BUSUR (GEOMETRI): UKURAN, JENIS LENGKUNGAN, CONTOH - MATEMATIKA - 2025

The busur , dalam geometri, adalah setiap garis melengkung yang menghubungkan dua titik. Garis lengkung, tidak seperti garis lurus, adalah garis yang arahnya berbeda pada setiap titik di atasnya. Kebalikan dari busur adalah segmen, karena ini adalah bagian lurus yang menghubungkan dua titik.

Busur yang paling sering digunakan dalam geometri adalah busur keliling. Lengkungan lain yang umum digunakan adalah lengkung parabola, lengkung elips, dan lengkung katener. Bentuk lengkung juga sering digunakan dalam arsitektur sebagai elemen dekoratif dan elemen struktur. Ini adalah kasus ambang pintu dan jendela, serta jembatan dan saluran air.

Gambar 1. Pelangi adalah garis lengkung yang menghubungkan dua titik di cakrawala. Sumber: Pixabay

Lengkungan dan ukurannya

Ukuran busur adalah panjangnya, yang bergantung pada jenis kurva yang menghubungkan dua titik dan lokasinya.

Panjang busur lingkaran adalah salah satu yang paling sederhana untuk dihitung, karena panjang busur lengkap atau keliling keliling diketahui.

Keliling sebuah lingkaran adalah dua pi dikalikan jari-jarinya: p = 2 π R. Mengetahui hal ini, jika kita ingin menghitung panjang s dari busur lingkaran dengan sudut α (diukur dalam radian) dan jari-jari R, sebuah proporsi diterapkan:

(s / p) = (α / 2 π)

Kemudian, membersihkan s dari ekspresi sebelumnya dan mengganti perimeter p untuk ekspresinya sebagai fungsi dari jari-jari R, kita memiliki:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Artinya, ukuran busur lingkaran adalah hasil kali bukaan sudutnya dikalikan jari-jari busur lingkaran.

Untuk lengkungan pada umumnya, masalahnya lebih rumit, sampai-sampai para pemikir besar zaman kuno mengklaim bahwa itu adalah tugas yang mustahil.

Tidak sampai munculnya kalkulus diferensial dan integral pada tahun 1665 masalah pengukuran busur apapun dapat diselesaikan dengan memuaskan.

Sebelum penemuan kalkulus diferensial, solusi hanya dapat ditemukan dengan menggunakan garis poligonal atau busur keliling yang mendekati busur sebenarnya, tetapi solusi ini tidak tepat.

Jenis busur

Dari segi geometri, busur diklasifikasikan menurut garis lengkung yang menghubungkan dua titik pada bidang tersebut. Ada klasifikasi lain menurut kegunaan dan bentuk arsitekturalnya.

Busur melingkar

Jika garis yang menghubungkan dua titik pada bidang adalah keliling dengan radius tertentu, kita memiliki busur lingkaran. Gambar 2 menunjukkan busur lingkaran c dengan jari-jari R titik penghubung A dan B.

Gambar 2. Busur melingkar dengan radius R yang menghubungkan titik A dan B. Dielaborasi oleh Ricardo Pérez.

Lengkungan parabola

Parabola adalah jalur yang diikuti oleh benda yang terlempar miring ke udara. Jika kurva yang menghubungkan dua titik tersebut berbentuk parabola, maka kita memiliki busur parabola seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.

Gambar 3. Titik penghubung busur parabola A dan B. Diuraikan oleh Ricardo Pérez.

Ini adalah bentuk semburan air yang keluar dari selang mengarah ke atas. Busur parabola dapat diamati di sumber air.

Gambar 4. Lengkungan parabola yang dibentuk oleh air dari air mancur di Dresden. Sumber: Pixabay.

Lengkungan catenary

Lengkungan catenary adalah lengkungan alami lainnya. Catenary adalah kurva yang terbentuk secara alami ketika rantai atau tali digantung longgar dari dua titik terpisah.

Gambar 5. Lengkungan katener dan perbandingan dengan lengkung parabola. Disiapkan oleh Ricardo Pérez.

Catenary ini mirip dengan parabola, tetapi tidak persis sama seperti yang terlihat pada gambar 4.

Lengkungan catenary terbalik digunakan dalam arsitektur sebagai elemen struktur dengan kekuatan tekan tinggi. Faktanya, itu bisa dibuktikan sebagai jenis busur terkuat di antara semua bentuk yang mungkin.

