TRANSFORMASI ISOMETRIK: KOMPOSISI, JENIS DAN CONTOH - MATEMATIKA - 2025

The transformasi isometrik perubahan posisi atau orientasi dari angka yang diberikan yang tidak mengubah bentuk atau ukuran ini. Transformasi ini diklasifikasikan menjadi tiga jenis: translasi, rotasi, dan refleksi (isometri). Secara umum, transformasi geometris memungkinkan Anda membuat gambar baru dari gambar tertentu.

Transformasi menjadi sosok geometris berarti bahwa, dalam beberapa hal, telah mengalami beberapa perubahan; artinya, telah diubah. Menurut pengertian aslinya dan sejenisnya pada bidang tersebut, transformasi geometri dapat diklasifikasikan menjadi tiga jenis: isometrik, isomorfik dan anamorfik.

karakteristik

Transformasi isometrik terjadi ketika besaran segmen dan sudut antara gambar asli dan gambar yang diubah dipertahankan.

Dalam jenis transformasi ini, baik bentuk maupun ukuran gambar tidak diubah (kongruen), itu hanya perubahan posisinya, baik orientasi maupun arahnya. Dengan cara ini, angka awal dan akhir akan menjadi serupa dan kongruen secara geometris.

Isometri mengacu pada kesetaraan; dengan kata lain, bangun geometri akan menjadi isometrik jika memiliki bentuk dan ukuran yang sama.

Dalam transformasi isometrik, satu-satunya hal yang dapat diamati adalah perubahan posisi di bidang, gerakan kaku terjadi berkat sosok itu beralih dari posisi awal ke posisi akhir. Angka ini disebut homolog (serupa) dari aslinya.

Ada tiga jenis gerakan yang mengklasifikasikan transformasi isometrik: translasi, rotasi, dan refleksi atau simetri.

Jenis

Dengan terjemahan

Mereka adalah isometri yang memungkinkan pergerakan semua titik bidang ke arah dan jarak dalam garis lurus.

Ketika sebuah sosok diubah oleh terjemahan, ia tidak mengubah orientasinya dalam kaitannya dengan posisi awal, juga tidak kehilangan ukuran internal, ukuran sudut dan sisinya. Jenis perpindahan ini ditentukan oleh tiga parameter:

- Satu arah, bisa horizontal, vertikal atau miring.

- Satu arah, bisa ke kiri, kanan, atas atau bawah.

- Jarak atau magnitudo, yaitu panjang dari posisi awal ke ujung setiap titik yang bergerak.

Agar transformasi isometrik melalui translasi dapat dipenuhi, kondisi berikut harus dipenuhi:

- Gambar harus selalu menjaga semua dimensinya, baik linier maupun sudut.

- Gambar tidak mengubah posisinya terhadap sumbu horizontal; Artinya, sudutnya tidak pernah berubah-ubah.

- Terjemahan akan selalu diringkas menjadi satu, berapa pun jumlah terjemahan yang dibuat.

Pada bidang yang pusatnya adalah titik O, dengan koordinat (0,0), translasi ditentukan oleh vektor T (a, b), yang menunjukkan perpindahan titik awal. Artinya:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Misalnya, jika terjemahan T (-4, 7) diterapkan ke titik koordinat P (8, -2), kita memperoleh:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

Pada gambar berikut (kiri) terlihat bagaimana titik C bergeser bertepatan dengan D. Hal itu dilakukan dengan arah vertikal, arahnya ke atas dan jarak atau magnitudo CD adalah 8 meter. Pada gambar kanan diamati terjemahan segitiga:

Dengan rotasi

Mereka adalah isometri yang memungkinkan sosok tersebut memutar semua titik bidang. Setiap titik berputar mengikuti busur yang memiliki sudut konstan dan titik tetap (pusat rotasi) ditentukan.

Artinya, semua rotasi akan ditentukan oleh pusat rotasi dan sudut rotasinya. Ketika sebuah sosok diubah oleh rotasi, ia menjaga ukuran sudut dan sisinya.

