The Hijau 's Teorema adalah metode perhitungan yang digunakan untuk jalur integral connect integral ganda atau luas permukaan. Fungsi yang terlibat harus dilambangkan sebagai bidang vektor dan ditentukan dalam jalur C.
Misalnya, ekspresi integral garis bisa sangat sulit dipecahkan; Namun dengan menerapkan teorema Green, integral ganda menjadi cukup mendasar. Selalu penting untuk menghormati arah positif dari lintasan, ini mengacu pada arah yang berlawanan dengan jarum jam.
Teorema Green adalah kasus khusus dari teorema Stokes, di mana proyeksi fungsi vektor dilakukan pada bidang xy.
Definisi
Ekspresi Teorema Green adalah sebagai berikut:
Suku pertama menunjukkan integral garis yang ditentukan oleh jalur "C", dari produk skalar antara fungsi vektor "F" dan vektor "r".
C: Ini adalah jalur yang ditentukan di mana fungsi vektor akan diproyeksikan selama itu ditentukan untuk bidang itu.
F: Fungsi vektor, di mana masing-masing komponennya ditentukan oleh fungsi seperti itu (f, g).
r: Ini adalah vektor bersinggungan dengan daerah R di mana integral didefinisikan. Dalam hal ini kami beroperasi dengan diferensial vektor ini.
Dalam istilah kedua kita melihat teorema Green berkembang, di mana integral ganda yang ditentukan di wilayah R dari perbedaan turunan parsial g dan f diamati, sehubungan dengan x dan y masing-masing. Dengan perbedaan luas yang tidak lebih dari produk dari kedua diferensial dua dimensi (dx.dy).
Teorema ini dapat diterapkan dengan sempurna untuk integral ruang dan permukaan.
Demonstrasi
Untuk membuktikan teorema Green secara sederhana, tugas ini akan dipecah menjadi 2 bagian. Pertama-tama, kita akan mengasumsikan bahwa fungsi vektor F hanya memiliki definisi di versor i. Sedangkan fungsi "g" yang sesuai dengan versor j akan sama dengan nol.
Penulis
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Pertama, kita mengembangkan integral garis di atas jalur C, yang jalurnya telah dikelompokkan menjadi 2 bagian yang pertama dari a ke b dan kemudian dari b ke a.
Definisi teorema dasar kalkulus diterapkan untuk integral tertentu.
Pernyataan tersebut disusun ulang menjadi satu integral, negatif dijadikan faktor persekutuan, dan urutan faktornya dibalik.
Ketika mengamati ekspresi ini secara mendetail, menjadi jelas bahwa ketika menerapkan kriteria fungsi primitif, kita berada di hadapan integral dari ekspresi yang diturunkan dari f terhadap y. Dievaluasi dalam parameter
Sekarang cukup untuk mengandaikan bahwa fungsi vektor F didefinisikan hanya untuk g (x, y) j . Dimana saat beroperasi dengan cara yang mirip dengan kasus sebelumnya, diperoleh hal berikut:
Untuk menyelesaikan, 2 bukti diambil dan digabungkan dalam kasus di mana fungsi vektor mengambil nilai untuk kedua versor. Dengan cara ini, ditunjukkan bagaimana integral garis setelah didefinisikan dan dianggap sebagai lintasan satu dimensi, dapat dikembangkan sepenuhnya untuk bidang dan ruang.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Dengan cara ini, teorema Green terbukti.
Aplikasi
Aplikasi teorema Green sangat luas di cabang fisika dan matematika. Ini meluas ke aplikasi atau penggunaan apa pun yang dapat diberikan untuk integrasi baris.
Kerja mekanis yang dilakukan oleh gaya F melalui lintasan C, dapat dikembangkan dengan integral garis yang dinyatakan sebagai integral ganda suatu luas oleh teorema Green.
Momen inersia banyak benda yang mengalami gaya eksternal pada titik penerapan yang berbeda juga merespons integral garis yang dapat dikembangkan dengan teorema Green.
Ini memiliki beberapa fungsi dalam studi ketahanan bahan yang digunakan. Dimana nilai-nilai eksternal dapat diukur dan diperhitungkan sebelum pengembangan berbagai elemen.
Secara umum, teorema Green memfasilitasi pemahaman dan definisi area di mana fungsi vektor didefinisikan sehubungan dengan wilayah di sepanjang jalur.
Sejarah
Ini diterbitkan pada tahun 1828 dalam karya Analisis matematika untuk teori listrik dan magnet, yang ditulis oleh ahli matematika Inggris George Green. Di dalamnya, bagian-bagian yang cukup menentukan dalam penerapan kalkulus dalam fisika dieksplorasi, seperti konsep fungsi potensial, fungsi Green dan aplikasi teorema self-titled-nya.
George Green meresmikan karir siswanya pada usia 40, hingga sekarang menjadi ahli matematika otodidak. Setelah menempuh pendidikan di University of Cambridge, ia melanjutkan penelitiannya, memberikan kontribusi dalam bidang akustik, optik, dan hidrodinamika yang masih berlaku hingga saat ini.
Hubungan dengan teorema lain
Teorema Green adalah kasus khusus, dan muncul dari 2 teorema lain yang sangat penting di bidang kalkulus. Ini adalah teorema Kelvin-Stokes dan divergensi atau teorema Gauss Ostrogradski.
Mulai dari salah satu dari dua teorema tersebut, seseorang dapat sampai pada teorema Green. Definisi dan proposisi tertentu diperlukan untuk mengembangkan bukti tersebut.
Latihan
- Latihan berikut menunjukkan bagaimana mengubah integral garis menjadi integral ganda terhadap daerah R.
Ekspresi aslinya adalah sebagai berikut:
Dari mana fungsi yang sesuai f dan g diambil
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Tidak ada cara tunggal untuk menentukan batas integrasi saat menerapkan teorema Green. Tetapi ada beberapa cara di mana integral setelah didefinisikan bisa lebih sederhana. Sehingga optimalisasi batasan integrasi perlu mendapat perhatian.
Di mana saat memecahkan integral kita memperoleh:
Nilai ini sesuai dalam unit kubik dengan daerah di bawah fungsi vektor dan di atas daerah segitiga yang ditentukan oleh C.
Dalam kasus integral garis tanpa melakukan metode Green, akan diperlukan parameterisasi fungsi di setiap bagian wilayah. Artinya, lakukan 3 integral berparameter untuk resolusi. Ini adalah bukti yang cukup dari efisiensi yang dibawa Robert Green dengan teorema ke kalkulus.
Referensi
- Pengantar Mekanika Kontinum. W Michael Lai, David H.Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 Juli. 2009
- Kalkulus Multivariat. James Stewart. Cengage Learning, 22 Maret 2011
- Sejarah Informal Teorema dan Ide Terkait Green. James Joseph Cross. Departemen Matematika, Universitas Melbourne, 1975
- Konduksi Panas Menggunakan Fungsi Hijau. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16 Juli 2010
- Penerapan Teorema Green untuk Ekstremisasi Integral Linear. Pusat Informasi Teknis Pertahanan, 1961