BENTUK TRINOMIAL X ^ 2 + BX + C (DENGAN CONTOH) - MATEMATIKA - 2025

Sebelum belajar menyelesaikan trinomial bentuk x ^ 2 + bx + c , dan bahkan sebelum mengetahui konsep trinomial, penting untuk mengetahui dua pengertian esensial; yaitu, konsep monomial dan polinomial. Monomial adalah ekspresi tipe a * x ⁿ , di mana a adalah bilangan rasional, n adalah bilangan asli dan x adalah variabel.

Polinomial adalah kombinasi linier dari monomial berbentuk a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , di mana masing-masing a _i , dengan i = 0,…, n, adalah bilangan rasional, n adalah bilangan asli dan a_n bukan nol. Dalam hal ini derajat polinomialnya adalah n.

Polinomial yang terbentuk dari penjumlahan dua suku saja (dua monomial) dengan derajat yang berbeda dikenal sebagai binomial.

Trinomial

Polinomial yang terbentuk dari jumlah hanya tiga suku (tiga monomial) dengan derajat yang berbeda dikenal sebagai trinomial. Berikut ini adalah contoh trinomial:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Ada beberapa jenis trinomial. Dari jumlah tersebut, trinomial kuadrat sempurna menonjol.

Trinomial persegi sempurna

Trinomial kuadrat sempurna adalah hasil dari kuadratkan binomial. Sebagai contoh:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴ ) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴ ) ² -2 (1 / 4xy ⁴ ) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

Karakteristik trinomial kelas 2

Kotak sempurna

Secara umum, trinomial berbentuk ax ² + bx + c adalah kuadrat sempurna jika diskriminannya sama dengan nol; Artinya , jika b ² -4ac = 0, karena dalam hal ini ia akan memiliki akar tunggal dan dapat diekspresikan dalam bentuk a (xd) ² = (√a (xd)) ² , di mana d adalah akar yang telah disebutkan.

Akar polinomial adalah bilangan di mana polinomialnya menjadi nol; dengan kata lain, angka yang, jika menggantikan x dalam ekspresi polinomial, menghasilkan nol.

Rumus pemecahan

Rumus umum untuk menghitung akar polinomial derajat kedua berbentuk ax ² + bx + c adalah rumus penyelesai, yang menyatakan bahwa akar ini diberikan oleh (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, di mana b ² -4ac dikenal sebagai diskriminan dan biasanya dilambangkan dengan ∆. Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa ax ² + bx + c memiliki:

- Dua akar nyata yang berbeda jika ∆> 0.

- Satu akar nyata jika ∆ = 0.

- Tidak memiliki root nyata jika ∆ <0.

Berikut ini, hanya trinomial berbentuk x ² + bx + c yang akan dipertimbangkan, di mana jelas c harus berupa angka selain nol (jika tidak maka akan menjadi binomial). Jenis trinomial ini memiliki keunggulan tertentu saat memfaktorkan dan mengoperasikannya.

Interpretasi geometris

Secara geometris, trinomial x ² + bx + c adalah parabola yang terbuka ke atas dan memiliki vertex di titik (-b / 2, -b ² /4 + c) dari pesawat Cartesian yang x ² + bx + c = ( x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

Parabola ini memotong sumbu Y di titik (0, c) dan sumbu X di titik (d ₁ , 0) dan (d ₂ , 0); kemudian d ₁ dan d ₂ adalah akar dari trinomial. Bisa terjadi bahwa trinomial memiliki akar tunggal d, dalam hal ini satu-satunya potongan dengan sumbu X adalah (d, 0).

Bisa juga terjadi bahwa trinomial tidak memiliki akar nyata, dalam hal ini trinomial tidak akan memotong sumbu X di titik mana pun.

Misalnya, x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² adalah parabola dengan puncak di (-3,0), yang memotong sumbu Y di (0, 9) dan sumbu X di (-3,0).

Pemfaktoran trinomial

Alat yang sangat berguna saat menangani polinomial adalah memfaktorkan, yang terdiri dari pengekspresian polinomial sebagai hasil kali faktor. Secara umum, dalam bentuk trinomial x ² + bx + c, jika ia memiliki dua akar yang berbeda d ₁ dan d ₂ , ia dapat difaktorkan sebagai (xd ₁ ) (xd ₂ ).

Jika ia memiliki akar tunggal d, ia dapat difaktorkan sebagai (xd) (xd) = (xd) ² , dan jika ia tidak memiliki akar nyata, ia tetap sama; dalam hal ini ia tidak menerima faktorisasi sebagai produk faktor selain dirinya sendiri.

Artinya, mengetahui akar dari sebuah trinomial dalam bentuk yang sudah ada, faktorisasinya dapat dengan mudah diekspresikan, dan seperti yang telah disebutkan di atas, akar ini selalu dapat ditentukan dengan menggunakan resolvent.

Namun, ada sejumlah besar jenis trinomial ini yang dapat difaktorkan tanpa terlebih dahulu mengetahui akarnya, yang menyederhanakan pekerjaan.

Akar dapat ditentukan langsung dari faktorisasi tanpa menggunakan rumus resolvent; ini adalah polinomial dari bentuk x ² + (a + b) x + ab. Dalam hal ini kami memiliki:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Dari sini terlihat dengan mudah bahwa akarnya adalah –a dan –b.

Dengan kata lain, diberi trinomial x ² + bx + c, jika ada dua bilangan u dan v sehingga c = uv dan b = u + v, maka x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Artinya, diberi trinomial x ² + bx + c, pertama-tama dibuktikan jika ada dua bilangan yang dikalikan mereka memberikan suku independen (c) dan ditambahkan (atau dikurangi, tergantung pada kasusnya), mereka memberikan suku yang menyertai x ( b).

Tidak dengan semua trinomial dengan cara ini metode ini dapat diterapkan; di mana tidak mungkin, resolusi digunakan dan yang disebutkan di atas berlaku.

Contoh

Contoh 1

Untuk memfaktorkan trinomial berikut x ² + 3x + 2, lakukan sebagai berikut:

Kamu harus mencari dua bilangan sehingga saat menjumlahkannya hasilnya adalah 3, dan saat mengalikannya hasilnya adalah 2.

Setelah dilakukan pemeriksaan dapat disimpulkan bahwa bilangan yang dicari adalah: 2 dan 1. Oleh karena itu, x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Contoh 2

Untuk memfaktorkan trinomial x ² -5x + 6, kita mencari dua bilangan yang jumlahnya -5 dan hasil kalinya 6. Bilangan yang memenuhi kedua syarat ini adalah -3 dan -2. Oleh karena itu, faktorisasi dari trinomial yang diberikan adalah x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Referensi

1. Fuentes, A. (2016). MATEMATIKA DASAR. Pengantar Kalkulus. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: persamaan kuadrat: Bagaimana memecahkan persamaan kuadrat. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematika untuk manajemen dan ekonomi. Pendidikan Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Ambang.
5. Preciado, CT (2005). Kursus Matematika ke-3. Progreso Editorial.
6. Rock, NM (2006). Aljabar I Itu Mudah! Begitu mudah. Tim Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Aljabar dan Trigonometri. Pendidikan Pearson.