FUNGSI TUJUAN: APA ITU, BAGAIMANA ITU DILAKUKAN, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIKA - 2024

Sebuah fungsi bijektif adalah salah satu yang memenuhi kondisi ganda menjadi injective dan surjective . Artinya, semua elemen domain memiliki satu gambar di codomain, dan pada gilirannya codomain sama dengan peringkat fungsi ( R _f ).

Ini dipenuhi dengan mempertimbangkan hubungan satu-ke-satu antara elemen domain dan codomain. Contoh sederhananya adalah fungsi F: R → R yang ditentukan oleh garis F (x) = x

Sumber: Penulis

Teramati bahwa untuk setiap nilai domain atau set awal (kedua istilah berlaku sama) ada satu gambar dalam codomain atau set kedatangan. Selain itu, tidak ada elemen codomain selain image.

Dengan cara ini F: R → R ditentukan oleh garis F (x) = x bersifat bijektiva

Bagaimana Anda melakukan fungsi bijektiva?

Untuk menjawab ini, perlu untuk menjadi jelas tentang konsep yang berkaitan dengan injektivitas dan Overjectivity dari fungsi , serta kriteria untuk fungsi pendingin untuk beradaptasi mereka untuk persyaratan.

Injectivitas suatu fungsi

Suatu fungsi bersifat injektif ketika setiap elemen domainnya terkait dengan satu elemen dari codomain. Sebuah elemen dari codomain hanya dapat berupa gambar dari sebuah elemen domain, dengan cara ini nilai variabel dependen tidak dapat diulang.

Untuk mempertimbangkan fungsi injeksi , berikut ini harus dipenuhi:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Kejujuran suatu fungsi

Suatu fungsi diklasifikasikan sebagai dugaan jika setiap elemen dari codomain-nya adalah gambar dari setidaknya satu elemen domain.

Untuk mempertimbangkan suatu fungsi dugaan , berikut ini harus dipenuhi:

Misal F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Ini adalah cara aljabar untuk menetapkan bahwa untuk setiap "b" yang dimiliki C _f ada "a" yang dimiliki D _f sehingga fungsi yang dievaluasi dalam "a" sama dengan "b".

Pengondisian fungsi

Terkadang suatu fungsi yang tidak bersifat bijective dapat mengalami kondisi tertentu. Kondisi baru ini dapat menjadikannya fungsi bijective. Semua jenis modifikasi pada domain dan codomain dari fungsi tersebut valid, di mana tujuannya adalah untuk memenuhi sifat-sifat injektifitas dan dugaan dalam hubungan yang sesuai.

Contoh: latihan terselesaikan

Latihan 1

Misalkan fungsi F: R → R ditentukan oleh garis F (x) = 5x +1

SEBUAH:

Teramati bahwa untuk setiap nilai domain ada gambar di codomain. Gambar ini unik yang menjadikan F sebagai fungsi injeksi . Dengan cara yang sama, kami mengamati bahwa codomain dari fungsi tersebut sama dengan peringkatnya. Dengan demikian memenuhi kondisi dugaan .

Menjadi injektif dan surjective pada saat yang sama kita dapat menyimpulkan itu

F: R → R didefinisikan oleh garis F (x) = 5x +1 adalah fungsi bijektiva.

Ini berlaku untuk semua fungsi linier (Fungsi yang derajat tertinggi variabelnya adalah satu).

Latihan 2

Misalkan fungsi F: R → R ditentukan oleh F (x) = 3x ² - 2

Saat menggambar garis horizontal, terlihat bahwa grafik ditemukan lebih dari satu kali. Oleh karena itu, fungsi F tidak bersifat injektif dan oleh karena itu tidak akan bersifat bijektiva selama didefinisikan dalam R → R

Demikian pula, ada nilai codomain yang bukan merupakan gambar dari elemen mana pun di domain. Karena itu, fungsinya tidak surjective, yang juga layak untuk mengkondisikan set kedatangan.

Kami melanjutkan ke kondisi domain dan codomain dari fungsi tersebut

F: →

Di mana diamati bahwa domain baru mencakup nilai dari nol hingga tak terhingga positif. Menghindari pengulangan nilai yang mempengaruhi injeksi.

Demikian juga, kodomain telah dimodifikasi, dihitung dari "-2" hingga positif tak terhingga, menghilangkan dari kodomain nilai yang tidak sesuai dengan elemen mana pun dari domain tersebut

Dengan cara ini dapat dipastikan bahwa F : → didefinisikan oleh F (x) = 3x ² - 2

Ini bersifat bijektiva

Latihan 3

Misalkan fungsi F: R → R didefinisikan oleh F (x) = Sen (x)

Dalam interval fungsi sinus bervariasi hasilnya antara nol dan satu.

Sumber: Penulis.

Fungsi F tidak sesuai dengan kriteria injektivitas dan surjektifitas, karena nilai variabel dependen diulang setiap interval π. Lebih lanjut, istilah codomain di luar interval bukanlah gambar dari setiap elemen domain.

Saat mempelajari grafik fungsi F (x) = Sen (x) , diamati interval di mana perilaku kurva memenuhi kriteria bijektivitas . Adapun misalnya interval D _f = untuk domain tersebut. Dan C _f = untuk codomain.

Dimana fungsi bervariasi menghasilkan dari 1 hingga -1, tanpa mengulangi nilai apa pun dalam variabel dependen. Dan pada saat yang sama domain kode sama dengan nilai yang diadopsi oleh ekspresi Sen (x)

Jadi fungsi F: → didefinisikan oleh F (x) = Sen (x). Ini bersifat bijektiva

Latihan 4

Sebutkan kondisi yang diperlukan untuk D _f dan C _f . Jadi ekspresinya

F (x) = -x ² menjadi bijective.

Sumber: Penulis

Pengulangan hasil diamati ketika variabel mengambil nilai yang berlawanan:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Domain dikondisikan, membatasinya ke sisi kanan dari garis nyata.

D _f =

Dengan cara yang sama, diamati bahwa rentang fungsi ini adalah interval, yang bila bertindak sebagai domain kode memenuhi persyaratan perkiraan.

Dengan cara ini kita bisa menyimpulkan itu

Ekspresi F: → didefinisikan oleh F (x) = -x ² Ini bersifat bijektiva

Latihan yang diusulkan

Periksa apakah fungsi berikut bersifat bijektiva:

F: → R didefinisikan oleh F (x) = 5ctg (x)

F: → R didefinisikan oleh F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R ditentukan oleh garis F (x) = -5x + 4

Referensi

1. Pengantar Logika dan Berpikir Kritis. Merrilee H. Salmon. Universitas Pittsburgh
2. Masalah dalam Analisis Matematika. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universitas Wroclaw. Polandia.
3. Elemen Analisis Abstrak. Mícheál O'Searcoid PhD. Jurusan matematika. Perguruan tinggi Universitas Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Pengantar Logika dan Metodologi Ilmu Deduktif. Alfred Tarski, New York Oxford. Pers Universitas Oxford.
5. Prinsip analisis matematika. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Spanyol.