FUNGSI HOMOGRAFIS: CARA MEMBUAT GRAFIK, LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIKA - 2025

The Fungsi homographic atau ng rasional adalah jenis fungsi matematika terdiri dari pembagian polinomial dua komponen. Ini mematuhi bentuk P (x) / Q (x), di mana Q (x) tidak dapat mengambil bentuk nol.

Misalnya ekspresi (2x - 1) / (x + 3) sesuai dengan fungsi homografik dengan P (x) = 2x - 1 dan Q (x) = x + 3.

Sumber: pixabay.com

Fungsi homografik merupakan bagian dari studi fungsi analitik, diperlakukan dari pendekatan grafik dan dari studi domain dan jangkauan. Ini karena batasan dan alasan yang harus diterapkan untuk resolusi Anda.

Apa itu fungsi homografis?

Mereka adalah ekspresi rasional dari satu variabel, meskipun ini tidak berarti bahwa tidak ada ekspresi yang sama untuk dua atau lebih variabel, di mana ia sudah berada di hadapan benda-benda di ruang angkasa yang mengikuti pola yang sama dengan fungsi homografik di bidang.

Mereka memiliki akar nyata dalam beberapa kasus, tetapi keberadaan asimtot vertikal dan horizontal selalu dipertahankan, serta interval pertumbuhan dan penurunan. Biasanya hanya satu dari tren ini yang muncul, tetapi ada ekspresi yang mampu menunjukkan keduanya dalam perkembangannya.

Domainnya dibatasi oleh akar penyebutnya, karena tidak ada pembagian dengan nol bilangan real.

Fungsi homografik campuran

Mereka sangat sering dalam perhitungan, terutama diferensial dan integral, yang diperlukan untuk menurunkan dan anti-turunan dalam rumus tertentu. Beberapa yang paling umum tercantum di bawah ini.

Akar ke-n dari fungsi homografis

Kecualikan semua elemen domain yang membuat argumen menjadi negatif. Akar yang ada di setiap nilai hasil polinomial nol saat dievaluasi.

Nilai-nilai ini diterima oleh kaum radikal, meskipun batasan fundamental dari fungsi homografik harus dipertimbangkan. Dimana Q (x) tidak dapat menerima nilai null.

Solusi dari interval harus dicegat:

Untuk mencapai solusi dari persimpangan tersebut, metode tanda antara lain dapat digunakan.

Logaritma dari fungsi homografis

Ini juga umum untuk menemukan kedua ekspresi dalam satu, di antara kemungkinan kombinasi lainnya.

Bagaimana cara membuat grafik fungsi homografis?

Fungsi homografik secara grafis berhubungan dengan hiperbola di bidang. Yang diangkut secara horizontal dan vertikal sesuai dengan nilai yang menentukan polinomial.

Ada beberapa elemen yang harus kita definisikan untuk membuat grafik fungsi rasional atau homografis.

Perkebunan

Yang pertama akan menjadi akar atau nol dari fungsi P dan Q.

Nilai yang dicapai akan dilambangkan pada sumbu x pada grafik. Menunjukkan perpotongan grafik dengan sumbu.

Asimtot vertikal

Mereka sesuai dengan garis vertikal, yang membatasi grafik sesuai dengan tren yang mereka hadirkan. Mereka menyentuh sumbu x pada nilai yang membuat penyebutnya menjadi nol dan tidak akan pernah tersentuh oleh grafik fungsi homografis.

Asimtot horizontal

Diwakili oleh garis sambung horizontal, itu membatasi batas yang fungsinya tidak akan ditentukan pada titik yang tepat. Tren akan diamati sebelum dan sesudah garis ini.

Untuk menghitungnya kita harus menggunakan metode yang mirip dengan metode L'Hopital, digunakan untuk memecahkan batasan fungsi rasional yang cenderung tak terhingga. Kita harus mengambil koefisien dari pangkat tertinggi di pembilang dan penyebut fungsi tersebut.

Misalnya, ekspresi berikut memiliki asimtot horizontal pada y = 2/1 = 2.

