TRANSFORMASI LAPLACE: DEFINISI, SEJARAH DAN UNTUK APA - MATEMATIKA - 2025

The Transformasi Laplace telah dalam beberapa tahun terakhir yang sangat penting dalam studi teknik, matematika, fisika, antara bidang ilmiah lainnya, serta menjadi sangat menarik dalam teori, menyediakan cara sederhana untuk memecahkan masalah yang datang dari sains dan teknik.

Awalnya transformasi Laplace disajikan oleh Pierre-Simón Laplace dalam studinya tentang teori probabilitas dan pada awalnya diperlakukan sebagai objek matematika yang hanya menarik minat teoritis.

Aplikasi saat ini muncul ketika berbagai ahli matematika mencoba memberikan pembenaran formal untuk "aturan operasional" yang digunakan oleh Heaviside dalam studi persamaan teori elektromagnetik.

Definisi

Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace didefinisikan sebagai berikut:

Transformasi Laplace dikatakan ada jika integral sebelumnya konvergen, sebaliknya Transformasi Laplace dikatakan tidak ada.

Secara umum, huruf kecil digunakan untuk menunjukkan fungsi yang akan diubah, dan huruf kapital sesuai dengan transformasinya. Dengan cara ini kita akan memiliki:

Contoh

Perhatikan fungsi konstanta f (t) = 1. Kita memiliki transformasinya adalah:

Kapanpun integral bertemu, yaitu kapanpun s> 0. Jika tidak, s <0, integral divergen.

Misal g (t) = t. Transformasi Laplace-nya diberikan oleh

Dengan mengintegrasikan bagian-bagian dan mengetahui bahwa te ^-st cenderung 0 ketika t cenderung tak terhingga dan s> 0, bersama-sama dengan contoh sebelumnya kita memiliki:

Transformasi mungkin ada atau tidak, misalnya untuk fungsi f (t) = 1 / t integral yang mendefinisikan transformasi Laplace-nya tidak konvergen sehingga transformasinya tidak ada.

Kondisi yang cukup untuk menjamin bahwa transformasi Laplace dari suatu fungsi f ada adalah bahwa f kontinu sebagian untuk t ≥ 0 dan berorde eksponensial.

Suatu fungsi dikatakan kontinu sebagian untuk t ≥ 0, bila untuk setiap interval dengan a> 0, terdapat sejumlah titik _{tk, di} mana f memiliki diskontinuitas dan kontinu di setiap subinterval.

Sebaliknya, suatu fungsi dikatakan berorde eksponensial c jika terdapat konstanta riil M> 0, c dan T> 0 sehingga:

Sebagai contoh kita memiliki f (t) = t ² eksponensial, karena -t ² - <e ^3t untuk semua t> 0.

Secara formal kita memiliki teorema berikut

Teorema (Kondisi yang cukup untuk keberadaan)

Jika f adalah fungsi part-kontinu untuk t> 0 dan orde eksponensial c, maka transformasi Laplace ada untuk s> c.

Perlu ditekankan bahwa ini adalah kondisi yang mencukupi, yaitu bisa saja ada fungsi yang tidak memenuhi syarat tersebut dan bahkan ada transformasi Laplace-nya.

Contohnya adalah fungsi f (t) = t ^-1/2 yang tidak kontinu sebagian untuk t ≥ 0 tetapi transformasi Laplace-nya ada.

Transformasi Laplace dari beberapa fungsi dasar

Tabel berikut menunjukkan transformasi Laplace dari fungsi yang paling umum.

Sejarah

Transformasi Laplace berutang namanya kepada Pierre-Simon Laplace, seorang matematikawan Perancis dan astronom teoritis yang lahir pada tahun 1749 dan meninggal pada tahun 1827. Ketenarannya sedemikian rupa sehingga ia dikenal sebagai Newton of France.

Pada 1744 Leonard Euler mengabdikan studinya pada integral dengan bentuk

sebagai solusi dari persamaan diferensial biasa, tetapi dia dengan cepat meninggalkan penyelidikan ini. Belakangan, Joseph Louis Lagrange, yang sangat mengagumi Euler, juga menyelidiki jenis integral ini dan menghubungkannya dengan teori probabilitas.

1782, Laplace

Pada tahun 1782 Laplace mulai mempelajari integral ini sebagai solusi persamaan diferensial dan menurut sejarawan, pada tahun 1785 ia memutuskan untuk merumuskan kembali masalah tersebut, yang kemudian memunculkan transformasi Laplace seperti yang dipahami saat ini.

Setelah diperkenalkan ke dalam bidang teori probabilitas, ia tidak begitu menarik bagi para ilmuwan saat itu dan hanya dilihat sebagai objek matematika yang hanya menarik minat teoretis.

