ELLIPSOID: KARAKTERISTIK DAN CONTOH - ARTE - 2025

The ellipsoid adalah permukaan dalam ruang yang termasuk dalam kelompok permukaan quadric dan yang persamaan umum adalah dalam bentuk:

Ini adalah ekuivalen tiga dimensi dari sebuah elips, yang dicirikan dengan memiliki jejak elips dan melingkar dalam beberapa kasus khusus. Jejak adalah kurva yang diperoleh dengan memotong ellipsoid dengan bidang.

Gambar 1. Tiga ellipsoid yang berbeda: di bagian atas sebuah bola di mana tiga semi-sumbu sama, di kiri bawah sebuah sferoid, dengan dua sumbu yang sama dan yang berbeda, dan terakhir di kanan bawah, sebuah sferoid triaksial, dengan tiga sumbu yang berbeda panjangnya. Sumber: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Selain elipsoid, ada lima kuadrat lagi: hiperboloid satu lembar dan dua lembar, dua jenis paraboloid (hiperbolik dan elips), dan kerucut elips. Jejaknya juga berbentuk kerucut.

Elipsoid juga dapat diekspresikan dengan persamaan standar dalam koordinat Kartesius. Sebuah elipsoid yang berpusat pada origin (0,0,0) dan diekspresikan dengan cara ini, menyerupai elips, tetapi dengan istilah tambahan:

Nilai a, b, dan c adalah bilangan real yang lebih besar dari 0 dan mewakili tiga sumbu setengah elipsoid.

Karakteristik elipsoid

- Persamaan standar

Persamaan standar dalam koordinat Kartesius untuk elips yang berpusat pada titik (h, k, m) adalah:

- Persamaan parametrik ellipsoid

Dalam koordinat bola, ellipsoid dapat digambarkan sebagai berikut:

x = a sin θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Semi-sumbu elipsoid tetap a, b, dan c, sedangkan parameternya adalah sudut θ dan φ dari gambar berikut:

Gambar 2. Sistem koordinat bola. Elipsoid dapat diparameterisasi menggunakan sudut yang ditampilkan theta dan phi sebagai parameter. Sumber: Wikimedia Commons. Andeggs / Domain publik.

- Jejak ellipsoid

Persamaan umum suatu permukaan dalam ruang adalah F (x, y, z) = 0 dan jejak permukaan tersebut adalah kurva:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

Dalam kasus ellipsoid, kurva seperti itu adalah elips dan terkadang lingkaran.

- Volume

Volume V dari elipsoid diberikan oleh (4/3) π dikalikan dengan tiga sumbu setengahnya:

V = (4/3) π. abc

Kasus khusus ellipsoid

-Elipsoid menjadi bola jika semua sumbu memiliki ukuran yang sama: a = b = c ≠ 0. Ini masuk akal, karena ellipsoid seperti bola yang telah diregangkan secara berbeda di sepanjang masing-masing sumbu sumbu.

-Sferoid adalah elipsoid di mana dua dari sumbu semi identik dan yang ketiga berbeda, misalnya bisa jadi a = b ≠ c.

Sferoid juga disebut elipsoid revolusi, karena dapat dihasilkan dengan memutar elips di sekitar sumbu.

Jika sumbu rotasi bertepatan dengan sumbu mayor, maka sferoid adalah prolate, tetapi jika bertepatan dengan sumbu minor, ia adalah oblate:

Gambar 3. Sferoid Oblat di sebelah kiri dan sferoid prolate di sebelah kanan. Sumber: Wikimedia Commons.

Ukuran perataan bola (eliptisitas) diberikan oleh perbedaan panjang antara dua sumbu, dinyatakan dalam bentuk pecahan, yaitu, unit perataan, diberikan oleh:

f = (a - b) / a

Dalam persamaan ini, a mewakili sumbu semi-mayor dan b sumbu semi-minor, perlu diingat bahwa sumbu ketiga sama dengan salah satu sumbu sferoid. Nilai f adalah antara 0 dan 1 dan untuk spheroid harus lebih besar dari 0 (jika sama dengan 0 kita hanya akan memiliki sebuah bola).