Interval pertumbuhan

Nilai ordinat akan ditandai tren pada grafik karena asimtotnya. Dalam kasus pertumbuhan, fungsi tersebut akan meningkat nilainya karena elemen domain dievaluasi dari kiri ke kanan.

Kurangi interval

Nilai ordinat akan berkurang saat elemen domain dievaluasi dari kiri ke kanan.

Lompatan yang ditemukan dalam nilai tidak akan diperhitungkan sebagai kenaikan atau penurunan. Hal ini terjadi jika grafik mendekati asimtot vertikal atau horizontal, di mana nilainya dapat bervariasi dari tak terhingga hingga tak terhingga negatif dan sebaliknya.

Persimpangan Y.

Dengan mengatur nilai x ke nol, kita menemukan perpotongan dengan sumbu ordinat. Data ini sangat berguna untuk memperoleh grafik dari fungsi rasional.

Contoh

Tentukan grafik dari ekspresi berikut, temukan akarnya, asimtot vertikal dan horizontal, interval kenaikan dan penurunan dan perpotongan dengan sumbu ordinat.

Latihan 1

Ekspresi tersebut tidak memiliki akar, karena memiliki nilai konstan di pembilangnya. Batasan yang akan diterapkan akan x berbeda dari nol. Dengan asimtot horizontal pada y = 0, dan asimtot vertikal pada x = 0. Tidak ada titik perpotongan dengan sumbu y.

Teramati bahwa tidak ada interval pertumbuhan bahkan dengan lompatan dari minus ke plus tak terhingga pada x = 0.

Interval penurunan adalah

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Latihan 1.2

2 polinomial diamati seperti pada definisi awal, jadi kami melanjutkan sesuai dengan langkah yang ditetapkan.

Akar yang ditemukan adalah x = 7/2, yang dihasilkan dari pengaturan fungsi yang sama dengan nol.

Asimtot vertikal berada pada x = - 4, yang merupakan nilai yang dikeluarkan dari domain oleh kondisi fungsi rasional.

Asimtot horizontal berada pada y = 2, ini setelah membagi 2/1, koefisien variabel derajat 1.

Ini memiliki perpotongan y = - 7/4. Nilai ditemukan setelah menyamakan x dengan nol.

Fungsinya terus berkembang, dengan lompatan dari plus ke minus tak terhingga di sekitar akar x = -4.

Interval pertumbuhannya adalah (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Ketika nilai x mendekati minus tak hingga, fungsinya mengambil nilai mendekati 2. Hal yang sama terjadi saat x mendekati tak terhingga.

Ekspresi mendekati plus tak terhingga saat mengevaluasi ke - 4 dari kiri, dan minus tak terhingga saat mengevaluasi ke - 4 dari kanan.

Latihan 2

Grafik dari fungsi homografik berikut diamati:

Jelaskan perilakunya, akarnya, asimtot vertikal dan horizontal, interval pertumbuhan dan penurunan serta perpotongan dengan sumbu ordinat.

Penyebut pernyataan tersebut memberi tahu kita dengan memfaktorkan selisih kuadrat (x + 1) (x - 1) nilai akar. Dengan cara ini, kedua asimtot vertikal dapat didefinisikan sebagai:

x = -1 dan x = 1

Asimtot horizontal sesuai dengan sumbu absis karena pangkat tertinggi ada di penyebut.

Akarnya hanya ditentukan oleh x = -1/3.

Ekspresi selalu berkurang dari kiri ke kanan. Ini mendekati nol saat mendekati tak terhingga. Minus tak terhingga saat Anda mendekati -1 dari kiri. A plus infinity saat mendekati -1 dari kanan. Kurang tak terhingga saat mendekati 1 dari kiri dan lebih tak terhingga saat mendekati 1 dari kanan.

Referensi

1. Perkiraan dengan Fungsi Rasional. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., 31 Desember. 1979
2. Fungsi Rasional Ortogonal. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13 Februari. 1999
3. Pendekatan Rasional dari Fungsi Riil. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 Maret. 2011
4. Fungsi Aljabar. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1 Jan 2004
5. Jurnal Masyarakat Matematika Spanyol, Volume 5-6. Masyarakat Matematika Spanyol, Madrid 1916