Oliver Heaviside

Pada pertengahan abad kesembilan belas, insinyur Inggris Oliver Heaviside menemukan bahwa operator diferensial dapat diperlakukan sebagai variabel aljabar, sehingga memberi Transformasi Laplace aplikasi modern mereka.

Oliver Heaviside adalah seorang fisikawan Inggris, insinyur listrik dan matematikawan yang lahir di London pada tahun 1850 dan meninggal pada tahun 1925. Saat mencoba memecahkan masalah persamaan diferensial yang diterapkan pada teori getaran dan menggunakan studi Laplace, ia mulai membentuk Aplikasi modern transformasi Laplace.

Hasil yang disajikan oleh Heaviside menyebar dengan cepat ke seluruh komunitas ilmiah saat itu, tetapi karena karyanya tidak teliti, dia dengan cepat dikritik oleh ahli matematika yang lebih tradisional.

Namun, kegunaan pekerjaan Heaviside dalam memecahkan persamaan dalam fisika membuat metodenya populer di kalangan fisikawan dan insinyur.

Terlepas dari kemunduran ini dan setelah beberapa dekade upaya yang gagal, pada awal abad ke-20, pembenaran yang ketat dapat diberikan pada aturan operasional yang diberikan oleh Heaviside.

Upaya ini membuahkan hasil berkat upaya berbagai ahli matematika seperti Bromwich, Carson, van der Pol, dan lain-lain.

Properti

Di antara properti transformasi Laplace, berikut ini yang menonjol:

Linearitas

Misalkan c1 dan c2 adalah konstanta dan fungsi f (t) dan g (t) yang transformasi Laplace-nya adalah F (s) dan G (s), maka kita memiliki:

Karena sifat ini, transformasi Laplace dikatakan sebagai operator linier.

Contoh

Teorema terjemahan pertama

Jika itu terjadi:

Dan 'a' adalah bilangan real apa pun, jadi:

Contoh

Karena transformasi Laplace dari cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) maka:

Teorema terjemahan kedua

Iya

Begitu

Contoh

Jika f (t) = t ^ 3, maka F (s) = 6 / s ^ 4. Dan oleh karena itu transformasi

adalah G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Perubahan skala

Iya

Dan 'a' adalah nyata bukan nol, kita harus melakukannya

Contoh

Karena transformasi dari f (t) = sin (t) adalah F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) kita mendapatkan itu

Transformasi turunan Laplace

Jika f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ kontinu untuk t ≥ 0 dan berorde eksponensial dan f ⁽ⁿ⁾ (t) kontinu sebagian untuk t ≥ 0, maka

Transformasi Laplace integral

Iya

Begitu

Perkalian dengan t

Jika harus

Begitu

Divisi oleh t

Jika harus

Begitu

Fungsi periodik

Misalkan f adalah fungsi periodik dengan periode T> 0, yaitu f (t + T) = f (t), maka

Perilaku F (s) as s cenderung tak terbatas

Jika f kontinu di bagian dan dari urutan eksponensial dan

Begitu

Transformasi terbalik

Ketika kita menerapkan transformasi Laplace ke fungsi f (t) kita mendapatkan F (s), yang merepresentasikan transformasi ini. Dengan cara yang sama kita dapat mengatakan bahwa f (t) adalah kebalikan Transformasi Laplace dari F (s) dan ditulis sebagai

Kita tahu bahwa transformasi Laplace dari f (t) = 1 dan g (t) = t masing-masing adalah F (s) = 1 / s dan G (s) = 1 / s ² , oleh karena itu kita dapatkan

Beberapa transformasi Laplace invers yang umum adalah sebagai berikut

Selanjutnya, transformasi Laplace terbalik adalah linier, yaitu benar

Olahraga

Temukan

Untuk menyelesaikan latihan ini kita harus mencocokkan fungsi F dengan salah satu tabel sebelumnya. Dalam kasus ini jika kita mengambil + 1 = 5 dan menggunakan sifat linieritas dari transformasi terbalik, kita mengalikan dan membagi dengan 4! Mendapatkan

Untuk transformasi invers kedua kita menerapkan pecahan parsial untuk menulis ulang fungsi F (s) dan kemudian properti linieritas, memperoleh

Seperti yang dapat kita lihat dari contoh-contoh ini, biasanya fungsi F (s) yang dievaluasi tidak sama persis dengan fungsi yang diberikan dalam tabel. Untuk kasus ini, seperti dapat dilihat, cukup menulis ulang fungsi hingga mencapai bentuk yang sesuai.

Aplikasi transformasi Laplace

Persamaan diferensial

Aplikasi utama transformasi Laplace adalah untuk menyelesaikan persamaan diferensial.

Menggunakan properti transformasi turunan jelaslah itu

Y dari turunan n-1 dievaluasi pada t = 0.

