 1. Aksioma probabilitas memungkinkan kita untuk menghitung probabilitas mengenai permainan peluang seperti roulette. Sumber: Pixabay.

- Aksioma 1 (non-negatif) : probabilitas bahwa setiap peristiwa A terjadi selalu positif atau nol, P (A) ≥0. Jika probabilitas suatu peristiwa adalah 0, maka disebut peristiwa tidak mungkin.

- Aksioma 2 (kepastian) : setiap kali suatu peristiwa termasuk dalam E, probabilitas kemunculannya adalah 1, yang dapat kita nyatakan sebagai P (E) = 1. Ini disebut peristiwa tertentu, karena ketika melakukan percobaan pasti ada akibatnya.

- Aksioma 3 (penjumlahan) : dalam kasus dua atau lebih peristiwa yang tidak kompatibel dua per dua, disebut A ₁ , A ₂ , A ₃ …, probabilitas bahwa peristiwa A ₁ ditambah A ₂ ditambah A _{3 akan} terjadi dan seterusnya berturut-turut, ini adalah jumlah probabilitas dari setiap kejadian secara terpisah.

Ini dinyatakan sebagai: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) +…

Gambar 2. Ahli matematika Rusia yang luar biasa Andrei Kolmogorov (1903-1987), yang meletakkan dasar untuk kemungkinan aksiomatik. Sumber: Wikimedia Commons.

Contoh

Aksioma probabilitas banyak digunakan dalam banyak aplikasi. Sebagai contoh:

Sebuah paku payung atau paku dilemparkan ke udara, dan ketika jatuh ke lantai ada opsi untuk mendarat dengan titik ke atas (U) atau dengan titik ke bawah (D) (kami tidak akan mempertimbangkan kemungkinan lain). Ruang sampel untuk eksperimen ini terdiri dari peristiwa-peristiwa ini, kemudian E = {U, D}.

Gambar 3. Dalam percobaan melempar paku, ada dua kejadian dengan kemungkinan yang berbeda: mendarat dengan ujung ke atas atau ke tanah. Sumber: Pixabay.

Dengan menerapkan aksioma kita memiliki:

Jika kemungkinan besar sama untuk mendarat ke atas atau ke bawah, P (U) = P (D) = ½ (Aksioma 1). Namun, konstruksi dan desain paku payung mungkin membuatnya lebih mungkin jatuh ke satu sisi atau lainnya. Misalnya, bisa jadi P (U) = ¾ sedangkan P (D) = ¼ (Aksioma 1).

Perhatikan bahwa dalam kedua kasus, jumlah probabilitas memberikan 1. Namun, aksioma tidak menunjukkan bagaimana menetapkan probabilitas, setidaknya tidak sepenuhnya. Tetapi mereka menyatakan bahwa mereka adalah angka antara 0 dan 1 dan, seperti dalam kasus ini, jumlah semuanya adalah 1.

Cara menetapkan probabilitas

Aksioma probabilitas bukanlah metode untuk menetapkan nilai probabilitas. Untuk ini, ada tiga opsi yang kompatibel dengan aksioma:

Aturan Laplace

Setiap peristiwa diberi probabilitas yang sama untuk terjadi, maka probabilitas kejadian didefinisikan sebagai:

Misalnya, berapa probabilitas menarik kartu as dari setumpuk kartu Prancis? Dek memiliki 52 kartu, 13 untuk setiap jenis dan ada 4 jenis. Setiap suit memiliki 1 ace, jadi totalnya ada 4 ace:

P (sebagai) = 4/52 = 1/13

Aturan Laplace terbatas pada ruang sampel yang terbatas, di mana setiap peristiwa memiliki kemungkinan yang sama.

Frekuensi relatif

Di sini eksperimen harus dapat diulang, karena metode ini didasarkan pada pengulangan dalam jumlah besar.

Mari kita buat i pengulangan percobaan i, yang kita temukan bahwa n adalah berapa kali peristiwa tertentu A terjadi, maka probabilitas peristiwa ini terjadi adalah:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Dimana n / i adalah frekuensi relatif dari suatu peristiwa.

