TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT: PROPERTI, APLIKASI, CONTOH - MATEMATIKA - 2025

The diskrit transformasi Fourier adalah metode numerik yang digunakan untuk menentukan sampel mengacu pada frekuensi spektral yang membentuk sinyal. Ini mempelajari fungsi periodik dalam parameter tertutup, menghasilkan sinyal diskrit lain sebagai hasilnya.

Untuk mendapatkan transformasi Fourier diskrit dari titik-titik N, pada sinyal diskrit, 2 kondisi berikut harus dipenuhi pada urutan x

TDF

Transformasi Fourier diskrit dapat didefinisikan sebagai pengambilan sampel titik-N dari transformasi Fourier.

Interpretasi dari transformasi Fourier diskrit

Sumber: Pexels

Ada 2 sudut pandang dimana hasil yang diperoleh pada urutan x _s dapat diinterpretasikan melalui transformasi Fourier diskrit.

-Yang pertama berhubungan dengan koefisien spektral, yang sudah diketahui dari deret Fourier. Itu diamati dalam sinyal periodik diskrit, dengan sampel yang bertepatan dengan urutan x _s .

-Yang kedua berkaitan dengan spektrum sinyal aperiodik diskrit, dengan sampel yang sesuai dengan urutan x _s .

Transformasi diskrit adalah perkiraan spektrum sinyal analog asli. Fase-nya bergantung pada contoh pengambilan sampel, sedangkan besarnya bergantung pada interval pengambilan sampel.

Properti

Fondasi aljabar dari struktur menjadi dasar pemikiran untuk bagian-bagian berikut ini.

Linearitas

C. S _n → C. F; Jika suatu urutan dikalikan dengan skalar, transformasinya juga akan menjadi.

T _n + V _n = F + F; Transformasi suatu jumlah sama dengan jumlah transformasi.

Dualitas

F → (1 / N) S _-k; Jika transformasi Fourier diskrit dihitung ulang menjadi ekspresi yang telah diubah, ekspresi yang sama diperoleh, diskalakan dalam N dan dibalik sehubungan dengan sumbu vertikal.

Lilitan

Mengejar tujuan yang sama seperti dalam transformasi Laplace, konvolusi fungsi mengacu pada hasil kali antara transformasi Fourier mereka. Konvolusi juga berlaku untuk waktu diskrit dan bertanggung jawab atas banyak prosedur modern.

X _n * R _n → F .F; Transformasi lilitan sama dengan hasil kali transformasi.

X _n . R _n → F * F; Transformasi produk sama dengan konvolusi transformasi.

Pemindahan

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Jika urutan tertunda oleh m sampel, pengaruhnya pada transformasi diskrit akan menjadi modifikasi sudut yang ditentukan oleh (2π / N) km.

Simetri

X _t = X * _t = X _t

Modulasi

W ^-nm _N . x ↔ X _t

Produk

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Simetri

X ↔ X _t = X * _t

Mengkonjugasikan

x * ↔ X * _t

Persamaan Parseval

Sehubungan dengan transformasi Fourier konvensional, ia memiliki beberapa persamaan dan perbedaan. Transformasi Fourier mengubah urutan menjadi garis padat. Dengan cara ini dapat dikatakan bahwa hasil dari variabel Fourier merupakan fungsi kompleks dari variabel riil.

Transformasi Fourier diskrit, tidak seperti, menerima sinyal diskrit dan mengubahnya menjadi sinyal diskrit lain, yaitu urutan.

Untuk apa transformasi Fourier diskrit?

Mereka berfungsi terutama untuk menyederhanakan persamaan, sambil mengubah ekspresi turunan menjadi elemen pangkat. Menunjukkan ekspresi diferensial dalam bentuk polinomial yang dapat diintegrasikan.

Dalam pengoptimalan, modulasi, dan pemodelan hasil, ia bertindak sebagai ekspresi standar, yang sering menjadi sumber daya untuk rekayasa setelah beberapa generasi.

Sumber: pixabay

Sejarah

Konsep matematika ini diperkenalkan oleh Joseph B. Fourier pada tahun 1811, saat mengembangkan risalah tentang penyebaran panas. Itu dengan cepat diadopsi oleh berbagai cabang sains dan teknik.

Ini ditetapkan sebagai alat kerja utama dalam studi persamaan dengan turunan parsial, bahkan membandingkannya dengan hubungan kerja yang ada antara transformasi Laplace dan persamaan diferensial biasa.

Setiap fungsi yang dapat bekerja dengan transformasi Fourier harus menampilkan null di luar parameter yang ditentukan.

Transformasi Fourier Diskrit dan kebalikannya

Transformasi diskrit diperoleh melalui ekspresi:

Setelah diberi diskrit sekuens X

Kebalikan dari transformasi Fourier diskrit didefinisikan melalui ekspresi:

Membalikkan PTO

Setelah transformasi diskrit tercapai, ini memungkinkan untuk menentukan urutan dalam domain waktu X.

