TRAPESIUM SKALEN: PROPERTI, RUMUS DAN PERSAMAAN, CONTOH - MATEMATIKA - 2025

Sebuah trapesium sisi tak sama panjang adalah poligon dengan empat sisi, dua di antaranya adalah sejajar satu sama lain, dan dengan empat sudut interior dari ukuran yang berbeda.

ABCD segiempat ditunjukkan di bawah, di mana sisi AB dan DC sejajar satu sama lain. Ini cukup untuk membuatnya menjadi trapesium, tetapi juga, sudut interior α, β, γ dan δ semuanya berbeda, oleh karena itu trapesium adalah tak sama panjang.

Gambar 1. ABCD segiempat adalah trapesium menurut kondisi 1 dan skalen menurut kondisi 2. Sumber: F. Zapata.

Elemen trapesium tak sama panjang

Berikut adalah elemen yang paling khas:

-Basis dan sisi: sisi paralel trapesium adalah alasnya dan dua sisi non-paralel adalah sisi.

Dalam trapesium tak sama panjang, alasnya memiliki panjang yang berbeda dan juga yang lateral. Namun, trapesium tak sama panjang dapat memiliki panjang lateral yang sama dengan alas.

-Median: adalah ruas yang menghubungkan titik tengah dari titik lateral.

-Diagonal: diagonal trapesium adalah segmen yang menghubungkan dua simpul yang berlawanan. Trapesium, seperti setiap segiempat, memiliki dua diagonal. Dalam trapesium tak sama panjang mereka memiliki panjang yang berbeda.

Trapesium lainnya

Selain trapesium tak sama panjang, ada trapesium khusus lainnya: trapesium kanan dan trapesium sama kaki.

Trapesium adalah persegi panjang jika salah satu sudutnya benar, sedangkan trapesium sama kaki memiliki panjang sisi yang sama.

Bentuk trapesium memiliki banyak aplikasi di tingkat desain dan industri, seperti pada konfigurasi sayap pesawat, bentuk benda sehari-hari seperti meja, sandaran kursi, kemasan, dompet, cetakan tekstil dan banyak lagi.

Gambar 2. Bentuk trapesium umum terjadi pada konfigurasi sayap pesawat terbang. Sumber: Wikimedia Commons.

Properti

Sifat-sifat trapesium tak sama panjang tercantum di bawah ini, banyak di antaranya meluas ke jenis trapesium lainnya. Berikut ini, ketika "trapesium" disebutkan, properti akan berlaku untuk semua jenis, termasuk tak sama panjang.

1. Median trapesium, yaitu ruas yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi non-paralelnya, sejajar dengan salah satu alasnya.

2.- Median trapesium memiliki panjang semisum dari alasnya dan memotong diagonalnya di titik tengah.

3.- Diagonal trapesium berpotongan pada titik yang membaginya menjadi dua bagian yang sebanding dengan hasil bagi dari alasnya.

4.- Jumlah kuadrat diagonal trapesium sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya ditambah hasil kali ganda alasnya.

5.- Ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal memiliki panjang yang sama dengan setengah perbedaan alasnya.

6.- Sudut yang berdekatan dengan yang lateral bersifat tambahan.

7.- Dalam trapesium tak sama panjang, panjang diagonalnya berbeda.

8.- Trapesium memiliki keliling tertulis hanya jika jumlah alasnya sama dengan jumlah sisi-sisinya.

9.- Jika sebuah trapesium memiliki keliling bertuliskan, maka sudut dengan simpul di tengah keliling tersebut dan sisi yang melewati ujung sisi trapesium adalah lurus.

10.- Trapesium tak sama panjang tidak memiliki keliling berbatas, satu-satunya jenis trapesium yang tidak adalah sama kaki.

Rumus dan persamaan

Hubungan trapesium tak sama panjang berikut ini mengacu pada gambar berikut.

1.- Jika AE = ED dan BF = FC → EF - AB dan EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2 yaitu: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 dan AG = GC = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) serupa dengan CJ / JA = (c / a).

Gambar 3. Median dan diagonal dari trapesium tak sama panjang. Sumber: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Setara:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Artinya:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ dan β + γ = 180⁰

8.- Jika α ≠ β ≠ γ ≠ δ maka d1 ≠ d2.

9.- Gambar 4 menunjukkan trapesium tak sama panjang yang memiliki keliling bertuliskan, dalam hal ini benar bahwa:

a + c = d + b

10.- Dalam ABCD trapesium tak sama panjang dengan keliling pusat O yang tertulis, hal berikut juga berlaku:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Gambar 4. Jika dalam trapesium diverifikasi bahwa jumlah alasnya sama dengan jumlah lateral, maka ada keliling yang tertulis di dalamnya. Sumber: F. Zapata.

Tinggi

Ketinggian trapesium didefinisikan sebagai segmen yang bergerak dari titik alas secara tegak lurus ke alas yang berlawanan (atau perpanjangannya).

Semua tinggi trapesium memiliki ukuran yang sama h, sehingga sering kali kata tinggi mengacu pada ukurannya. Singkatnya, ketinggian adalah jarak atau pemisah antar alas.

Ketinggian h dapat ditentukan dengan mengetahui panjang satu sisi dan salah satu sudut yang berdekatan dengan sisi:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Median

Ukuran m dari median trapesium adalah jumlah setengah dari alas:

m = (a + b) / 2

Diagonal

d ₁ = √

d ₂ = √

Itu juga dapat dihitung jika hanya panjang sisi trapesium yang diketahui:

d ₁ = √

d ₂ = √

Perimeter

Keliling adalah total panjang kontur, yaitu jumlah semua sisinya:

P = a + b + c + d

Daerah

Luas trapesium adalah semisum alasnya dikalikan dengan tingginya:

A = h ∙ (a + b) / 2

Hal ini juga dapat dihitung jika median m diketahui dan tinggi h:

A = m ∙ jam

Jika hanya panjang sisi trapesium yang diketahui, luasnya dapat ditentukan menggunakan rumus Heron untuk trapesium:

A = ∙ √

Di mana s adalah semiperimeter: s = (a + b + c + d) / 2.