Mendefinisikan P (A) dengan cara ini memenuhi aksioma Kolmogorov, tetapi memiliki kelemahan bahwa banyak pengujian harus dilakukan agar probabilitasnya sesuai.

Metode subyektif

Seseorang atau sekelompok orang dapat setuju untuk menetapkan probabilitas ke suatu peristiwa, melalui penilaian mereka sendiri. Metode ini memiliki kelemahan yaitu orang yang berbeda dapat menetapkan probabilitas yang berbeda untuk kejadian yang sama.

Latihan diselesaikan

Dalam percobaan melempar 3 koin jujur secara bersamaan, dapatkan kemungkinan kejadian yang dijelaskan:

a) 2 kepala dan satu ekor.

b) 1 kepala dan dua ekor

c) 3 salib.

d) Setidaknya 1 wajah.

Solusi untuk

Kepala dilambangkan dengan C dan ekor dengan X. Tetapi ada beberapa cara untuk mendapatkan dua kepala dan satu ekor. Misalnya, dua koin pertama bisa mendaratkan kepala dan yang ketiga bisa mendaratkan ekor. Atau yang pertama bisa jatuh kepala, ekor kedua dan kepala ketiga. Dan akhirnya yang pertama bisa menjadi buntut dan sisa kepala.

Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut perlu diketahui semua kemungkinan, yang dijelaskan dalam alat yang disebut diagram pohon atau pohon probabilitas:

Gambar 4. Diagram pohon untuk melempar tiga koin jujur secara bersamaan. Sumber: F. Zapata.

Probabilitas bahwa setiap koin akan menjadi kepala adalah ½, hal yang sama berlaku untuk ekor, karena koin tersebut jujur. Kolom kanan mencantumkan semua kemungkinan yang dimiliki lemparan, yaitu ruang sampel.

Dari ruang sampel, kombinasi yang merespons acara yang diminta dipilih, karena urutan kemunculan wajah tidaklah penting. Ada tiga peristiwa yang menguntungkan: CCX, CXC, dan XCC. Probabilitas setiap peristiwa terjadi adalah:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Hal yang sama terjadi untuk peristiwa CXC dan XCC, masing-masing memiliki kemungkinan 1/8 untuk terjadi. Oleh karena itu probabilitas untuk mendapatkan tepat 2 kepala adalah jumlah probabilitas dari semua peristiwa yang menguntungkan:

P (2 sisi) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Solusi b

Menemukan probabilitas bahwa tepat dua persilangan terjadi adalah masalah yang serupa dengan yang sebelumnya, ada juga tiga peristiwa menguntungkan yang diambil dari ruang sampel: CXX, XCX dan XXC. Jadi:

P (2 salib) = 3/8 = 0,375

Solusi c

Secara intuitif kita tahu bahwa kemungkinan mendapatkan 3 ekor (atau 3 ekor) lebih rendah. Dalam hal ini, peristiwa yang dicari adalah XXX, di ujung kolom kanan, yang probabilitasnya adalah:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Solusi d

Diminta untuk mendapatkan minimal 1 wajah, artinya 3 wajah, 2 wajah atau 1 wajah bisa keluar. Satu-satunya peristiwa yang tidak kompatibel dengan ini adalah peristiwa di mana 3 ekor keluar, yang probabilitasnya 0,125. Oleh karena itu probabilitas yang dicari adalah:

P (minimal 1 ekor) = 1 - 0,125 = 0,875.

Referensi

Canavos, G. 1988. Probabilitas dan Statistik: Aplikasi dan metode. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Probabilitas dan Statistik untuk Teknik dan Sains. 8. Edisi. Cengage.
Lipschutz, S. 1991. Seri Schaum: Probabilitas. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Teori probabilitas. Limusa Editorial.
Walpole, R. 2007. Probabilitas dan Statistik untuk Teknik dan Sains. Pearson.

AKSIOMA PROBABILITAS: JENIS, PENJELASAN, CONTOH, LATIHAN - DUDAS - 2025