TRANSFORMASI FOURIER: PROPERTI, APLIKASI, CONTOH - MATEMATIKA - 2025

The transformasi Fourier adalah metode kecukupan analitis berorientasi pada fungsi terintegral milik keluarga transformasi integral. Ini terdiri dari redefinisi fungsi f (t) dalam istilah Cos (t) dan Sen (t).

Identitas trigonometri dari fungsi-fungsi ini, bersama dengan turunan dan karakteristik antiturunannya, berfungsi untuk menentukan transformasi Fourier melalui fungsi kompleks berikut:

Yang benar selama ungkapan itu masuk akal, yaitu, ketika integral yang tidak tepat itu konvergen. Secara aljabar, transformasi Fourier dikatakan sebagai homeomorfisme linier.

Setiap fungsi yang dapat bekerja dengan transformasi Fourier harus menampilkan null di luar parameter yang ditentukan.

Properti

Sumber: pexels

Transformasi Fourier memenuhi properti berikut:

Adanya

Untuk memverifikasi keberadaan transformasi Fourier dalam fungsi f (t) yang didefinisikan dalam real R , 2 aksioma berikut harus dipenuhi:

1. f (t) kontinu sebagian untuk semua R
2. f (t) dapat diintegrasikan dalam R

Linearitas transformasi Fourier

Misalkan M (t) dan N (t) adalah dua fungsi dengan transformasi Fourier tertentu, dengan konstanta a dan b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Yang juga didukung oleh linieritas integral dari nama yang sama.

Transformasi Fourier dari sebuah turunan

Ada fungsi f yang kontinu dan terintegrasi di semua real, dimana:

Dan turunan dari f (f ') kontinu dan ditentukan sebagian di seluruh R.

Transformasi Fourier dari sebuah turunan ditentukan oleh integrasi oleh bagian-bagian, dengan ekspresi berikut:

F (z) = iz F (z)

Dalam derivasi orde yang lebih tinggi, ini akan diterapkan secara homolog, di mana untuk semua n 1 kita memiliki:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Diferensiasi transformasi Fourier

Ada fungsi f yang kontinu dan terintegrasi di semua real, dimana:

Transformasi Fourier dari terjemahan

Untuk setiap θ yang termasuk dalam himpunan S dan T yang dimiliki himpunan S ', kita memiliki:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

Dengan τ _a bekerja sebagai operator terjemahan pada vektor a.

Terjemahan dari transformasi Fourier

Untuk setiap θ yang termasuk dalam himpunan S dan T yang dimiliki himpunan S ', kita memiliki:

τ _a F = F τ _a F = F

Untuk semua dari yang milik R

Transformasi Fourier dari kelompok skala

Untuk semua θ yang termasuk dalam himpunan S. T yang dimiliki himpunan S '

λ milik R - {0} kami memiliki:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Jika f adalah fungsi yang berkesinambungan dan dapat diintegrasikan dengan jelas, di mana a> 0. Maka:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Untuk mendemonstrasikan hasil ini, kita dapat melanjutkan dengan perubahan variabel.

Saat T → + maka s = pada → + ∞

Saat T → - maka s = pada → - ∞

Simetri

Untuk mempelajari simetri transformasi Fourier, identitas Parseval dan rumus Plancherel harus diverifikasi.

Kami memiliki θ dan δ yang dimiliki S. Dari sana dapat disimpulkan bahwa:

Mendapatkan

1 / (2π) ^d { F, F } Identitas Parseval

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d rumus Plancherel

Transformasi Fourier dari produk konvolusi

Mengejar tujuan yang sama seperti dalam transformasi Laplace, konvolusi fungsi mengacu pada hasil kali antara transformasi Fourier mereka.

Kami memiliki f dan g sebagai 2 fungsi yang dibatasi, ditentukan dan diintegrasikan sepenuhnya:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Kontinuitas dan jatuh ke tak terhingga

Untuk apa transformasi Fourier?

Ini berfungsi terutama untuk menyederhanakan persamaan secara signifikan, sambil mengubah ekspresi turunan menjadi elemen pangkat, yang menunjukkan ekspresi diferensial dalam bentuk polinomial yang dapat diintegrasikan.

Dalam pengoptimalan, modulasi, dan pemodelan hasil, ia bertindak sebagai ekspresi standar, yang sering menjadi sumber daya untuk rekayasa setelah beberapa generasi.

