TEOREMA MILETUS TALES: PERTAMA, KEDUA DAN CONTOH - MATEMATIKA - 2025

Teorema pertama dan kedua Thales of Miletus didasarkan pada penentuan segitiga dari yang serupa (teorema pertama) atau dari lingkaran (teorema kedua). Mereka sangat berguna di berbagai bidang. Misalnya, teorema pertama sangat berguna untuk mengukur struktur besar ketika tidak ada alat ukur yang canggih.

Thales of Miletus adalah seorang matematikawan Yunani yang memberikan kontribusi besar pada geometri, di mana kedua teorema ini menonjol (dalam beberapa teks ia juga ditulis sebagai Thales) dan penerapannya yang berguna. Hasil ini telah digunakan sepanjang sejarah dan memungkinkan untuk memecahkan berbagai macam masalah geometris.

Thales dari Miletus

Teorema Pertama Thales

Teorema pertama Thales adalah alat yang sangat berguna yang, antara lain, memungkinkan konstruksi segitiga yang serupa dengan yang diketahui sebelumnya. Dari sini berbagai versi teorema diturunkan yang dapat diterapkan dalam berbagai konteks.

Sebelum memberikan pernyataan Anda, mari kita ingat beberapa pengertian tentang kesamaan segitiga. Pada dasarnya, dua segitiga serupa jika sudutnya kongruen (ukurannya sama). Ini menghasilkan fakta bahwa jika dua segitiga serupa, sisi yang bersesuaian (atau homolog) adalah proporsional.

Teorema pertama Thales menyatakan bahwa jika sebuah garis ditarik sejajar dengan salah satu sisinya dalam segitiga tertentu, segitiga baru yang diperoleh akan serupa dengan segitiga awal.

Hubungan juga didapat antar sudut yang terbentuk, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Aplikasi

Di antara banyak aplikasinya, salah satu minat khusus menonjol dan berkaitan dengan salah satu cara pengukuran dibuat dari struktur besar di Zaman Dahulu, masa di mana Thales hidup dan di mana tidak ada alat pengukur modern yang mereka ada sekarang.

Konon begitulah cara Thales berhasil mengukur piramida tertinggi di Mesir, Cheops. Untuk ini, Thales menduga bahwa pantulan sinar matahari menyentuh tanah membentuk garis paralel. Di bawah asumsi ini, dia memaku tongkat atau tongkat secara vertikal ke tanah.

Dia kemudian menggunakan kesamaan dari dua segitiga yang dihasilkan, satu dibentuk oleh panjang bayangan piramida (yang dapat dengan mudah dihitung) dan tinggi piramida (tidak diketahui), dan yang lainnya dibentuk oleh panjang bayangan. dan tinggi batang (yang juga dapat dihitung dengan mudah).

Dengan menggunakan proporsionalitas antara panjang ini, ketinggian limas dapat dipecahkan dan diketahui.

Meskipun metode pengukuran ini dapat memberikan kesalahan perkiraan yang signifikan sehubungan dengan keakuratan ketinggian dan bergantung pada kesejajaran sinar matahari (yang bergantung pada waktu yang tepat), harus diakui bahwa ini adalah ide yang sangat cerdik dan memberikan alternatif pengukuran yang baik untuk saat itu.

Contoh

Temukan nilai x dalam setiap kasus:

Teorema kedua Thales

Teorema kedua Thales menentukan segitiga siku-siku yang tertulis dalam lingkaran di setiap titik yang sama.

Segitiga bertuliskan keliling adalah segitiga yang simpulnya ada di keliling, sehingga tersisa di dalamnya.

Secara khusus, teorema kedua Thales menyatakan sebagai berikut: diberi lingkaran dengan pusat O dan diameter AC, setiap titik B pada keliling (selain A dan C) menentukan segitiga siku-siku ABC, dengan sudut siku-siku

Sebagai pembenaran, mari kita catat bahwa OA dan OB dan OC sama dengan jari-jari keliling; oleh karena itu, ukurannya sama. Dari sini dapat disimpulkan bahwa segitiga OAB dan OCB adalah sama kaki, di mana

Diketahui bahwa jumlah sudut segitiga sama dengan 180º. Menggunakan ini dengan segitiga ABC kita punya:

2b + 2a = 180º.

Secara ekivalen, kita mendapatkan bahwa b + a = 90º dan b + a =

Perhatikan bahwa segitiga siku-siku yang diberikan oleh teorema kedua Thales adalah tepat yang sisi miringnya sama dengan diameter keliling. Oleh karena itu, itu sepenuhnya ditentukan oleh setengah lingkaran yang berisi titik-titik segitiga; dalam hal ini, setengah lingkaran atas.

