SEGITIGA: SEJARAH, ELEMEN, KLASIFIKASI, PROPERTI - ILMU - 2025

The segitiga datar dan ditutup geometris angka, yang terdiri dari tiga sisi. Segitiga ditentukan oleh tiga garis yang berpotongan dua demi dua, membentuk tiga sudut satu sama lain. Bentuk segitiga, penuh simbolisme, hadir di banyak objek dan sebagai elemen konstruksi.

Asal usul segitiga hilang dalam sejarah. Dari bukti arkeologi diketahui bahwa umat manusia primitif mengetahuinya dengan baik, karena peninggalan arkeologis mengkonfirmasi bahwa itu digunakan sebagai alat dan senjata.

Gambar 1. Segitiga. Sumber: Gambar domain publik.

Jelas juga bahwa orang Mesir kuno memiliki pengetahuan yang kuat tentang geometri dan khususnya tentang bentuk segitiga. Mereka tercermin dalam elemen arsitektur bangunan monumentalnya.

Dalam papirus Rhind Anda akan menemukan rumus untuk menghitung luas segitiga dan trapesium, serta beberapa volume dan konsep trigonometri dasar lainnya.

Untuk bagian mereka, diketahui bahwa orang Babilonia dapat menghitung luas segitiga dan gambar geometris lainnya, yang mereka gunakan untuk tujuan praktis, seperti pembagian tanah. Mereka juga memiliki pengetahuan tentang banyak properti segitiga.

Namun, orang Yunani kuno yang mensistematisasikan banyak konsep geometris yang berlaku saat ini, meskipun banyak dari pengetahuan ini tidak eksklusif, karena pasti dibagikan dengan peradaban kuno lainnya.

Elemen segitiga

Elemen-elemen segitiga apa pun ditunjukkan pada gambar berikut. Ada tiga: simpul, sisi dan sudut.

Gambar 2. Notasi segitiga dan elemennya. Sumber: Wikimedia Commons, dimodifikasi oleh F. Zapata

-Vertices : adalah titik perpotongan dari garis yang segmennya menentukan segitiga. Pada gambar di atas misalnya, garis L _AC yang berisi ruas AC, memotong garis L _AB yang berisi ruas AB tepatnya di titik A.

- Sisi : antara setiap pasangan simpul digambar ruas garis yang merupakan satu sisi segitiga. Segmen ini dapat dilambangkan dengan huruf akhir atau dengan menggunakan huruf tertentu untuk menyebutnya. Pada contoh gambar 2, sisi AB juga disebut "c".

- Sudut : Di antara setiap sisi dengan titik sudut yang sama sebuah sudut berasal, yang puncaknya bertepatan dengan sudut segitiga. Umumnya sudut dilambangkan dengan huruf Yunani, seperti yang disebutkan di awal.

Untuk membuat segitiga tertentu, dengan bentuk dan ukuran tertentu, cukup miliki salah satu dari kumpulan data berikut:

-Tiga sisi, cukup jelas dalam kasus segitiga.

-Dua sisi dan sudut di antara mereka, dan segera sisi yang tersisa akan ditarik.

-Dua (internal) sudut dan sisi di antara mereka. Dengan ekstensi dua sisi yang hilang digambar dan segitiga siap.

Notasi

Umumnya dalam notasi segitiga, konvensi berikut digunakan: simpul ditunjukkan dengan huruf Latin huruf besar, sisi dengan huruf Latin huruf kecil, dan sudut dengan huruf Yunani (lihat gambar 2).

Dengan cara ini segitiga dinamai menurut simpulnya. Misalnya, segitiga di kiri pada gambar 2 adalah segitiga ABC, dan segitiga di kanan adalah segitiga A'B'C '.

Dimungkinkan juga untuk menggunakan notasi lain; misalnya, sudut α pada Gambar 2 dilambangkan sebagai BAC. Perhatikan bahwa huruf dari puncak berada di tengah dan huruf-hurufnya ditulis berlawanan arah jarum jam.