Untuk membuat lengkungan catenary yang kokoh, cukup salin bentuk tali atau rantai gantung, kemudian bentuk salinan dibalik untuk mereproduksinya di ambang pintu atau jendela.

Lengkungan elips

Busur berbentuk elips jika kurva yang menghubungkan dua titik berbentuk elips. Elips didefinisikan sebagai lokus titik yang jarak ke dua titik tertentu selalu berjumlah konstan.

Elips adalah kurva yang muncul di alam: kurva lintasan planet mengelilingi Matahari, seperti yang ditunjukkan oleh Johannes Kepler pada 1609.

Dalam praktiknya, elips dapat digambar dengan menyematkan dua penyangga ke tanah atau dua peniti di selembar kertas dan mengikatnya dengan tali. Tali tersebut kemudian dikencangkan dengan spidol atau pensil dan lengkungannya dilacak. Sepotong elips adalah busur elips. Animasi berikut menggambarkan bagaimana elips digambar:

Gambar 5. Menelusuri elips menggunakan tali kencang. Sumber: Wikimedia Commons

Gambar 6 menunjukkan busur elips yang menghubungkan titik G dan H.

Gambar 6. Lengkungan elips menghubungkan dua titik. Disiapkan oleh Ricardo Pérez.

Contoh lengkungan

Contoh berikut mengacu pada cara menghitung keliling beberapa lengkungan tertentu.

Contoh 1

Gambar 7 menunjukkan jendela selesai dalam busur melingkar yang dipotong. Dimensi yang ditunjukkan pada gambar adalah kaki. Temukan panjang busur.

Gambar 7. Perhitungan panjang busur lingkaran jendela. (Anotasi sendiri - gambar jendela di Pixabay)

Untuk mendapatkan pusat dan jari-jari lengkung lingkaran ambang jendela, konstruksi berikut dibuat pada gambar:

-Ruas KL digambar dan pembagiannya digambar.

-Lalu titik tertinggi ambang pintu berada, yang kita sebut M. Selanjutnya, segmen KM dipertimbangkan dan matriks perantara dilacak.

Perpotongan dari dua garis berat adalah titik N dan juga merupakan pusat dari busur lingkaran.

-Sekarang kita harus mengukur panjang segmen NM, yang bertepatan dengan jari-jari R dari busur lingkaran: R = 2,8 kaki.

-Untuk mengetahui panjang busur selain jari-jarinya, perlu diketahui sudut yang membentuk busur tersebut. Yang dapat ditentukan dengan dua metode, baik itu diukur dengan busur derajat, atau dihitung menggunakan trigonometri.

Dalam kasus yang ditunjukkan, sudut yang dibentuk oleh busur adalah 91,13º, yang harus diubah menjadi radian:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radian

Akhirnya kami menghitung panjang s dari busur menggunakan rumus s = α R.

s = 1,59 * 2,8 kaki = 4,45 kaki

Contoh 2

Temukan panjang busur elips yang ditunjukkan pada gambar 8, dengan mengetahui sumbu semi-mayor r dan sumbu semi-minor s dari elips.

Gambar 8. Lengkungan elips antara GH. Disiapkan oleh Ricardo Pérez.

Menemukan panjang elips adalah salah satu soal tersulit dalam matematika untuk waktu yang lama. Anda bisa mendapatkan solusi yang dinyatakan dengan integral elips, tetapi untuk mendapatkan nilai numerik, Anda harus memperluas integral ini dalam deret pangkat. Hasil yang tepat akan membutuhkan istilah tak terbatas dari deret tersebut.

Untungnya, ahli matematika Hindu yang jenius, Ramanujan, yang hidup antara tahun 1887 dan 1920, menemukan sebuah rumus yang mendekati keliling elips dengan sangat tepat:

Keliling elips dengan r = 3 cm dan s = 2.24 cm adalah 16.55 cm. Namun, busur elips yang ditunjukkan memiliki setengah nilai itu:

Panjang lengkungan elips GH = 8,28 cm.

Referensi

1. Clemens S. 2008. Geometri dan Trigonometri. Pendidikan Pearson.
2. García F. Prosedur numerik di Jawa. Panjang elips. Diperoleh dari: sc.ehu.es
3. Geometri dinamis. Busur. Dipulihkan dari geometriadinamica.es
4. Piziadas. Elips dan parabola di sekitar kita. Diperoleh dari: piziadas.com
5. Wikipedia. Lengkungan (geometri). Diperoleh dari: es.wikipedia.com