Seri Fourier

Mereka adalah seri yang didefinisikan dalam istilah Cosines and Sines; Mereka berfungsi untuk memfasilitasi pekerjaan dengan fungsi periodik umum. Ketika diterapkan, mereka adalah bagian dari teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dan parsial.

Deret Fourier bahkan lebih umum daripada deret Taylor, karena deret tersebut mengembangkan fungsi terputus-putus periodik yang tidak memiliki representasi deret Taylor.

Bentuk lain dari deret Fourier

Untuk memahami transformasi Fourier secara analitis, penting untuk meninjau bentuk-bentuk lain di mana deret Fourier dapat ditemukan, hingga deret Fourier dapat didefinisikan dalam notasi kompleksnya.

Seri -Fourier pada fungsi periode 2L

Seringkali diperlukan penyesuaian struktur deret Fourier ke fungsi periodik yang periodiknya p = 2L> 0 dalam interval.

Seri -Fourier dalam fungsi ganjil dan genap

Interval dipertimbangkan, yang menawarkan keuntungan saat memanfaatkan karakteristik simetris fungsi.

Jika f genap, deret Fourier ditetapkan sebagai deret Cosinus.

Jika f ganjil, deret Fourier ditetapkan sebagai deret Sinus.

-Notasi kompleks dari deret Fourier

Jika kita memiliki fungsi f (t), yang memenuhi semua persyaratan pengembangan dari deret Fourier, dimungkinkan untuk menyatakannya dalam interval menggunakan notasi kompleksnya:

Aplikasi

Sumber: pexels

Perhitungan solusi fundamental

Transformasi Fourier adalah alat yang ampuh dalam mempelajari persamaan diferensial parsial tipe linier dengan koefisien konstan. Mereka berlaku untuk fungsi dengan domain tak terbatas secara merata.

Seperti transformasi Laplace, transformasi Fourier mengubah fungsi turunan parsial menjadi persamaan diferensial biasa yang lebih mudah dioperasikan.

Masalah Cauchy untuk persamaan kalor menyajikan bidang penerapan transformasi Fourier yang sering di mana inti kalor atau fungsi inti Dirichlet dihasilkan.

Mengenai perhitungan solusi fundamental, kasus-kasus berikut disajikan di mana itu umum untuk menemukan transformasi Fourier:

Teori sinyal

Alasan umum penerapan transformasi Fourier di cabang ini terutama disebabkan oleh karakteristik dekomposisi sinyal sebagai superposisi tak terbatas dari sinyal yang lebih mudah ditelusuri.

Ini bisa berupa gelombang suara atau gelombang elektromagnetik, transformasi Fourier mengekspresikannya dalam superposisi gelombang sederhana. Representasi ini cukup sering terjadi dalam teknik kelistrikan.

Di sisi lain, adalah contoh penerapan transformasi Fourier di bidang teori sinyal:

Contoh

Contoh 1

Tentukan transformasi Fourier untuk ekspresi berikut:

Kami juga dapat merepresentasikannya dengan cara berikut:

F (t) = Sen (t)

Pulsa persegi panjang didefinisikan:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Transformasi Fourier diterapkan pada ekspresi berikut yang menyerupai teorema modulasi.

f (t) = p (t) Sen (t)

Dimana: F = (1/2) i

Dan transformasi Fourier didefinisikan oleh:

F = (1/2) i

Contoh 2

Tentukan transformasi Fourier untuk ekspresi:

Karena f (h) adalah fungsi genap, dapat dinyatakan bahwa

Integrasi dengan bagian diterapkan dengan memilih variabel dan perbedaannya sebagai berikut

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^h ) ² v = (e ^h ) ² /2

Mengganti yang Anda miliki

Setelah mengevaluasi di bawah teorema dasar kalkulus

Menerapkan pengetahuan sebelumnya tentang persamaan diferensial orde pertama, ungkapan tersebut dilambangkan sebagai

Untuk mendapatkan K kami mengevaluasi

Akhirnya, transformasi Fourier dari ekspresi tersebut didefinisikan sebagai

Latihan yang diusulkan

• 

• 

• Dapatkan transformasi dari ekspresi W / (1 + w ² )

Referensi

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., analisis Fourier. Addison– Wesley Iberoamericana, Universitas Otonomi Madrid, 1995.
2. Singa, JL, Analisis Matematika dan Metode Numerik untuk Sains dan Teknologi. Springer - Verlag, 1990.
3. Kernel Lieb, EH, Gaussian hanya memiliki pemaksimal gaussian. Menciptakan. Matematika. 102 , 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Fourier Series dan Integrals. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed. Hermann, Paris, 1966.