Di lain waktu, tanda sisipan digunakan untuk menunjukkan sudut:

α = ∠A

Jenis segitiga

Ada beberapa kriteria untuk mengklasifikasikan segitiga. Hal yang paling umum adalah mengelompokkan mereka menurut ukuran sisinya atau menurut ukuran sudutnya. Bergantung pada ukuran sisinya, segitiga dapat berupa: skalena, sama kaki atau sama sisi:

-Scaleno : ketiga sisinya berbeda.

-Isósceles : memiliki dua sisi yang sama dan satu sisi yang berbeda.

-Equilátero : ketiga sisinya sama.

Gambar 3. Klasifikasi segitiga berdasarkan sisinya. Sumber: F. Zapata

Menurut ukuran sudutnya, segitiga tersebut dinamai seperti ini:

- Obstruksi , jika salah satu sudut internal lebih besar dari 90º.

- Sudut lancip , bila ketiga sudut dalam segitiga lancip, yaitu kurang dari 90º

- Persegi panjang , jika salah satu sudut internalnya bernilai 90º. Sisi yang membentuk 90º disebut kaki dan sisi yang berlawanan dengan sudut siku-siku disebut hipotenusa.

Gambar 4. Klasifikasi segitiga berdasarkan sudut internalnya. Sumber: F. Zapata.

Kesesuaian segitiga

Jika dua segitiga memiliki bentuk dan ukuran yang sama, keduanya dikatakan kongruen. Tentu saja kongruensi terkait dengan persamaan, jadi mengapa geometri berbicara tentang "dua segitiga kongruen" dan bukan "dua segitiga yang sama"?

Nah, lebih disukai menggunakan istilah "kongruensi" untuk tetap berpegang pada kebenaran, karena dua segitiga dapat memiliki bentuk dan ukuran yang sama, tetapi diorientasikan berbeda pada bidangnya (lihat gambar 3). Dari sudut pandang geometri, keduanya tidak lagi benar-benar sama.

Gambar 5. Segitiga kongruen, tetapi tidak harus sama, karena orientasinya pada bidang berbeda. Sumber: F. Zapata.

Kriteria kesesuaian

Dua segitiga kongruen jika salah satu dari hal berikut terjadi:

-Tiga sisi berukuran sama (sekali lagi ini yang paling jelas).

-Mereka memiliki dua sisi yang identik dan dengan sudut yang sama di antara keduanya.

-Keduanya memiliki dua sudut internal yang identik dan sisi antara sudut-sudut ini berukuran sama.

Seperti yang dapat dilihat, kedua segitiga ini memenuhi persyaratan yang diperlukan sehingga ketika dibangun, bentuk dan ukurannya persis sama.

Kriteria kesesuaian sangat berguna, karena dalam praktiknya, bagian yang tak terhitung banyaknya dan bagian mekanis harus diproduksi secara seri, sedemikian rupa sehingga ukuran dan bentuknya persis sama.

Kesamaan segitiga

Sebuah segitiga mirip dengan yang lain jika memiliki bentuk yang sama, meskipun ukurannya berbeda. Untuk memastikan bahwa bentuknya sama, diperlukan sudut dalam yang memiliki nilai yang sama dan sisinya harus proporsional.

Gambar 6. Dua segitiga serupa: ukurannya berbeda tetapi proporsinya sama. Sumber: F. Zapata.

Segitiga pada gambar 2 juga serupa, seperti pada gambar 6. Dengan cara ini:

Adapun sisi-sisinya, rasio kesamaan berikut berlaku:

Properti

Sifat dasar segitiga adalah sebagai berikut:

-Jumlah sudut dalam segitiga selalu 180º.

-Untuk segitiga apa pun, jumlah sudut luarnya sama dengan 360 °.

