ALJABAR VEKTOR: DASAR-DASAR, BESARAN, VEKTOR - MATEMATIKA

The vektor aljabar adalah cabang matematika yang studi sistem persamaan linear, vektor, matriks, ruang vektor dan transformasi linear. Ini terkait dengan bidang-bidang seperti teknik, menyelesaikan persamaan diferensial, analisis fungsional, riset operasi, grafik komputer, dan lain-lain.

Bidang lain yang diadopsi aljabar linier adalah fisika, karena melalui ini dimungkinkan untuk mengembangkan studi tentang fenomena fisik, menggambarkannya melalui penggunaan vektor. Hal ini memungkinkan pemahaman yang lebih baik tentang alam semesta.

Dasar-dasar

Aljabar vektor berasal dari studi quaternions (perpanjangan bilangan real) 1, i, j, dan k, serta dari geometri Cartesian yang dipromosikan oleh Gibbs dan Heaviside, yang menyadari bahwa vektor akan berfungsi sebagai instrumen untuk mewakili berbagai fenomena fisik.

Aljabar vektor dipelajari melalui tiga dasar:

Secara geometris

Vektor diwakili oleh garis yang memiliki orientasi, dan operasi seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dengan bilangan real ditentukan melalui metode geometris.

Secara analitis

Deskripsi vektor dan operasinya dilakukan dengan angka, yang disebut komponen. Jenis deskripsi ini merupakan hasil representasi geometris karena digunakan sistem koordinat.

Secara aksiomatis

Penjelasan tentang vektor dibuat, terlepas dari sistem koordinat atau jenis representasi geometris apa pun.

Kajian tentang figur-figur dalam ruang dilakukan melalui representasi mereka dalam suatu sistem referensi, yang dapat berada dalam satu dimensi atau lebih. Di antara sistem utama adalah:

- Sistem satu dimensi, yaitu garis lurus dimana satu titik (O) melambangkan asal dan titik lainnya (P) menentukan skala (panjang) dan arahnya:

- Sistem koordinat persegi panjang (dua dimensi), yang terdiri dari dua garis tegak lurus yang disebut sumbu x dan sumbu y, yang melewati suatu titik (O) asal; dengan cara ini bidang dibagi menjadi empat wilayah yang disebut kuadran. Dalam hal ini sebuah titik (P) pada bidang diberikan oleh jarak yang ada antara sumbu dan P.

- Sistem koordinat kutub (dua dimensi). Dalam hal ini sistem terdiri dari titik O (asal) yang disebut kutub dan sinar dengan asal dalam O disebut sumbu kutub. Dalam hal ini titik P bidang, dengan mengacu pada kutub dan sumbu kutub, ditentukan oleh sudut (Ɵ), yang dibentuk oleh jarak antara titik asal dan titik P.

- Sistem segi empat tiga dimensi, dibentuk oleh tiga garis tegak lurus (x, y, z) yang asalnya adalah titik O dalam ruang. Tiga bidang koordinat terbentuk: xy, xz dan yz; ruang akan dibagi menjadi delapan daerah yang disebut oktan. Referensi titik P di ruang angkasa diberikan oleh jarak yang ada antara bidang dan P.

Besaran

Besaran adalah besaran fisik yang dapat dihitung atau diukur melalui nilai numerik, seperti dalam kasus beberapa fenomena fisik; namun, seringkali perlu untuk dapat menggambarkan fenomena ini dengan faktor selain numerik. Itulah mengapa magnitudo diklasifikasikan menjadi dua jenis:

Besaran skalar

Mereka adalah kuantitas yang ditentukan dan direpresentasikan secara numerik; Yaitu, dengan modul bersama dengan satuan ukuran. Sebagai contoh:

a) Waktu: 5 detik.

b) Massa: 10 kg.

c) Volume: 40 ml.

d) Suhu: 40 ºC.

Besarnya vektor

Mereka adalah besaran-besaran yang ditentukan dan diwakili oleh modul bersama dengan satu unit, serta oleh indra dan arah. Sebagai contoh:

a) Kecepatan: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Akselerasi: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Gaya: 280 N, 120º.

d) Berat: -40 ĵ kg-f.

Besaran vektor secara grafis diwakili oleh vektor.

Apa itu vektor?

Vektor adalah representasi grafis dari besaran vektor; yaitu, mereka adalah segmen garis yang ujung akhirnya adalah ujung panah.

Ini ditentukan oleh modul atau panjang ruasnya, arahnya yang ditunjukkan oleh ujung anak panahnya dan arahnya menurut garis tempatnya. Asal muasal vektor juga dikenal sebagai titik penerapan.