Bersayap

Proses parametrization sesuai dengan transformasi Fourier diskrit terletak pada windowing. Untuk mengerjakan transformasi, kita harus membatasi urutan waktu. Dalam banyak kasus, sinyal yang dimaksud tidak memiliki batasan ini.

Urutan yang tidak memenuhi kriteria ukuran untuk diterapkan pada transformasi diskrit dapat dikalikan dengan fungsi "jendela" V, yang menentukan perilaku urutan dalam parameter terkontrol.

X. V.

Lebar spektrum akan tergantung pada lebar jendela. Saat lebar jendela bertambah, transformasi yang dihitung akan menjadi lebih sempit.

Aplikasi

Perhitungan solusi fundamental

Transformasi Fourier diskrit adalah alat yang ampuh dalam mempelajari urutan diskrit.

Transformasi Fourier diskrit mengubah fungsi variabel kontinu menjadi transformasi variabel diskrit.

Masalah Cauchy untuk persamaan kalor menyajikan bidang penerapan yang sering dari transformasi Fourier diskrit . Dimana fungsi inti panas atau inti Dirichlet dihasilkan, yang berlaku untuk nilai sampling dalam parameter yang ditentukan.

Teori sinyal

Alasan umum penerapan transformasi Fourier diskrit di cabang ini terutama karena karakteristik dekomposisi sinyal sebagai superposisi tak terbatas dari sinyal yang lebih mudah ditangani.

Ini bisa berupa gelombang suara atau gelombang elektromagnetik, transformasi Fourier diskrit mengekspresikannya dalam superposisi gelombang sederhana. Representasi ini cukup sering terjadi dalam teknik kelistrikan.

Seri Fourier

Mereka adalah seri yang didefinisikan dalam istilah Cosines and Sines. Mereka berfungsi untuk memfasilitasi pekerjaan dengan fungsi periodik umum. Ketika diterapkan, mereka adalah bagian dari teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dan parsial.

Deret Fourier bahkan lebih umum daripada deret Taylor, karena deret tersebut mengembangkan fungsi terputus-putus periodik yang tidak memiliki representasi deret Taylor.

Bentuk lain dari deret Fourier

Untuk memahami transformasi Fourier secara analitis, penting untuk meninjau cara lain di mana deret Fourier dapat ditemukan, sampai kita dapat mendefinisikan deret Fourier dalam notasi kompleksnya.

-Fourier series pada fungsi periode 2L:

Interval dipertimbangkan, yang menawarkan keuntungan saat memanfaatkan karakteristik simetris fungsi.

Jika f genap, deret Fourier ditetapkan sebagai deret Cosinus.

Jika f ganjil, deret Fourier ditetapkan sebagai deret Sinus.

-Notasi kompleks dari deret Fourier

Jika kita memiliki fungsi f (t), yang memenuhi semua persyaratan deret Fourier, dimungkinkan untuk menyatakannya dalam interval menggunakan notasi kompleksnya:

Contoh

Mengenai perhitungan solusi fundamental, contoh berikut disajikan:

Di sisi lain, berikut adalah contoh penerapan transformasi Fourier diskrit dalam bidang teori sinyal:

-Masalah identifikasi sistem. Didirikan f dan g

-Masalah dengan konsistensi sinyal keluaran

-Masalah dengan penyaringan sinyal

Latihan

Latihan 1

Hitung transformasi Fourier diskrit untuk urutan berikut.

Anda dapat mendefinisikan PTO dari x sebagai:

X _t = {4, -j2, 0, j2} untuk k = 0, 1, 2, 3

Latihan 2

Kami ingin menentukan sinyal spektral yang ditentukan oleh ekspresi x (t) = e ^-t melalui algoritma digital . Di mana koefisien permintaan frekuensi maksimum adalah f _m = 1Hz. Harmonik sesuai dengan f = 0,3 Hz. Kesalahan dibatasi hingga kurang dari 5%. Hitung f _s , D dan N.

Dengan mempertimbangkan teorema sampling f _s = 2f _m = 2 Hz

Resolusi frekuensi f ₀ = 0,1 Hz dipilih , dari mana kami memperoleh D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz adalah frekuensi yang sesuai dengan indeks k = 3, dimana N = 3 × 8 = 24 sampel. Menunjukkan bahwa f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Karena tujuannya adalah untuk mendapatkan nilai N serendah mungkin, nilai-nilai berikut dapat dianggap sebagai solusi:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Referensi

1. Menguasai Transformasi Fourier Diskrit dalam Satu, Dua atau Beberapa Dimensi: Jebakan dan Artefak. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19 Juli. 2013
2. DFT: Manual Pemilik untuk Transformasi Fourier Diskrit. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1 Jan. sembilan belas sembilan puluh lima
3. Pemrosesan Sinyal Digital: Teori dan Praktek. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Transformasi dan Algoritma Cepat untuk Analisis dan Representasi Sinyal. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 Desember. 2012
5. Transformasi Fourier Diskrit dan Kontinu: Analisis, Aplikasi, dan Algoritma Cepat. Eleanor Chu. CRC Press, 19 Maret. 2008