- Sudut luar segitiga sama dengan jumlah dari dua sudut dalam yang tidak berdekatan dengan sudut tersebut.

Teorema

Teorema Pertama Thales

Mereka dikaitkan dengan filsuf dan matematikawan Yunani Thales of Miletus, yang mengembangkan beberapa teorema yang berkaitan dengan geometri. Yang pertama menyatakan sebagai berikut:

Gambar 7. Teorema Thales. Sumber: F. Zapata.

Dengan kata lain:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Teorema pertama Thales berlaku untuk segitiga, misalnya kita memiliki segitiga biru ABC di sebelah kiri, yang dipotong oleh paralel merah di sebelah kanan:

Gambar 8. Teorema Thales dan segitiga serupa.

Segitiga violet AB'C 'mirip dengan segitiga biru ABC, oleh karena itu menurut teorema Thales dapat ditulis sebagai berikut:

AB´ / AC´ = AB / AC

Dan sesuai dengan yang telah dijelaskan sebelumnya pada ruas kemiripan segitiga. Ngomong-ngomong, garis paralel juga bisa vertikal atau sejajar dengan hipotenusa dan segitiga serupa diperoleh dengan cara yang sama.

Teorema kedua Thales

Teorema ini juga mengacu pada segitiga dan lingkaran dengan pusat O, seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Dalam gambar ini, AC adalah diameter keliling dan B adalah titik di atasnya, B berbeda dari A dan B.

Teorema kedua Thales menyatakan bahwa:

Gambar 9. Teorema kedua Thales. Sumber: Wikimedia Commons. Beban Inductiveload.

Teorema Pythagoras

Ini adalah salah satu teorema paling terkenal dalam sejarah. Ini disebabkan oleh matematikawan Yunani Pythagoras dari Samos (569 - 475 SM) dan berlaku untuk segitiga siku-siku. Bilang begitu:

Jika kita ambil contoh segitiga biru pada gambar 8, atau segitiga ungu, karena keduanya persegi panjang, maka dapat dinyatakan bahwa:

AC ² = AB ² + BC ² (segitiga biru)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (segitiga ungu)

Luas segitiga

Luas segitiga diberikan oleh hasil kali alasnya a dan tinggi h, dibagi 2. Dan menurut trigonometri, tinggi ini dapat dituliskan sebagai h = b sinθ.

Gambar 10. Luas segitiga. Sumber: Wikimedia Commons.

Contoh segitiga

Contoh 1

Konon, melalui teorema pertamanya, Thales berhasil mengukur ketinggian Piramida Agung di Mesir, salah satu dari 7 keajaiban dunia kuno, dengan mengukur bayangan yang diproyeksikannya ke tanah dan bayangan yang diproyeksikan oleh sebuah tiang yang ditancapkan ke tanah.

Berikut adalah garis besar prosedur yang diikuti oleh Tales:

Gambar 11. Skema untuk mengukur tinggi Piramida Besar dengan kemiripan segitiga. Sumber: Wikimedia Commons. Dake

Thales dengan tepat berasumsi bahwa sinar matahari menyerang secara paralel. Dengan pemikiran ini, dia membayangkan segitiga siku-siku besar di sebelah kanan.

D adalah tinggi piramida dan C adalah jarak di atas tanah yang diukur dari pusat ke bayangan yang dibuat oleh piramida di lantai gurun. Mungkin sulit untuk mengukur C, tetapi tentunya lebih mudah daripada mengukur tinggi limas.

Di sebelah kiri adalah segitiga kecil, dengan kaki A dan B, di mana A adalah tinggi tiang yang ditancapkan secara vertikal ke tanah dan B adalah bayangan yang dibuatnya. Kedua panjangnya dapat diukur, seperti halnya C (C sama dengan panjang bayangan + setengah panjang limas).

