TEOREMA CHEBYSHOV: APA ITU, APLIKASI DAN CONTOH - MATEMATIKA - 2024

The Teorema Chebyshev (Chebyshev atau ketimpangan) adalah salah satu yang paling hasil klasik penting dari teori probabilitas. Hal ini memungkinkan estimasi probabilitas suatu peristiwa yang dijelaskan dalam variabel acak X, dengan memberi kita batasan yang tidak bergantung pada distribusi variabel acak tetapi pada varians X.

Teorema ini dinamai ahli matematika Rusia Pafnuty Chebyshov (juga ditulis sebagai Chebychev atau Tchebycheff) yang, meskipun bukan yang pertama menyatakan teorema, adalah orang pertama yang memberikan bukti pada tahun 1867.

Ketimpangan ini, atau yang karena karakteristiknya disebut ketidaksetaraan Chebyshov, digunakan terutama untuk memperkirakan probabilitas dengan menghitung ketinggian.

Terdiri dari apa?

Dalam kajian teori probabilitas, terjadi bahwa jika fungsi distribusi variabel acak X diketahui, nilai ekspektasinya -atau ekspektasi matematis E (X) - dan variansinya Var (X) dapat dihitung, asalkan jumlah seperti itu ada. Namun, kebalikannya belum tentu benar.

Artinya, mengetahui E (X) dan Var (X) belum tentu memungkinkan untuk mendapatkan fungsi distribusi X, oleh karena itu besaran seperti P (-X-> k) untuk beberapa k> 0 sangat sulit diperoleh. Namun berkat ketidaksamaan Chebyshov, dimungkinkan untuk memperkirakan probabilitas variabel acak.

Teorema Chebyshov memberi tahu kita bahwa jika kita memiliki variabel acak X di atas ruang sampel S dengan fungsi probabilitas p, dan jika k> 0, maka:

Aplikasi dan contoh

Di antara banyak aplikasi teorema Chebyshov, berikut ini yang dapat disebutkan:

Membatasi probabilitas

Ini adalah aplikasi yang paling umum dan digunakan untuk memberikan batas atas untuk P (-XE (X) -≥k) di mana k> 0, hanya dengan varians dan ekspektasi variabel acak X, tanpa mengetahui fungsi probabilitas .

Contoh 1

Misalkan jumlah produk yang diproduksi di suatu perusahaan selama seminggu merupakan variabel acak dengan rata-rata 50.

Jika varians dari satu minggu produksi diketahui sama dengan 25, lalu apa yang dapat kita katakan tentang probabilitas bahwa minggu ini produksi akan berbeda lebih dari 10 dari mean?

Larutan

Menerapkan ketidaksetaraan Chebyshov yang kami miliki:

Dari sini kita dapat memperoleh bahwa probabilitas bahwa dalam minggu produksi jumlah artikel melebihi rata-rata lebih dari 10 adalah paling banyak 1/4.

Bukti Teorema Batas

Ketimpangan Chebyshov memainkan peran penting dalam membuktikan teorema batas yang paling penting. Sebagai contoh kami memiliki yang berikut:

Hukum yang lemah untuk bilangan besar

Hukum ini menyatakan bahwa diberi urutan X1, X2,…, Xn,… dari variabel acak independen dengan distribusi rata-rata yang sama E (Xi) = μ dan varians Var (X) = σ ² , dan sampel rata-rata yang diketahui dari:

Kemudian untuk k> 0 kita punya:

Atau, dengan kata lain:

Demonstrasi

Pertama mari kita perhatikan yang berikut ini:

Karena X1, X2,…, Xn adalah independen, maka:

Oleh karena itu, dimungkinkan untuk menyatakan berikut ini:

Kemudian, dengan menggunakan teorema Chebyshov, kita memiliki:

Akhirnya, teorema dihasilkan dari fakta bahwa limit di sebelah kanan adalah nol ketika n mendekati tak terhingga.

