TRAPESIUM SAMA KAKI: PROPERTI, HUBUNGAN DAN RUMUS, CONTOH - MATEMATIKA - 2025

Sebuah sama kaki trapesium yaitu segiempat di mana dua dari sisi yang sejajar satu sama lain dan di samping itu, dua sudut yang berdekatan dengan salah satu dari mereka sisi sejajar memiliki ukuran yang sama.

Dalam gambar 1 kita memiliki segiempat ABCD, di mana sisi AD dan BC sejajar. Selain itu, sudut ∠DAB dan ∠ADC yang berdekatan dengan sisi paralel AD memiliki ukuran α yang sama.

Gambar 1. Trapezium sama kaki. Sumber: F. Zapata.

Jadi segiempat, atau poligon bersisi empat ini, sebenarnya adalah trapesium sama kaki.

Dalam trapesium, sisi sejajar disebut alas dan sisi non-paralel disebut lateral. Ciri penting lainnya adalah ketinggian, yaitu jarak yang memisahkan kedua sisinya.

Selain trapesium sama kaki ada jenis trapesium lainnya:

-T skalena rapezoid, yang memiliki semua sudut dan sisi yang berbeda.

-Rapezoid persegi panjang, yang salah satu sisinya memiliki sudut siku-siku.

Bentuk trapesium biasa terjadi di berbagai bidang desain, arsitektur, elektronika, kalkulasi dan banyak lagi, seperti yang akan kita lihat nanti. Karenanya pentingnya menjadi akrab dengan propertinya.

Properti

Eksklusif untuk trapesium sama kaki

Jika trapesium sama kaki maka trapesium memiliki karakteristik sebagai berikut:

1.- Sisi memiliki ukuran yang sama.

2.- Sudut yang berdekatan dengan alas adalah sama.

3.- Sudut yang berlawanan bersifat tambahan.

4.- Diagonal memiliki panjang yang sama, dua segmen yang bergabung dengan simpul yang berlawanan menjadi sama.

5.- Sudut yang terbentuk antara alas dan diagonal semuanya memiliki ukuran yang sama.

6.- Ini memiliki keliling yang berbatas.

Sebaliknya, jika trapesium memenuhi salah satu sifat di atas, maka itu adalah trapesium sama kaki.

Jika dalam trapesium sama kaki salah satu sudutnya benar (90º), maka semua sudut lainnya juga akan benar, membentuk persegi panjang. Artinya, persegi panjang adalah kasus khusus dari trapesium sama kaki.

Gambar 2. Wadah popcorn dan meja sekolah berbentuk trapesium sama kaki. Sumber: Pxfuel (kiri) / McDowell Craig via Flickr. (Baik)

Untuk semua trapeze

Kumpulan properti berikut berlaku untuk semua trapesium:

7.- Median trapesium, yaitu segmen yang menghubungkan titik tengah sisi non-paralelnya, sejajar dengan salah satu alasnya.

8.- Panjang median sama dengan semisum (jumlah dibagi 2) dari basisnya.

9.- Median trapesium memotong diagonalnya di titik tengah.

10.- Diagonal trapesium berpotongan pada titik yang membaginya menjadi dua bagian yang sebanding dengan hasil bagi alasnya.

11.- Jumlah kuadrat diagonal trapesium sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya ditambah hasil kali ganda alasnya.

12.- Ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal memiliki panjang yang sama dengan semi-perbedaan alasnya.

13.- Sudut-sudut yang berdekatan dengan sisi-sisinya saling melengkapi.

14.- Trapesium memiliki keliling tertulis jika dan hanya jika jumlah alasnya sama dengan jumlah sisinya.

15.- Jika trapesium memiliki keliling terukir, maka sudut dengan simpul di tengah keliling tersebut dan sisi yang melewati ujung sisi yang sama adalah sudut siku-siku.

