- Asal koordinat persegi panjang
- Pesawat Cartesian
- Jarak antara dua titik
- Ekspresi analitis dari sebuah garis
- Contoh
- Contoh 1
- Contoh 2
- Latihan terselesaikan
- Latihan 1
- Latihan 2
- Referensi
The koordinat persegi panjang atau Cartesian adalah mereka yang diperoleh pada ortogonal memproyeksikan tiga sumbu Cartesian X, Y, Z titik yang terletak di tiga - dimensi ruang.
Sumbu kartesius adalah garis yang saling berorientasi tegak lurus satu sama lain. Dalam sistem koordinat Kartesius, setiap titik dalam ruang diberi tiga bilangan real yang merupakan koordinat persegi panjangnya.
Gambar 1. Koordinat persegi panjang titik P (Elaborasi sendiri)
Pesawat adalah subruang dari ruang tiga dimensi. Dalam hal mempertimbangkan titik-titik pada sebuah bidang, maka cukup memilih sepasang sumbu tegak lurus X, Y sebagai sistem Cartesian. Kemudian setiap titik pada bidang diberi dua bilangan real yang merupakan koordinat persegi panjangnya.
Asal koordinat persegi panjang
Koordinat persegi panjang awalnya diusulkan oleh ahli matematika Prancis René Descartes (1596 dan 1650), itulah sebabnya mereka disebut Cartesian.
Dengan gagasan Descartes ini, titik-titik dalam bidang dan dalam ruang diberi nomor, sehingga bangun geometri memiliki persamaan aljabar yang terkait dengannya dan teorema geometri klasik dapat dibuktikan secara aljabar. Dengan koordinat Cartesian, geometri analitik lahir.
Pesawat Cartesian
Jika dalam sebuah bidang dipilih dua garis tegak lurus yang berpotongan pada titik O; dan jika, sebagai tambahan, setiap garis diberi arah dan skala numerik antara titik jarak yang sama berturut-turut, maka ada sistem atau bidang Cartesian di mana setiap titik bidang dikaitkan dengan pasangan terurut dari dua bilangan real yang proyeksi masing-masing pada sumbu X dan Y.
Poin A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) dan D = (3, -3) direpresentasikan dalam bidang Cartesian seperti yang ditunjukkan di bawah ini:
Gambar 2. Titik di bidang Cartesian. (Elaborasi sendiri)
Perhatikan bahwa dua sumbu X dan Y membagi bidang menjadi empat sektor yang disebut kuadran. Titik A ada di kuadran pertama, titik B ada di kuadran kedua, titik C ada di kuadran ketiga, dan titik D ada di kuadran keempat.
Jarak antara dua titik
Jarak antara dua titik A dan B pada bidang Kartesius adalah panjang ruas yang menghubungkan keduanya. Jarak ini dapat dihitung secara analitik sebagai berikut:
d (A, B) = √ (Bx - Axe) ^ 2 + (Oleh - Ay) ^ 2)
Rumus di atas diperoleh dengan menerapkan teorema Pythagoras.
Menerapkan rumus ini ke poin A, B pada gambar 2 kami memiliki:
d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)
Artinya, d (A, B) = 5,10 unit. Perhatikan bahwa jarak diperoleh tanpa perlu mengukur dengan penggaris, prosedur aljabar lengkap telah diikuti.
Ekspresi analitis dari sebuah garis
Koordinat persegi panjang memungkinkan representasi analitik dari objek geometris dasar seperti titik dan garis. Dua titik A dan B menentukan satu garis. Kemiringan garis didefinisikan sebagai hasil bagi antara selisih koordinat Y titik B dikurangi A, dibagi selisih koordinat X titik B dikurangi A:
kemiringan = (Dengan - Ay) / (Bx - Ax)
Setiap titik P dari koordinat (x, y) yang termasuk dalam garis (AB) harus memiliki kemiringan yang sama:
kemiringan = (y - Ay) / (x - Ax)
Persamaan yang diperoleh melalui persamaan lereng adalah representasi analitis atau aljabar dari garis yang melewati titik A dan B:
(y - Ay) / (x - Ax) = (Oleh - Ay) / (Bx - Ax).