Mari kita juga mengamati bahwa dalam segitiga siku-siku yang diperoleh dengan menggunakan teorema kedua Thales, hipotenusa dibagi menjadi dua bagian yang sama oleh OA dan OC (jari-jari). Pada gilirannya, ukuran ini sama dengan segmen OB (juga jari-jari), yang sesuai dengan median segitiga ABC oleh B.

Dengan kata lain, panjang median segitiga siku-siku ABC yang berhubungan dengan simpul B ditentukan sepenuhnya oleh setengah sisi miring. Ingatlah bahwa median segitiga adalah ruas dari salah satu simpul ke titik tengah sisi yang berlawanan; dalam hal ini, segmen BO.

Lingkar lingkar

Cara lain untuk melihat teorema kedua Thales adalah melalui keliling yang dibatasi ke segitiga siku-siku.

Secara umum, keliling yang dibatasi poligon terdiri dari keliling yang melewati setiap simpulnya, jika memungkinkan untuk digambar.

Menggunakan teorema kedua Thales, mengingat segitiga siku-siku, kita selalu dapat membuat sebuah keliling yang dibatasi olehnya, dengan jari-jari yang sama dengan setengah sisi miring dan sebuah sirkumenter (pusat keliling) sama dengan titik tengah sisi miring.

Aplikasi

Aplikasi yang sangat penting dari teorema kedua Thales, dan mungkin yang paling banyak digunakan, adalah menemukan garis singgung lingkaran tertentu, melalui titik P di luar lingkaran tersebut (diketahui).

Perhatikan bahwa diberikan sebuah lingkaran (digambar dengan warna biru pada gambar di bawah) dan sebuah titik eksterior P, ada dua garis yang bersinggungan dengan lingkaran yang melewati P. Misalkan T dan T 'adalah titik singgung, r jari-jari lingkaran, dan Atau tengah.

Diketahui bahwa segmen dari pusat lingkaran ke titik singgung yang sama, tegak lurus dengan garis singgung ini. Jadi sudut OTP sudah benar.

Dari apa yang kita lihat sebelumnya dalam teorema pertama Thales dan versinya yang berbeda, kita melihat bahwa adalah mungkin untuk menuliskan segitiga OTP di lingkaran lain (berwarna merah).

Demikian pula, diperoleh bahwa segitiga OT'P dapat ditorehkan dalam keliling sebelumnya yang sama.

Dengan teorema kedua Thales kita juga mendapatkan bahwa diameter keliling baru ini persis dengan hipotenusa segitiga OTP (yang sama dengan hipotenusa segitiga OT'P), dan pusatnya adalah titik tengah sisi miring ini.

Untuk menghitung pusat keliling baru, maka cukup dengan menghitung titik tengah antara pusat - katakanlah M - dari keliling awal (yang sudah kita ketahui) dan titik P (yang juga kita ketahui). Maka jari-jarinya adalah jarak antara titik M dan P. ini.

Dengan jari-jari dan pusat lingkaran merah kita dapat menemukan persamaan Cartesiannya, yang kita ingat diberikan oleh (xh) ² + (yk) ² = c ² , di mana c adalah jari-jari dan titik (h, k) adalah pusat keliling.

Mengetahui persamaan kedua lingkaran sekarang, kita dapat memotongnya dengan menyelesaikan sistem persamaan yang dibentuk olehnya, dan dengan demikian memperoleh titik singgung T dan T '. Terakhir, untuk mengetahui garis singgung yang diinginkan, cukup mencari persamaan garis yang melewati T dan P, serta melalui T 'dan P.

Contoh

Perhatikan keliling diameter AC, pusat O, dan jari-jari 1 cm. Misalkan B adalah titik pada keliling sehingga AB = AC. Berapa tinggi AB?

Larutan

Berdasarkan teorema kedua Thales, kita mendapatkan bahwa segitiga ABC benar dan hipotenusa sesuai dengan diameter, yang dalam hal ini berukuran 2 cm (jari-jarinya 1 cm). Kemudian, dengan teorema Pythagoras kita memiliki:

Referensi

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometri dan trigonometri. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
3. Gutiérrez, Á. UNTUK. (2004). Metodologi dan aplikasi matematika di ESO Kementerian Pendidikan.
4. IGER. (2014). Matematika Semester Kedua Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matematika 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometri dan Geometri Analitik. Pendidikan Pearson.
7. Pérez, MA (2009). Sejarah Matematika: Tantangan dan Penaklukan Melalui Karakternya. Editorial Vision Libros.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Geometri Analitik Bidang. Editorial Venezolana CA