Hubungan dan rumus

Kumpulan hubungan dan rumus berikut mengacu pada gambar 3, di mana selain trapesium sama kaki, segmen penting lainnya yang telah disebutkan juga ditampilkan, seperti diagonal, tinggi, dan median.

Gambar 3. Median, diagonal, tinggi, dan keliling berbatas dalam trapesium sama kaki. Sumber: F. Zapata.

Hubungan unik dari trapesium sama kaki

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA dan ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º dan ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C dan D termasuk dalam lingkaran berbatas.

Hubungan untuk trapeze apa pun

1. Jika AK = KB dan DL = LC ⇒ KL - AD dan KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 dan DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC dan DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º dan ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Jika AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R dari jarak yang sama dari AD, BC, AB dan DC

15.- Jika ∃ R berjarak sama dari AD, BC, AB dan DC, maka:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Hubungan untuk trapesium sama kaki dengan keliling bertuliskan

Jika dalam trapesium sama kaki jumlah alasnya sama dengan dua kali yang lateral, maka keliling tertulis itu ada.

Gambar 4. Trapesium dengan keliling bertuliskan. Sumber: F. Zapata.

Properti berikut berlaku jika trapesium sama kaki memiliki keliling bertuliskan (lihat gambar 4 di atas):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Diagonal berpotongan pada sudut siku-siku: AC ⊥ BD

18.- Tinggi diukur sama dengan median: HF = KL, yaitu, h = m.

19.- Kuadrat dari tinggi sama dengan hasil kali alas: h ² = BC⋅AD

20.- Dalam kondisi spesifik ini, luas trapesium sama dengan kuadrat tinggi atau hasil kali alas: Luas = h ² = BC⋅AD.

Rumus untuk menentukan satu sisi, mengetahui sisi lainnya dan sudut

Mengetahui alas, lateral dan sudut, alas lainnya dapat ditentukan dengan:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Jika panjang alas dan sudut diberikan sebagai data yang diketahui, maka panjang kedua sisinya adalah:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Penentuan satu sisi, mengetahui sisi lain dan diagonal

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Dimana d ₁ adalah panjang diagonal.

Alas dari ketinggian, luas dan alas lainnya

a = (2 A) / jam - b

b = (2 A) / jam - a

Basis lateral, luas dan sudut yang diketahui

c = (2A) /

Diketahui median lateral, luas dan sudut

c = A / (m sin α)

Tinggi sisi yang diketahui

h = √

Ketinggian diketahui sebuah sudut dan dua sisi

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Diagonal yang diketahui semua sisi, atau dua sisi dan sudut

d ₁ = √ (c ² + b)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Keliling segitiga sama kaki

P = a + b + 2c

Area trapesium sama kaki

Ada beberapa rumus untuk menghitung luas, tergantung dari data yang diketahui. Berikut ini adalah yang paling terkenal, tergantung pada alas dan ketinggiannya:

A = h⋅ (a + b) / 2

Dan Anda juga dapat menggunakan yang lain ini:

-Jika sisi diketahui

A = √

-Ketika Anda memiliki dua sisi dan sudut

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Jika jari-jari lingkaran yang tertulis dan sudut diketahui

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Ketika basa dan sudut diketahui

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Jika trapesium dapat ditulisi keliling

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Mengetahui diagonal dan sudut yang mereka bentuk satu sama lain

A = (d ₁ ² /2) γ = Sen (d ₁ ² /2) δ Sen

-Ketika Anda memiliki lateral, median dan sudut

A = mc.sen α = mc.sen β

Jari-jari lingkaran berbatas

Hanya trapesium sama kaki yang memiliki lingkar berbatas. Jika alas a yang lebih besar, lateral c dan diagonal d _{1 diketahui} , maka jari-jari R lingkaran yang melewati keempat simpul trapesium adalah:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Dimana p = (a + c + d ₁ ) / 2

Contoh penggunaan trapesium sama kaki

Trapesium sama kaki muncul di bidang desain, seperti yang terlihat pada Gambar 2. Dan berikut beberapa contoh tambahan:

Dalam arsitektur dan konstruksi

Suku Inca kuno mengenal trapesium sama kaki dan menggunakannya sebagai elemen bangunan di jendela ini di Cuzco, Peru:

Gambar 5. Jendela trapesium dari Coricancha, Cuzco. Sumber: Wikimedia Commons.