Elipsoid referensi

Planet-planet dan bintang-bintang pada umumnya, biasanya bukan bola yang sempurna, karena gerakan rotasi di sekitar sumbunya meratakan benda di kutub dan membengkokkannya di ekuator.

Itulah sebabnya Bumi ternyata seperti oblate spheroid, meski tidak sebesar gambar sebelumnya, dan untuk bagiannya raksasa gas Saturnus adalah planet paling datar di tata surya.

Jadi cara yang lebih realistis untuk merepresentasikan planet adalah dengan mengasumsikan bahwa planet tersebut seperti bola atau elipsoid revolusi, yang sumbu semi-mayornya adalah jari-jari ekuator dan sumbu semi-minor adalah jari-jari kutub.

Pengukuran cermat yang dilakukan di globe telah memungkinkan untuk membangun elipsoid referensi Bumi sebagai cara paling tepat untuk mengerjakannya secara matematis.

Bintang-bintang juga memiliki gerakan rotasi yang membuatnya lebih atau kurang berbentuk pipih. Bintang cepat Achernar, bintang paling terang kedelapan di langit malam, di konstelasi selatan Eridanus sangat elips jika dibandingkan dengan kebanyakan. Jaraknya 144 tahun cahaya dari kita.

Di sisi ekstrim lainnya, beberapa tahun yang lalu para ilmuwan menemukan objek paling bulat yang pernah ditemukan: bintang Kepler 11145123, berjarak 5000 tahun cahaya, dua kali ukuran Matahari kita dan perbedaan antara sumbu setengahnya hanya 3 km. Seperti yang diharapkan, itu juga berputar lebih lambat.

Adapun Bumi, itu bukan spheroid sempurna karena permukaannya yang kasar dan variasi lokal dalam gravitasi. Untuk alasan ini, ada lebih dari satu spheroid referensi yang tersedia dan di setiap lokasi dipilih yang paling sesuai dengan geografi lokal.

Bantuan satelit sangat berharga dalam menciptakan model bentuk Bumi yang semakin akurat, berkat mereka diketahui, misalnya, kutub selatan lebih dekat ke ekuator daripada kutub utara.

Gambar 4. Haumea, planet katai trans-Neptunian memiliki bentuk elipsoidal. Sumber: Wikimedia Commons.

Contoh numerik

Karena rotasi Bumi, gaya sentrifugal dihasilkan yang membuatnya berbentuk elipsoid lonjong, bukan bola. Jari-jari ekuator Bumi diketahui 3963 mil dan radius kutub 3942 mil.

Tentukan persamaan jejak ekuator, elipsoid ini, dan ukuran perataannya. Bandingkan juga dengan eliptisitas Saturnus, dengan data yang diberikan di bawah ini:

-Saturn Equatorial Radius: 60.268 km

-Jari-jari kutub Saturnus: 54.364 km

Larutan

Diperlukan sistem koordinat, yang akan kita asumsikan berpusat pada asal (pusat bumi). Kami akan mengasumsikan sumbu z vertikal dan jejak yang sesuai dengan ekuator terletak pada bidang xy, setara dengan bidang z = 0.

Pada bidang ekuator, sumbu-semi a dan b adalah sama, oleh karena itu a = b = 3963 mil, sedangkan c = 3942 mil. Ini adalah kasus khusus: spheroid berpusat pada titik (0,0,0) seperti yang disebutkan di atas.

Jejak ekuator adalah lingkaran dengan jari-jari R = 3963 mil, berpusat di titik asal. Ini dihitung dengan membuat z = 0 dalam persamaan standar:

Dan persamaan standar ellipsoid terestrial adalah:

f _Bumi = (a - b) / a = (3963-3942) mil / 3963 mil = 0,0053

f _Saturnus = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Perhatikan bahwa eliptisitas f adalah besaran tak berdimensi.

Referensi

1. ArcGIS untuk Desktop. Spheroids dan spheres. Dipulihkan dari: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Misteri benda paling bulat yang pernah ditemukan di alam semesta. Diperoleh dari: bbc.com.
3. Larson, R. Kalkulus dan Geometri Analitik. Edisi keenam. Jilid 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellipsoid. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Bulat. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org.