Rotasi terjadi pada arah tertentu, positif bila putaran berlawanan jarum jam (berlawanan arah jarum jam) dan negatif bila putarannya searah jarum jam.

Jika sebuah titik (x, y) diputar terhadap titik asal - yaitu, pusat rotasinya adalah (0,0) -, pada sudut 90 ^atau 360 ^atau koordinat titik-titik tersebut adalah:

Dalam kasus di mana rotasi tidak memiliki pusat di titik asal, sistem koordinat asal harus dipindahkan ke asal yang baru, agar dapat memutar gambar dengan titik asal sebagai pusat.

Misalnya, jika titik P (-5,2) diterapkan rotasi 90 ^atau , di sekitar titik asal dan positif koordinat barunya adalah (-2,5).

Dengan refleksi atau simetri

Mereka adalah transformasi yang membalikkan titik dan bentuk pesawat. Pembalikan ini bisa berkaitan dengan suatu titik atau bisa juga sehubungan dengan garis.

Dengan kata lain, dalam jenis transformasi ini setiap titik dari gambar asli dikaitkan dengan titik lain (gambar) dari gambar homolog, sedemikian rupa sehingga titik dan bayangannya berada pada jarak yang sama dari garis yang disebut sumbu simetri. .

Dengan demikian, gambar bagian kiri akan menjadi refleksi dari bagian kanan, tanpa mengubah bentuk atau dimensinya. Simetri mengubah suatu angka menjadi sama tetapi dalam arah yang berlawanan, seperti dapat dilihat pada gambar berikut:

Simetri hadir dalam banyak aspek, seperti pada beberapa tumbuhan (bunga matahari), hewan (merak) dan fenomena alam (kepingan salju). Manusia memantulkannya di wajahnya, yang dianggap sebagai faktor kecantikan. Refleksi atau simetri bisa dari dua jenis:

Simetri pusat

Transformasi itulah yang terjadi sehubungan dengan suatu titik, di mana sosok itu dapat mengubah orientasinya. Setiap titik dari gambar asli dan bayangannya berada pada jarak yang sama dari titik O, yang disebut pusat simetri. Simetri menjadi pusat ketika:

- Baik titik dan gambar serta pusatnya termasuk dalam garis yang sama.

- Dengan rotasi 180 ^o dari pusat O, diperoleh angka yang sama dengan aslinya.

- Garis-garis gambar awal sejajar dengan garis-garis gambar yang terbentuk.

- Pengertian dari gambarnya tidak berubah, akan selalu searah jarum jam.

Komposisi sebuah rotasi

Komposisi dua lilitan dengan pusat yang sama menghasilkan lilitan lain, yang memiliki pusat yang sama dan yang amplitudonya akan menjadi jumlah amplitudo kedua lilitan.

Jika pusat belokan memiliki pusat yang berbeda, potongan dari dua segmen titik yang sama akan menjadi pusat belokan.

Komposisi sebuah simetri

Dalam hal ini, komposisi akan bergantung pada cara penerapannya:

- Jika kesimetrian yang sama diterapkan dua kali, hasilnya akan menjadi identitas.

- Jika dua simetri diterapkan pada dua sumbu paralel, hasilnya adalah terjemahan, dan perpindahannya dua kali jarak sumbu tersebut:

- Jika dua simetri diterapkan terhadap dua sumbu yang berpotongan di titik O (tengah), rotasi dengan pusat di O akan diperoleh dan sudutnya akan menjadi dua kali sudut yang dibentuk oleh sumbu:

Referensi

1. V Bourgeois, JF (1988). Bahan untuk konstruksi geometri. Madrid: Sintesis.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Gambar Teknis II. Paraninfo SA: Edisi Menara.
3. Coxeter, H. (1971). Dasar-dasar Geometri. Meksiko: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometri A Pendekatan Transformasi. AS: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Induksi dan formalisasi dalam pengajaran transformasi kaku di lingkungan CABRI.
6. , PJ (1996). Kelompok isometri pesawat. Madrid: Sintesis.
7. Suárez, AC (2010). Transformasi di pesawat. Gurabo, Puerto Riko: AMCT.