Dan di sini trapesium muncul lagi dalam apa yang disebut lembaran trapesium, bahan yang sering digunakan dalam konstruksi:

Gambar 6. Lembaran logam trapesium untuk sementara melindungi jendela sebuah bangunan. Sumber: Wikimedia Commons.

Dalam desain

Kita telah melihat bahwa trapesium sama kaki muncul di objek sehari-hari, termasuk makanan seperti batang coklat ini:

Gambar 7. Cokelat batangan yang wajahnya berbentuk seperti trapesium sama kaki. Sumber: Pxfuel.

Latihan terselesaikan

- Latihan 1

Trapesium sama kaki memiliki alas yang lebih besar dari 9 cm, alasnya kurang dari 3 cm, dan diagonalnya masing-masing 8 cm. Menghitung:

a) Sisi

b) Tinggi

c) Garis keliling

d) Luas

Gambar 8. Skema latihan 1. Sumber: F. Zapata

Solusi untuk

Ketinggian CP = h diplot, di mana kaki ketinggian mendefinisikan segmen:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Menggunakan teorema Pythagoras ke segitiga siku-siku DPC:

c ² = h ² + (a - b) ² /4

Dan juga untuk APC segitiga siku-siku:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² /4

Akhirnya, anggota demi anggota dikurangi, persamaan kedua dari yang pertama dan disederhanakan:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6.08 cm

Solusi b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

Ketinggian = 2 √7 = 5,29 cm

Solusi c

Keliling = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 cm

Solusi d

Luas = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Latihan 2

Ada trapesium sama kaki yang alasnya lebih besar dua kali lipat lebih kecil dan alasnya yang lebih kecil sama dengan tinggi badan, yaitu 6 cm. Memutuskan:

a) Panjang lateral

b) Garis keliling

c) Luas

d) Sudut

Gambar 8. Skema latihan 2. Sumber: F. Zapata

Solusi untuk

Data: a = 12, b = a / 2 = 6 dan h = b = 6

Kami melanjutkan dengan cara ini: kami menggambar tinggi h dan menerapkan teorema Pythagoras ke segitiga sisi miring «c» dan kaki h dan x:

c ² = h ² + xc ²

Maka Anda harus menghitung nilai ketinggian dari data (h = b) dan dari kaki x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Mengganti ekspresi sebelumnya yang kita miliki:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Sekarang nilai numerik diperkenalkan dan disederhanakan:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Memperoleh:

c = 3√5 = 6,71 cm

Solusi b

Garis keliling P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Solusi c

Luas fungsi tinggi dan panjang alas adalah:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Solusi d

Sudut α yang terbentuk lateral dengan alas yang lebih besar diperoleh dengan trigonometri:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63.44º

Sudut lainnya, yang membentuk lateral dengan alas yang lebih kecil adalah β, yang melengkapi α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Referensi

1. EA 2003. Elemen geometri: dengan latihan dan geometri kompas. Universitas Medellin.
2. Campos, F. 2014. Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Temukan Poligon. Perusahaan Pendidikan Benchmark.
4. Hendrik, V. 2013. Poligon Umum. Birkhäuser.
5. IGER. Matematika Semester Pertama Tacaná. IGER.
6. Geometri Jr. 2014. Poligon. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren, & Hornsby. 2006. Matematika: Penalaran Dan Aplikasi. 10. Edisi. Pendidikan Pearson.
8. Patiño, M. 2006. Matematika 5. Progreso Editorial.
9. Wikipedia. Rekstok gantung. Diperoleh dari: es.wikipedia.com