Properti ini membuat transformasi sangat berguna untuk menyelesaikan masalah nilai awal yang melibatkan persamaan diferensial dengan koefisien konstan.

Contoh berikut menunjukkan bagaimana menggunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan diferensial.

Contoh 1

Mengingat masalah nilai awal berikut

Gunakan transformasi Laplace untuk menemukan solusinya.

Kami menerapkan transformasi Laplace ke setiap anggota persamaan diferensial

Dengan properti dari transformasi turunan yang kita miliki

Dengan mengembangkan semua ekspresi dan membersihkan Y (s) yang kita miliki

Menggunakan pecahan parsial untuk menulis ulang ruas kanan persamaan yang kita dapatkan

Akhirnya, tujuan kita adalah menemukan fungsi y (t) yang memenuhi persamaan diferensial. Menggunakan transformasi Laplace terbalik memberi kita hasilnya

Contoh 2

Memecahkan

Seperti dalam kasus sebelumnya, kami menerapkan transformasi pada kedua sisi persamaan dan memisahkan suku demi suku.

Dengan cara ini kita mendapatkan hasilnya

Mengganti dengan nilai awal yang diberikan dan menyelesaikan Y (s)

Menggunakan pecahan sederhana kita dapat menulis ulang persamaan sebagai berikut

Dan menerapkan transformasi Laplace terbalik memberi kita hasilnya

Dalam contoh ini, orang mungkin salah menyimpulkan bahwa metode ini tidak jauh lebih baik daripada metode tradisional untuk menyelesaikan persamaan diferensial.

Keuntungan dari transformasi Laplace adalah Anda tidak perlu menggunakan variasi parameter atau mengkhawatirkan berbagai kasus metode koefisien tak tentu.

Selain itu, saat menyelesaikan soal nilai awal dengan metode ini, sejak awal kita menggunakan kondisi awal, sehingga tidak perlu melakukan perhitungan lain untuk mencari solusi tertentu.

Sistem persamaan diferensial

Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk mencari solusi persamaan diferensial biasa simultan, seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.

Contoh

Menyelesaikan

Dengan kondisi awal x (0) = 8 dan y (0) = 3.

Jika harus

Begitu

Pemecahan memberi kita sebagai hasilnya

Dan menerapkan transformasi Laplace terbalik yang kita miliki

Mekanika dan sirkuit listrik

Transformasi Laplace sangat penting dalam fisika, ini terutama memiliki aplikasi untuk mekanika dan rangkaian listrik.

Sirkuit listrik sederhana terdiri dari elemen-elemen berikut

Sakelar, baterai atau sumber, induktor, resistor, dan kapasitor. Ketika sakelar ditutup, arus listrik dihasilkan yang dilambangkan dengan i (t). Muatan pada kapasitor dilambangkan dengan q (t).

Menurut hukum kedua Kirchhoff, tegangan yang dihasilkan oleh sumber E di sirkuit tertutup harus sama dengan jumlah dari masing-masing penurunan tegangan.

Arus listrik i (t) berhubungan dengan muatan q (t) pada kapasitor sebesar i = dq / dt. Di sisi lain, penurunan tegangan di masing-masing elemen didefinisikan sebagai berikut:

Penurunan tegangan pada resistor adalah iR = R (dq / dt)

Penurunan tegangan pada induktor adalah L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Penurunan tegangan kapasitor adalah q / C

Dengan data ini dan menerapkan hukum kedua Kirchhoff pada rangkaian tertutup sederhana, diperoleh persamaan diferensial orde dua yang menggambarkan sistem dan memungkinkan kita untuk menentukan nilai q (t).

Contoh

Induktor, kapasitor, dan resistor dihubungkan ke baterai E, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Induktor adalah 2 henry, kapasitor 0,02 farad dan resistansi 16 ohm. Pada saat t = 0 sirkuit ditutup. Temukan muatan dan arus setiap saat t> 0 jika E = 300 volt.

Kami memiliki persamaan diferensial yang menjelaskan rangkaian ini adalah sebagai berikut

Dimana kondisi awalnya adalah q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Menerapkan transformasi Laplace kami mendapatkan itu

Dan memecahkan Q (t)

Kemudian, menerapkan transformasi Laplace terbalik yang kita miliki

Referensi

1. G.Holbrook, J. (1987). Transformasi Laplace untuk insinyur elektronik. Limusa.
2. Ruiz, LM, & Hernandez, MP (2006). Persamaan diferensial dan transformasi Laplace dengan aplikasi. UPV Editorial.
3. Simmons, GF (1993). Persamaan diferensial dengan aplikasi dan catatan sejarah. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplace berubah. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Persamaan diferensial dengan masalah nilai batas. Editor Pembelajaran Cengage, SA