Rasio lain untuk trapesium tak sama panjang

Perpotongan median dengan diagonal dan paralel yang melewati perpotongan diagonal menimbulkan hubungan lain.

Gambar 5. Hubungan lain untuk trapesium tak sama panjang. Sumber: F. Zapata.

-Hubungan untuk EF median

EF = (a + c) / 2; EG = JIKA = c / 2; EI = GF = a / 2

-Hubungan untuk segmen yang sejajar dengan basis KL, dan melewati titik persimpangan J diagonal

Jika KL - AB - DC dengan J ∈ KL, maka KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Konstruksi trapesium tak sama panjang dengan penggaris dan kompas

Mengingat panjang alas a dan c, di mana a> cy dengan panjang sisi b dan d, di mana b> d, lanjutkan dengan mengikuti langkah-langkah berikut (lihat gambar 6):

1.- Dengan aturan segmen dari AB mayor digambar.

2.- Dari A se dan pada AB tandai titik P sehingga AP = c.

3.- Dengan kompas dengan pusat di P dan jari-jari d, sebuah busur digambar.

4.- Sebuah pusat dibuat di B dengan jari-jari b, menggambar busur yang memotong busur yang digambar pada langkah sebelumnya. Kami menyebut Q sebagai titik perpotongan.

Gambar 6. Konstruksi trapesium tak sama panjang berdasarkan sisi-sisinya. Sumber: F. Zapata.

5.- Dengan pusat di A, gambar busur dengan jari-jari d.

6.- Dengan pusat di Q, gambar busur berjari-jari c yang memotong busur yang digambar pada langkah sebelumnya. Titik potong akan disebut R.

7.- Segmen BQ, QR dan RA digambar dengan penggaris.

8.- ABQR segiempat adalah trapesium tak sama panjang, karena APQR adalah jajaran genjang, yang menjamin bahwa AB - QR.

Contoh

Panjang berikut diberikan dalam cm: 7, 3, 4 dan 6.

a) Tentukan apakah dengan mereka dimungkinkan untuk membangun trapesium tak sama panjang yang dapat membatasi lingkaran.

b) Tentukan keliling, luas, panjang diagonal dan tinggi trapesium tersebut, serta jari-jari lingkaran yang tertulis.

- Solusi untuk

Dengan menggunakan segmen dengan panjang 7 dan 3 sebagai alas dan panjang 4 dan 6 sebagai sisi, trapesium tak sama panjang dapat dibangun dengan menggunakan prosedur yang dijelaskan pada bagian sebelumnya.

Tetap memeriksa apakah itu memiliki keliling tertulis, tetapi mengingat properti (9):

Kami melihatnya secara efektif:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Kemudian kondisi keberadaan keliling terpenuhi.

- Solusi b

Perimeter

Keliling P diperoleh dengan menjumlahkan sisi-sisinya. Karena basa-basa berjumlah 10 dan basa-basi juga, kelilingnya adalah:

P = 20 cm

Daerah

Untuk menentukan luas, hanya diketahui sisi-sisinya, hubungan diterapkan:

A = ∙ √

Dimana s adalah semiperimeter:

s = (a + b + c + d) / 2.

Dalam kasus kami, semiperimeter bernilai s = 10 cm. Setelah mengganti nilai masing-masing:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Sisa:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Tinggi

Ketinggian h terkait dengan area A dengan ekspresi berikut:

A = (a + c) ∙ h / 2, dari mana ketinggian dapat diperoleh dengan membersihkan:

Ketinggian = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Jari-jari lingkaran yang tertulis

Jari-jari lingkaran yang tertulis sama dengan setengah tinggi:

r = h / 2 = 1.984 cm

Diagonal

Akhirnya kami menemukan panjang diagonal:

d ₁ = √

d ₂ = √

Mengganti dengan benar nilai yang kita miliki:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Yaitu: d ₁ = 4,69 cm dan d ₂ = 8,49 cm

Gambar 7. Trapesium skalen yang memenuhi syarat keberadaan keliling bertuliskan. Sumber: F. Zapata.

Latihan diselesaikan

Tentukan sudut dalam trapesium dengan alas AB = a = 7, CD = c = 3 dan sudut lateral BC = b = 6, DA = d = 4.

Larutan

Teorema kosinus dapat diterapkan untuk menentukan sudut. Misal, sudut ∠A = α ditentukan dari segitiga ABD dengan AB = a = 7, BD = d2 = 8,49, dan DA = d = 4.

Teorema kosinus yang diterapkan pada segitiga ini terlihat seperti ini:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), yaitu:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Pemecahannya, kosinus sudut α diperoleh:

Cos (α) = -1/8

Artinya, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Sudut lain diperoleh dengan cara yang sama, nilainya adalah:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ dan akhirnya δ = 82,82⁰.

Referensi

1. CEA (2003). Elemen geometri: dengan latihan dan geometri kompas. Universitas Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Temukan Poligon. Perusahaan Pendidikan Benchmark.
4. Hendrik, V. (2013). Poligon Umum. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematika Semester Pertama Tacaná. IGER.
6. Geometri Jr. (2014). Poligon. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matematika: Penalaran Dan Aplikasi (Edisi Kesepuluh). Pendidikan Pearson.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Progres Editorial.
9. Wikipedia. Rekstok gantung. Diperoleh dari: es.wikipedia.com