Jika kita mengambil A dan B koordinat persegi panjang dari gambar 2 kita memiliki:
(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)
(y - 2) / (x - 3) = -⅕
Dalam kasus khusus ini kita memiliki garis dengan kemiringan negatif -⅕, yang berarti bahwa dengan menempatkan titik pada garis dan meningkatkan koordinat x sebanyak satu unit, koordinat y berkurang 0,2 unit.
Cara paling umum untuk menuliskan persamaan garis pada bidang adalah dengan membersihkan koordinat y sebagai fungsi dari variabel x:
y = - (1/5) x + 13/5
Contoh
Contoh 1
Dengan metode analisis diperoleh jarak antara titik C dan A, menjadi koordinat persegi panjang C = (-2, -3) dan A = (3,2).
Rumus jarak Euclidean antara dua titik ini dituliskan seperti ini:
d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)
Mengganti koordinat persegi panjang yang sesuai, kami memiliki:
d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07
Contoh 2
Dapatkan persamaan garis yang melewati titik C dari koordinat (-2, -3) dan titik P dari koordinat (2, 0).
Pertama, kemiringan garis CP diperoleh:
kemiringan = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾
Setiap titik Q dari koordinat persegi panjang generik (x, y) yang termasuk dalam garis CP harus memiliki kemiringan yang sama:
kemiringan = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)
Dengan kata lain persamaan garis CP adalah:
(y +3) / (x +2) = ¾
Cara alternatif untuk menulis persamaan garis CP adalah dengan menyelesaikan y:
y = ¾ x - 3/2
Latihan terselesaikan
Latihan 1
Dapatkan koordinat persegi panjang dari titik perpotongan antara garis y = - (1/5) x + 13/5 dan garis y = ¾ x - 3/2.
Solusi: Secara definisi, titik perpotongan dua garis memiliki koordinat persegi panjang yang sama. Oleh karena itu, koordinat y pada titik perpotongan sama untuk kedua garis:
- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2
yang mengarah ke ekspresi berikut:
(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2
memecahkan jumlah pecahan yang kita peroleh:
19/20 x = 41/10
Memecahkan untuk x:
x = 82/19 = 4,32
Untuk mendapatkan nilai y dari perpotongan, nilai x yang diperoleh diganti di salah satu garis:
y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74
Ini berarti bahwa garis yang diberikan berpotongan pada titik I dari koordinat I = (4.32, 1.74).
Latihan 2
Dapatkan persamaan keliling yang melewati titik R dari koordinat persegi panjang (3, 4) dan yang berpusat pada koordinat asal.
Solusi: Jari-jari R adalah jarak dari titik R ke koordinat asal O (0, 0).
d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3-0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
Artinya, itu adalah lingkaran berjari-jari 5 yang berpusat pada (0,0).
Setiap titik P (x, y) pada keliling harus memiliki jarak yang sama 5 dari pusat (0, 0) sehingga dapat dituliskan:
d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Artinya:
√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Untuk menghilangkan akar kuadrat, kedua anggota persamaan dikuadratkan, sehingga diperoleh:
x ^ 2 + y ^ 2 = 25
Apa persamaan kelilingnya.
Contoh ini menggambarkan kekuatan sistem koordinat persegi panjang, yang memungkinkan untuk menentukan objek geometris, seperti keliling, tanpa perlu menggunakan kertas, pensil, dan kompas. Lingkar yang diminta telah ditentukan hanya dengan metode aljabar.
Referensi
- Arfken G dan Weber H. (2012). Metode matematika untuk fisikawan. Panduan lengkap. Edisi ke-7. Pers Akademik. ISBN 978-0-12-384654-9
- Perhitungan cc. Soal-soal koordinat persegi panjang yang diselesaikan. Diperoleh dari: calculo.cc
- Weisstein, Eric W. "Koordinat Kartesius." Dari MathWorld-A Wolfram Web. Diperoleh dari: mathworld.wolfram.com
- wikipedia. Sistem koordinasi cartesian. Diperoleh dari: en.wikipedia.com