TEOREMA VARIGNON'S: CONTOH DAN LATIHAN DISELESAIKAN - MATEMATIKA - 2025

The Teorema Varignon menyatakan bahwa jika ada segiempat terus terhubung titik tengah dari sisi, genjang dihasilkan. Teorema ini dirumuskan oleh Pierre Varignon dan diterbitkan pada tahun 1731 dalam buku Elements of Mathematics ”.

Penerbitan buku itu terjadi bertahun-tahun setelah kematiannya. Karena Varignon yang memperkenalkan teorema ini, jajaran genjang dinamai menurut namanya. Teorema ini didasarkan pada geometri Euclidean dan menyajikan hubungan geometri segiempat.

Apa Teorema Varignon?

Varignon menyatakan bahwa angka yang ditentukan oleh titik tengah segiempat akan selalu menghasilkan jajar genjang, dan luasnya akan selalu setengah dari luas segiempat jika datar dan cembung. Sebagai contoh:

Pada gambar Anda dapat melihat segiempat dengan luas X, di mana titik tengah sisinya diwakili oleh E, F, G dan H dan, jika digabungkan, membentuk jajaran genjang. Luas segiempat adalah jumlah dari luas segitiga yang terbentuk, dan setengahnya sesuai dengan luas jajaran genjang.

Karena luas jajaran genjang adalah setengah luas segiempat, keliling jajaran genjang itu dapat ditentukan.

Jadi, keliling sama dengan jumlah dari panjang diagonal segiempat; ini karena median segiempat akan menjadi diagonal jajaran genjang.

Di sisi lain, jika panjang diagonal dari segiempat sama persis, jajaran genjang akan menjadi belah ketupat. Sebagai contoh:

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa, dengan menggabungkan titik tengah sisi-sisi segiempat, diperoleh belah ketupat. Di sisi lain, jika diagonal segiempat tegak lurus, jajar genjang akan menjadi persegi panjang.

Juga jajaran genjang akan menjadi persegi ketika segiempat memiliki diagonal dengan panjang yang sama dan mereka juga tegak lurus.

Teorema tidak hanya terpenuhi dalam bidang segiempat, tetapi juga diterapkan dalam geometri spasial atau dalam dimensi besar; yaitu, dalam segiempat yang tidak cembung. Contohnya dapat berupa segi delapan, di mana titik tengahnya adalah sentroid dari setiap wajah dan membentuk paralelepiped.

Dengan cara ini, dengan menggabungkan titik tengah gambar yang berbeda, jajaran genjang dapat diperoleh. Cara mudah untuk memeriksa apakah ini benar adalah bahwa sisi yang berlawanan harus sejajar saat diperpanjang.

Contoh

Contoh pertama

Perpanjangan sisi berlawanan untuk menunjukkan bahwa itu adalah jajaran genjang:

Contoh kedua

Dengan menggabungkan titik tengah belah ketupat, diperoleh persegi panjang:

Teorema digunakan dalam penyatuan titik-titik yang terletak di tengah-tengah sisi segiempat, dan juga dapat digunakan untuk jenis titik lain, seperti trisection, penta-section, atau bahkan bagian yang jumlahnya tak terbatas ( n), untuk membagi sisi segiempat mana pun menjadi segmen yang proporsional.

Latihan terselesaikan

Latihan 1

Pada gambar kita memiliki segiempat ABCD dari area Z, di mana titik tengah sisi-sisinya adalah PQSR. Periksa apakah jajaran genjang Varignon terbentuk.

Larutan

Dapat dilihat bahwa penggabungan poin PQSR membentuk jajaran genjang Varignon, tepatnya karena titik tengah segiempat diberikan dalam pernyataan.

Untuk mendemonstrasikan hal tersebut, pertama-tama titik tengah PQSR digabungkan, sehingga terlihat bahwa terbentuk segiempat lain. Untuk membuktikan bahwa itu adalah jajaran genjang, kamu hanya perlu menggambar garis lurus dari titik C ke titik A, sehingga terlihat bahwa CA sejajar dengan PQ dan RS.

Dengan cara yang sama, ketika memanjangkan sisi PQRS dapat dilihat bahwa PQ dan RS adalah sejajar, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Latihan 2

Kami memiliki persegi panjang sehingga panjang semua sisinya sama. Dengan menggabungkan titik-titik tengah sisi-sisi ini, maka terbentuk ABCD belah ketupat, yang dibagi dua diagonal AC = 7cm dan BD = 10cm, yang sama dengan pengukuran sisi-sisi persegi panjang. Tentukan luas belah ketupat dan persegi panjang.

Larutan

Mengingat bahwa luas jajaran genjang yang dihasilkan adalah setengah dari segi empat, luasnya dapat ditentukan dengan mengetahui bahwa ukuran diagonal bertepatan dengan sisi-sisi persegi panjang. Jadi, Anda harus:

AB = D

CD = d

Sebuah _{persegi panjang} = (AB _* CD) = (10cm _* 7cm) = 70cm ²

Sebuah _{belah ketupat} = A _{persegi panjang} / 2

Sebuah _{belah ketupat} = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Latihan 3

Pada gambar ada segiempat yang memiliki gabungan titik-titik EFGH, panjang segmen diberikan. Tentukan apakah gabungan EFGH adalah jajar genjang.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2.88 DH = 2.02

HR = 3,94 HA = 2,77

Larutan

Seperti panjang segmen yang diberikan, dapat diverifikasi jika ada proporsionalitas antar segmen; yaitu, Anda dapat mengetahui apakah mereka sejajar, menghubungkan segmen-segmen segiempat sebagai berikut:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Kemudian proporsionalitas diperiksa, karena:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Demikian pula ketika menggambar garis dari titik B ke titik D, terlihat bahwa EH sejajar dengan BD, sama seperti BD sejajar dengan FG. Di sisi lain, EF sejajar dengan GH.

Dengan demikian dapat ditentukan bahwa EFGH adalah jajar genjang, karena sisi yang berlawanan sejajar.

Referensi

1. Andres, T. (2010). Latihan Matematika Olimpiade. Peloncat. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Geometri Euclidean Bidang. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Studi Geometri. Meksiko: Hispanik - Amerika.
4. Ramo, GP (1998). Solusi yang tidak diketahui untuk masalah Fermat-Torricelli. ISBN - Karya independen.
5. Vera, F. (1943). Elemen Geometri. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Beberapa Petualangan dalam Geometri Euclidean. Afrika Selatan.