Elemen-elemen vektor adalah sebagai berikut:

Modul

Ini adalah jarak dari titik asal ke ujung vektor, diwakili oleh bilangan real bersama dengan satu unit. Sebagai contoh:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Alamat

Ini adalah ukuran sudut yang ada antara sumbu x (dari positif) dan vektor, serta titik mata angin (utara, selatan, timur dan barat) yang digunakan.

Merasakan

Itu diberikan oleh panah yang terletak di ujung vektor, menunjukkan kemana arahnya.

Klasifikasi vektor

Secara umum, vektor diklasifikasikan sebagai:

Vektor tetap

Itu adalah salah satu yang titik penerapan (asal) ditetapkan; Artinya, ia tetap terhubung ke suatu titik di angkasa, jadi ia tidak bisa bergerak di dalamnya.

Vektor gratis

Ia dapat bergerak bebas di ruang angkasa karena asalnya bergerak ke titik mana pun tanpa mengubah modul, arah, atau arahnya.

Vektor slider

Ini adalah salah satu yang dapat mentransfer asalnya di sepanjang garis tindakannya tanpa mengubah modul, arah atau arahnya.

Sifat vektor

Di antara sifat utama vektor adalah sebagai berikut:

Lensa tim vektor

Mereka adalah vektor bebas yang memiliki modul, arah yang sama (atau paralel) dan merasakan sebagai vektor geser atau vektor tetap.

Vektor yang setara

Itu terjadi ketika dua vektor memiliki arah yang sama (atau paralel), pengertian yang sama, dan meskipun memiliki modul dan titik aplikasi yang berbeda, mereka menyebabkan efek yang sama.

Persamaan vektor

Ini memiliki modul, arah dan rasa yang sama, meskipun titik awalnya berbeda, yang memungkinkan vektor paralel menerjemahkan dirinya sendiri tanpa memengaruhinya.

Vektor Berlawanan

Mereka adalah orang-orang yang memiliki modul dan arah yang sama, tetapi artinya berlawanan.

Vektor satuan

Ini adalah salah satu modul yang sama dengan unit (1). Ini diperoleh dengan membagi vektor dengan modulnya dan digunakan untuk menentukan arah dan pengertian suatu vektor, baik di bidang maupun di luar angkasa, menggunakan vektor dasar atau satuan yang dinormalisasi, yaitu:

Vektor nol

Ini adalah salah satu yang modulusnya sama dengan 0; Artinya, titik asal dan ujungnya bertepatan pada titik yang sama.

Komponen vektor

Komponen vektor adalah nilai proyeksi dari vektor pada sumbu sistem referensi; Bergantung pada dekomposisi vektor, yang dapat berada pada sumbu dua atau tiga dimensi, dua atau tiga komponen akan diperoleh, masing-masing.

Komponen sebuah vektor adalah bilangan real, yang bisa positif, negatif, atau bahkan nol (0).

Jadi, jika kita memiliki vektor Ā, yang bersumber dari sistem koordinat persegi panjang pada bidang xy (dua dimensi), proyeksi pada sumbu x adalah Āx dan proyeksi pada sumbu y adalah Āy. Dengan demikian, vektor akan diekspresikan sebagai penjumlahan dari vektor komponennya.

Contoh

Contoh pertama

Kami memiliki vektor Ā yang dimulai dari titik asal dan koordinat ujungnya diberikan. Jadi, vektor Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

Jika vektor Ā bekerja pada titik asal sistem koordinat segitiga tiga dimensi (dalam ruang) x, y, z, hingga titik lain (P), proyeksi pada sumbunya adalah Āx, Āy, dan Āz; dengan demikian, vektor akan diekspresikan sebagai penjumlahan dari ketiga vektor komponennya.

Contoh kedua

Kami memiliki vektor Ā yang dimulai dari titik asal dan koordinat ujungnya diberikan. Jadi, vektor Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

Vektor yang memiliki koordinat persegi panjangnya dapat dinyatakan dalam vektor alasnya. Untuk itu setiap koordinat hanya boleh dikalikan dengan vektor satuannya masing-masing, sedemikian rupa sehingga untuk bidang dan ruang menjadi sebagai berikut:

Untuk bidang: Ā = A _x i + A _y j.

Untuk ruang: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Operasi vektor

Ada banyak besaran yang dimiliki suatu modul, indra, dan arahnya, seperti percepatan, kecepatan, perpindahan, gaya, dan lain-lain.