Jadi, dengan kesamaan segitiga:

A / B = D / C

Dan ketinggian Piramida Besar itu ternyata: D = C. (A / B)

Contoh 2

Rangka pada konstruksi sipil adalah struktur yang terbuat dari batang kayu lurus tipis atau logam bersilangan, yang digunakan sebagai penyangga pada banyak bangunan. Mereka juga dikenal sebagai trusses, trusses, atau trusses.

Di dalamnya, segitiga selalu ada, karena batang-batang tersebut saling berhubungan pada titik-titik yang disebut node, yang dapat diperbaiki atau diartikulasikan.

Gambar 12. Segitiga ada di bingkai jembatan ini. Sumber: PxHere

Contoh 3

Metode yang dikenal sebagai triangulasi memungkinkan untuk mendapatkan lokasi titik-titik yang tidak dapat diakses dengan mengetahui jarak lain yang lebih mudah diukur, asalkan terbentuk segitiga yang mencakup lokasi yang diinginkan di antara simpulnya.

Sebagai contoh, pada gambar berikut kita ingin mengetahui letak kapal di laut, dilambangkan sebagai B.

Gambar 13. Skema triangulasi untuk menemukan lokasi kapal. Sumber: Wikimedia Commons. Colette

Pertama, jarak antara dua titik di pantai diukur, yang pada gambar tersebut adalah A dan C. Selanjutnya, sudut α dan β harus ditentukan dengan bantuan teodolit, alat yang digunakan untuk mengukur sudut vertikal dan horizontal.

Dengan semua informasi ini, sebuah segitiga dibangun yang simpul atasnya adalah kapal. Tetap menghitung sudut γ, menggunakan sifat-sifat segitiga dan jarak AB dan CB menggunakan trigonometri, untuk menentukan posisi kapal di laut.

Latihan

Latihan 1

Pada gambar yang ditampilkan, sinar matahari sejajar. Dengan cara ini, pohon setinggi 5 meter menebarkan bayangan setinggi 6 meter ke tanah. Pada saat yang sama, bayangan bangunan adalah 40 meter. Mengikuti Teorema Pertama Thales, temukan tinggi bangunan.

Gambar 14. Skema untuk latihan yang diselesaikan 1. Sumber: F. Zapata.

Larutan

Segitiga merah memiliki sisi masing-masing 5 dan 6 meter, sedangkan segitiga biru memiliki tinggi H - tinggi bangunan - dan alas 40 meter. Kedua segitiga itu serupa, oleh karena itu:

Latihan 2

Anda perlu mengetahui jarak horizontal antara dua titik A dan B, tetapi keduanya terletak di tanah yang sangat tidak rata.

Kira-kira pada titik tengah (P _m ) dari medan tersebut, menonjol setinggi 1,75 meter. Jika pita pengukur menunjukkan panjang 26 meter diukur dari A ke puncak, dan 27 meter dari B ke titik yang sama, tentukan jarak AB.

Gambar 15. Skema untuk latihan terselesaikan 2. Sumber: Jiménez, R. Matematika II. Geometri dan trigonometri.

Larutan

Teorema Pythagoras diterapkan ke salah satu dari dua segitiga siku-siku pada gambar. Dimulai dengan yang di kiri:

Sisi Miring = c = 26 meter

Tinggi = a = 1,75 meter

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 m

Sekarang terapkan Pythagoras dalam segitiga di sebelah kanan, kali ini c = 27 meter, a = 1,75 meter. Dengan nilai-nilai ini:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

Jarak AB ditemukan dengan menambahkan hasil berikut:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Referensi

1. Baldor, JA 1973. Geometri Bidang dan Ruang. Budaya Amerika Tengah.
2. Barredo, D. Geometri segitiga. Diperoleh dari: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematika II. Geometri dan trigonometri. Edisi kedua. Pearson.
4. Wentworth, G. Geometri Bidang. Diperoleh dari: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Segi tiga. Diperoleh dari: es. wikipedia.org.