The Bayes Teorema adalah prosedur yang memungkinkan kita untuk mengekspresikan probabilitas bersyarat dari peristiwa acak A diberikan B, dalam hal distribusi probabilitas dari peristiwa A dan B karena distribusi probabilitas hanya A.
Teorema ini sangat berguna, karena berkat itu kita dapat menghubungkan probabilitas bahwa suatu peristiwa A terjadi dengan mengetahui bahwa B terjadi, dengan probabilitas yang terjadi sebaliknya, yaitu, B terjadi dengan A.
Teorema Bayes adalah proposisi perak oleh Pendeta Thomas Bayes, seorang teolog Inggris abad ke-18 yang juga seorang ahli matematika. Dia adalah penulis beberapa karya di bidang teologi, tetapi saat ini dia dikenal karena beberapa risalah matematika, di antaranya Teorema Bayes yang disebutkan di atas menonjol sebagai hasil utama.
Bayes membahas teorema ini dalam makalah berjudul "Esai Menuju Pemecahan Masalah dalam Doktrin Peluang", yang diterbitkan pada tahun 1763, dan di dalamnya telah dikembangkan sejumlah besar buku. studi dengan aplikasi di berbagai bidang pengetahuan.
Penjelasan
Pertama, untuk lebih memahami teorema ini, diperlukan beberapa pengertian dasar tentang teori probabilitas, terutama teorema perkalian untuk probabilitas bersyarat, yang menyatakan bahwa
Untuk peristiwa sewenang-wenang E dan A dari ruang sampel S.
Dan definisi partisi, yang memberi tahu kita bahwa jika kita memiliki A 1 , A 2 , …, A n peristiwa ruang sampel S, ini akan membentuk partisi S, jika A i saling eksklusif dan gabungannya adalah S.
Mengingat ini, biarlah B menjadi acara lain. Jadi kita bisa melihat B sebagai
Dimana A i berpotongan dengan B adalah peristiwa yang saling eksklusif.
Dan akibatnya,
Kemudian, terapkan teorema perkalian
Di sisi lain, probabilitas bersyarat dari Ai diberikan B ditentukan oleh
Mengganti dengan tepat kami memiliki itu untuk i
Penerapan Teorema Bayes
Berkat hasil ini, kelompok riset dan berbagai perusahaan berhasil memperbaiki sistem yang berbasis pada pengetahuan.
Misalnya, dalam studi penyakit, teorema Bayes dapat membantu untuk membedakan probabilitas bahwa suatu penyakit ditemukan pada sekelompok orang dengan karakteristik tertentu, dengan mengambil data tingkat penyakit global dan prevalensi karakteristik tersebut di baik orang sehat maupun orang sakit.
Di sisi lain, dalam dunia teknologi tinggi telah mempengaruhi perusahaan besar yang telah berkembang, berkat hasil ini, perangkat lunak “Berbasis Pengetahuan”.
Sebagai contoh harian kami memiliki asisten Microsoft Office. Teorema Bayes membantu perangkat lunak untuk mengevaluasi masalah yang disajikan pengguna dan menentukan saran apa yang akan diberikan sehingga dapat menawarkan layanan yang lebih baik sesuai dengan kebiasaan pengguna.
Khususnya, formula ini diabaikan hingga saat ini, terutama karena ketika hasil ini dikembangkan 200 tahun yang lalu, penggunaan praktisnya sedikit. Namun, di zaman kita, berkat kemajuan teknologi yang hebat, para ilmuwan telah menemukan cara untuk mempraktikkan hasil ini.
Latihan Terpecahkan
Latihan 1
Sebuah perusahaan ponsel memiliki dua mesin A dan B. 54% ponsel yang diproduksi dibuat oleh mesin A dan sisanya oleh mesin B. Tidak semua ponsel yang diproduksi dalam kondisi baik.
Proporsi ponsel cacat yang dibuat oleh A adalah 0,2 dan oleh B adalah 0,5. Berapa probabilitas telepon seluler dari pabrik itu rusak? Berapa probabilitas bahwa, mengetahui bahwa telepon seluler rusak, berasal dari mesin A?
Larutan
Di sini, Anda memiliki percobaan yang dilakukan dalam dua bagian; di bagian pertama peristiwa terjadi:
A: sel yang dibuat oleh mesin A.
B: sel yang dibuat oleh mesin B.
Karena mesin A memproduksi 54% ponsel dan sisanya diproduksi oleh mesin B, maka mesin B memproduksi 46% ponsel. Peluang kejadian-kejadian ini diberikan, yaitu:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Peristiwa dari percobaan bagian kedua adalah:
D: ponsel rusak.
E: ponsel tidak rusak.
Seperti yang dinyatakan dalam pernyataan tersebut, probabilitas peristiwa ini bergantung pada hasil yang diperoleh di bagian pertama:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Dengan menggunakan nilai-nilai ini, probabilitas pelengkap dari kejadian-kejadian tersebut juga dapat ditentukan, yaitu:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0.8
dan
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Nah event D bisa ditulis sebagai berikut:
Menggunakan Teorema Perkalian untuk hasil probabilitas bersyarat:
Dimana pertanyaan pertama terjawab.
Sekarang kita hanya perlu menghitung P (AD), yang dengannya Teorema Bayes diterapkan:
Berkat teorema Bayes, dapat dinyatakan bahwa probabilitas sebuah ponsel dibuat oleh mesin A, mengetahui bahwa ponsel tersebut rusak, adalah 0,319.
Latihan 2
Tiga kotak berisi bola hitam dan putih. Susunannya masing-masing adalah sebagai berikut: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Salah satu kotak dipilih secara acak dan sebuah bola ditarik secara acak yang ternyata berwarna putih. Kotak apa yang paling mungkin dipilih?
Larutan
Menggunakan U1, U2 dan U3, kami juga akan mewakili kotak yang dipilih.
Peristiwa ini merupakan partisi dari S dan diverifikasi bahwa P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 karena pilihan kotaknya acak.
Jika B = {bola yang ditarik berwarna putih}, kita akan mendapatkan P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Yang ingin kita peroleh adalah probabilitas bahwa bola telah dikeluarkan dari kotak Ui mengetahui bahwa bola tersebut berwarna putih, yaitu, P (Ui -B), dan lihat mana dari tiga nilai yang paling tinggi untuk diketahui. kotak kemungkinan besar ekstraksi bola isyarat.
Menerapkan teorema Bayes ke kotak pertama:
Dan untuk dua lainnya:
P (U2-B) = 2/6 dan P (U3-B) = 1/6.
Kemudian, kotak pertama adalah kotak dengan probabilitas tertinggi untuk dipilih untuk ekstraksi bola isyarat.
Referensi
- Kai Lai Chung. Teori Proabilitas Dasar dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen, Matematika Diskrit dan Aplikasinya. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Probabilitas dan Aplikasi Statistik. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Soal Latihan Matematika Diskrit. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Masalah Teori dan Probabilitas. McGRAW-HILL.