Ini diterapkan di berbagai bidang ilmu pengetahuan, dan untuk menerapkannya dalam beberapa kasus perlu dilakukan operasi seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian vektor dan skalar.

penjumlahan dan pengurangan vektor

Penjumlahan dan pengurangan vektor dianggap sebagai operasi aljabar tunggal karena pengurangan dapat ditulis sebagai penjumlahan; sebagai contoh, pengurangan vektor Ā dan Ē dapat dinyatakan sebagai:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Ada beberapa metode berbeda untuk menjumlahkan dan mengurangkan vektor: bisa dalam bentuk grafik atau analitik.

Metode grafis

Digunakan ketika vektor memiliki modul, arah dan arah. Untuk ini, garis digambar yang membentuk gambar yang nantinya membantu untuk menentukan hasil. Di antara yang paling terkenal adalah sebagai berikut:

Metode jajar genjang

Untuk melakukan penjumlahan atau pengurangan dua vektor, satu titik yang sama dipilih pada sumbu koordinat -yang akan mewakili titik asal vektor-, dengan tetap mempertahankan modul, arah dan arahnya.

Garis kemudian ditarik sejajar dengan vektor untuk membentuk jajaran genjang. Vektor yang dihasilkan adalah diagonal yang bergerak dari titik asal kedua vektor ke puncak jajaran genjang:

Metode segitiga

Dalam metode ini vektor ditempatkan satu demi satu, menjaga modul, arah dan arahnya. Vektor yang dihasilkan akan menjadi penyatuan asal vektor pertama dengan akhir vektor kedua:

metode analitis

Dua atau lebih vektor dapat ditambahkan atau dikurangi melalui metode geometris atau vektor:

Metode geometris

Ketika dua vektor membentuk segitiga atau jajaran genjang, m) .push ({});

- Sifat distributif skalar: jika sebuah vektor dikalikan dengan penjumlahan dua skalar, sama dengan perkalian vektor untuk setiap skalar.

Perkalian vektor

Perkalian atau perkalian vektor dapat dilakukan sebagai penjumlahan atau pengurangan, tetapi melakukannya dengan cara itu kehilangan makna fisik dan hampir tidak pernah ditemukan dalam aplikasi. Untuk alasan ini, jenis produk yang paling umum digunakan adalah produk skalar dan vektor.

Produk skalar

Ia juga dikenal sebagai perkalian titik dari dua vektor. Ketika modul dua vektor dikalikan dengan kosinus dari sudut terkecil yang terbentuk di antara keduanya, maka diperoleh skalar. Untuk mengekspresikan produk skalar antara dua vektor, sebuah titik ditempatkan di antara keduanya, dan ini dapat didefinisikan sebagai:

Nilai sudut yang ada di antara dua vektor akan bergantung pada apakah mereka sejajar atau tegak lurus; oleh karena itu, Anda harus:

- Jika vektornya sejajar dan memiliki pengertian yang sama, cosinus 0º = 1.

- Jika vektor sejajar dan berlawanan arah, cosinus 180º = -1.

- Jika vektor tegak lurus, cosinus 90º = 0.

Sudut tersebut juga dapat dihitung dengan mengetahui bahwa:

Produk titik memiliki properti berikut:

- Properti komutatif: urutan vektor tidak mengubah skalar.

Properti -Distributif: jika skalar dikalikan dengan jumlah dua vektor, maka sama dengan perkalian skalar untuk setiap vektor.

Produk vektor

Perkalian vektor, atau perkalian silang dua vektor A dan B, akan menghasilkan vektor baru C dan diekspresikan menggunakan persilangan antar vektor:

Vektor baru akan memiliki karakteristiknya sendiri. Dengan cara itu:

- Arah: vektor baru ini akan tegak lurus dengan bidang, yang ditentukan oleh vektor aslinya.

- Arah: ini ditentukan dengan aturan tangan kanan, di mana vektor A diputar ke arah B, menunjukkan arah rotasi dengan jari, dan arah vektor ditandai dengan ibu jari.

- Modul: ditentukan oleh perkalian modul dari vektor-vektor AxB, dengan sinus dari sudut terkecil yang ada di antara vektor-vektor ini. Itu diungkapkan:

Nilai sudut yang ada di antara kedua vektor akan bergantung pada apakah kedua vektor tersebut sejajar atau tegak lurus. Jadi, dimungkinkan untuk menyatakan yang berikut:

- Jika vektornya sejajar dan memiliki pengertian yang sama, sinus 0º = 0.

- Jika vektor sejajar dan berlawanan arah, sinus 180º = 0.

- Jika vektor tegak lurus, sinus 90º = 1.

Ketika produk vektor dinyatakan dalam vektor dasarnya, kita memiliki: