VEKTOR SERENTAK: KARAKTERISTIK, CONTOH, DAN LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

The vektor bersamaan adalah kelompok vektor yang sumbu bertepatan pada satu titik, membentuk antara setiap pasangan internal dan eksternal sudut yang lain. Contoh yang jelas terlihat pada gambar di bawah ini, di mana A, B dan C adalah vektor yang saling berhubungan satu sama lain.

D dan E tidak seperti yang lainnya tidak. Ada sudut yang terbentuk antara vektor serentak AB, AC, dan CB. Mereka disebut sudut hubungan antar vektor.

karakteristik

-Mereka memiliki titik yang sama, yang bertepatan dengan asalnya: semua besaran vektor serentak dimulai dari titik yang sama hingga ujungnya masing-masing.

-Asal dianggap sebagai titik aksi vektor: titik aksi harus ditetapkan yang akan langsung dipengaruhi oleh masing-masing vektor bersamaan.

-Domainnya di bidang dan ruang masing-masing adalah R ² dan R ³ : vektor bersamaan bebas untuk menutupi seluruh ruang geometris.

-Memungkinkan notasi berbeda dalam kelompok vektor yang sama. Menurut cabang studi, notasi berbeda hadir dalam operasi dengan vektor.

Jenis vektor

Cabang vektor memiliki beberapa subdivisi, di antaranya dapat dinamai: paralel, tegak lurus, coplanar, bersesuaian, berlawanan dan kesatuan. Vektor serentak tercantum di sini, dan seperti semua yang disebutkan di atas, vektor memiliki banyak aplikasi dalam ilmu yang berbeda.

Mereka sangat umum dalam studi vektor, karena mewakili generalisasi yang berguna dalam operasi dengan vektor. Baik di bidang maupun di luar angkasa, vektor serentak biasanya digunakan untuk merepresentasikan elemen yang berbeda dan mempelajari pengaruhnya pada sistem tertentu.

Notasi vektor

Ada beberapa cara untuk merepresentasikan elemen vektor. Yang utama dan paling terkenal adalah:

Cartesian

Diusulkan oleh pendekatan matematis yang sama, ini menunjukkan vektor dengan rangkap tiga yang sesuai dengan besaran setiap sumbu (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Spasi A: (1, 1) Plane

Kutub

Mereka hanya berfungsi untuk menunjukkan vektor di bidang, meskipun dalam kalkulus integral itu diberikan komponen kedalaman. Ini disusun dengan magnitudo linier r dan sudut terhadap sumbu kutub Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) Bidang A: (2, 45 ⁰ , 3) Ruang

Analitis

Mereka menentukan besarnya vektor dengan menggunakan versores. Versores (i + j + k) mewakili vektor satuan yang sesuai dengan sumbu X, Y dan

J: 3i + 2j - 3k

Bulat

Mereka mirip dengan notasi kutub, tetapi dengan penambahan sudut kedua yang menyapu bidang xy yang disimbolkan dengan δ.

A: (4, 60 ^atau , π / 4)

Operasi vektor bersamaan

Vektor konkuren sebagian besar digunakan untuk menentukan operasi antar vektor, karena lebih mudah untuk membandingkan elemen vektor ketika mereka disajikan secara bersamaan.

Jumlah (A + B)

Penjumlahan vektor konkuren bertujuan untuk mencari vektor resultan V _r . Yang menurut cabang studi, sesuai dengan tindakan akhir

Misalnya: 3 string {A, B, C} diikat ke sebuah kotak, setiap ujung string dipegang oleh satu subjek. Masing-masing dari 3 subjek harus menarik tali ke arah yang berbeda dari 2 subjek lainnya.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + oleh + cy; az + bz + cz) = V _r

Kotak hanya akan bisa bergerak ke satu arah, oleh karena itu V _r akan menunjukkan arah dan arah pergerakan kotak.

Selisih (A - B)

Ada banyak kriteria mengenai perbedaan antar vektor, banyak penulis memilih untuk mengecualikannya dan menyatakan bahwa hanya jumlah antar vektor yang ditentukan, di mana perbedaannya adalah tentang jumlah vektor yang berlawanan. Yang benar adalah bahwa vektor dapat dikurangi secara aljabar.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Produk skalar (A.B)

Juga dikenal sebagai perkalian titik, ini menghasilkan nilai skalar yang dapat dikaitkan dengan berbagai besaran tergantung pada cabang studi.

Untuk geometri, tunjukkan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh pasangan vektor serentak melalui metode jajaran genjang. Untuk fisika mekanik, ia mendefinisikan pekerjaan yang dilakukan oleh gaya F saat menggerakkan benda sejauh Δr.

ѡ = F . Δr

Seperti yang ditunjukkan oleh namanya, ini menghasilkan nilai skalar dan didefinisikan sebagai berikut:

Misalkan vektor A dan B

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

Bentuk -Analytical:

(A.B) = -A -.- B-.Cos θ

Dimana θ adalah sudut internal antara kedua vektor

Bentuk -Aljabar:

(A.B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Produk silang (A x B)

Produk vektor atau dot produk antara dua vektor, mendefinisikan vektor ketiga C memiliki kualitas yang tegak lurus terhadap B dan C . Dalam fisika, vektor torsi τ adalah elemen dasar dinamika rotasi.

Bentuk -Analytical:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

Bentuk -Aljabar:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

-Gerakan relatif: r _{A / B}

Basis relativitas adalah gerak relatif dan vektor konkuren adalah dasar gerak relatif. Posisi, kecepatan, dan percepatan relatif dapat disimpulkan dengan menerapkan urutan gagasan berikut.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Posisi relatif A terhadap B

v _{A / B} = v _A - v _B ; Kecepatan relatif A terhadap B

a _{A / B} = a _A - a _B ; Akselerasi relatif A terhadap B

Contoh: latihan terselesaikan

Latihan 1

Misalkan A, B, dan C adalah vektor serentak.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Tentukan vektor yang dihasilkan V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Tentukan perkalian titik (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

-Hitung Sudut antara A dan C.

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Dimana θ adalah sudut terpendek antar vektor

θ = 88,63 ⁰

-Cari vektor tegak lurus ke A dan B

Untuk ini, perlu untuk menentukan hasil kali vektor antara (-1, 3, 5) dan (3, 5, -2). Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, matriks 3 x 3 dibangun di mana baris pertama terdiri dari vektor tiga unit (i, j, k). Kemudian baris ke-2 dan ke-3 dibuat dari vektor-vektor yang akan dioperasikan, dengan memperhatikan urutan operasional.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Latihan 2

Misalkan V _a dan V _{b adalah} vektor kecepatan dari A dan B. Hitung kecepatan B dilihat dari A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

Dalam hal ini kecepatan relatif B terhadap A V _{B / A} diminta

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Ini adalah vektor kecepatan B dilihat dari A. Di mana vektor baru kecepatan B dijelaskan dengan mengacu pada pengamat yang ditempatkan di A dan bergerak dengan kecepatan A.

Latihan yang diusulkan

1-Susun 3 vektor A, B dan C yang bersamaan dan hubungkan 3 operasi di antara mereka melalui latihan praktis.

2-Misalkan vektor A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) dan C: (-2, -1, 10). Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap: A dan B, C dan B, Jumlahnya A + B + C.

4-Tentukan 3 vektor yang tegak lurus satu sama lain, tanpa memperhitungkan sumbu koordinat.

5-Definisikan pekerjaan yang dilakukan oleh gaya yang mengangkat balok bermassa 5 kg, dari dasar sumur sedalam 20 m.

6-Tunjukkan secara aljabar bahwa pengurangan vektor sama dengan jumlah vektor yang berlawanan. Ratakan dalil Anda.

7-Sebutkan vektor di semua notasi yang dikembangkan dalam artikel ini. (Cartesian, polar, analitik, dan bola).

8-Gaya magnet yang bekerja pada magnet yang diletakkan di atas meja, diberikan oleh vektor berikut; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Tentukan ke arah mana magnet akan bergerak jika semua gaya magnet bekerja pada waktu yang sama.

Referensi

1. Geometri dan Transformasi Euclidean. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1 Jan 2004
2. Bagaimana Memecahkan Masalah Matematika Terapan L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10 April 2013
3. Konsep Dasar Geometri. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4 Oktober. 2012
4. Vektor. Rocío Navarro Lacoba, 7 Juni. 2014
5. Aljabar linier. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006