Perlu dicatat bahwa tes ini dibuat hanya untuk kasus di mana varian Xi ada; artinya, tidak menyimpang. Jadi kami mengamati teorema selalu benar jika E (Xi) ada.

Teorema batas Chebyshov

Jika X1, X2,…, Xn,… adalah urutan variabel acak independen sedemikian rupa sehingga terdapat beberapa C <tak terhingga, sehingga Var (Xn) ≤ C untuk semua n alami, maka untuk setiap k> 0:

Demonstrasi

Karena urutan varians dibatasi secara seragam, kita mendapatkan bahwa Var (Sn) ≤ C / n, untuk semua n alami. Tapi kita tahu bahwa:

Membuat n cenderung ke arah tak terhingga, hasil sebagai berikut:

Karena probabilitas tidak dapat melebihi nilai 1, hasil yang diinginkan diperoleh. Sebagai konsekuensi dari teorema ini, kita dapat menyebutkan kasus Bernoulli tertentu.

Jika suatu percobaan diulang sebanyak n kali secara independen dengan dua kemungkinan hasil (kegagalan dan keberhasilan), di mana p adalah probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan dan X adalah variabel acak yang merepresentasikan jumlah keberhasilan yang diperoleh, maka untuk setiap k> 0 kamu harus:

Ukuran sampel

Dalam hal varians, ketidaksamaan Chebyshov memungkinkan kita menemukan ukuran sampel n yang cukup untuk menjamin bahwa probabilitas terjadinya -Sn-μ -> = k adalah sekecil yang diinginkan, yang memungkinkan kita untuk memiliki perkiraan ke rata-rata.

Secara khusus, misalkan X1, X2,… Xn menjadi sampel variabel acak independen berukuran n dan anggaplah bahwa E (Xi) = μ dan variansnya σ ² . Kemudian, berdasarkan ketidaksetaraan Chebyshov kita mendapatkan:

Contoh

Misalkan X1, X2,… Xn merupakan sampel variabel random independen berdistribusi Bernoulli, sehingga diambil nilai 1 dengan probabilitas p = 0,5.

Berapa ukuran sampel agar dapat menjamin bahwa probabilitas perbedaan antara mean aritmatika Sn dan nilai yang diharapkan (melebihi lebih dari 0,1), kurang dari atau sama dengan 0,01?

Larutan

Kita mendapatkan bahwa E (X) = μ = p = 0,5 dan bahwa Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Berdasarkan ketidaksamaan Chebyshov, untuk setiap k> 0 kita memiliki:

Sekarang, mengambil k = 0,1 dan δ = 0,01, kita memiliki:

Dengan cara ini disimpulkan bahwa ukuran sampel minimal 2.500 diperlukan untuk menjamin bahwa kemungkinan kejadian -Sn - 0,5 -> = 0,1 kurang dari 0,01.

Ketimpangan tipe Chebyshov

Ada beberapa ketimpangan terkait ketimpangan Chebyshov. Salah satu yang paling terkenal adalah ketidaksetaraan Markov:

Dalam ekspresi ini X adalah variabel acak non-negatif dengan k, r> 0.

Ketidaksetaraan Markov dapat terjadi dalam berbagai bentuk. Sebagai contoh, misalkan Y adalah variabel acak non-negatif (jadi P (Y> = 0) = 1) dan anggaplah bahwa E (Y) = μ ada. Misalkan juga bahwa (E (Y)) ^r = μ _r ada untuk beberapa bilangan bulat r> 1. Begitu:

Pertidaksamaan lainnya adalah Gaussian, yang memberi tahu kita bahwa diberi variabel acak unimodal X dengan mode nol, maka untuk k> 0,

Referensi

1. Kai Lai Chung. Teori Proabilitas Dasar dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Rosen, Matematika Diskrit dan Aplikasinya. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Probabilitas dan Aplikasi Statistik. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Soal Latihan Matematika Diskrit. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Masalah Teori dan Probabilitas. McGRAW-HILL.