TEORI HIMPUNAN: KARAKTERISTIK, ELEMEN, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

The teori himpunan adalah cabang dari matematika logika-yang bertanggung jawab untuk studi hubungan antara entitas yang disebut set. Himpunan dicirikan sebagai kumpulan objek dengan sifat yang sama. Objek-objek tersebut adalah elemen-elemen himpunan dan dapat berupa: angka, huruf, figur geometris, kata-kata yang mewakili objek, objek itu sendiri dan lain-lain.

Georg Cantor, menjelang akhir abad ke-19, yang mengajukan teori himpunan. Sementara matematikawan terkenal lainnya di abad ke-20 membuat formalisasi mereka: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel antara lain.

Gambar 1. Diagram Venn himpunan A, B dan perpotongannya A⋂ B. (Elaborasi sendiri).

Diagram Venn adalah cara grafis untuk merepresentasikan himpunan, dan terdiri dari gambar bidang tertutup yang di dalamnya terdapat elemen-elemen himpunan.

Misalnya, pada gambar 1 ditampilkan dua himpunan A dan B, yang memiliki kesamaan unsur, unsur-unsur yang sama dengan A dan B. Ini membentuk himpunan baru yang disebut himpunan perpotongan A dan B, yang ditulis dalam bentuk simbolis sebagai berikut:

A ∩ B

karakteristik

Himpunan adalah konsep primitif karena dalam geometri konsep titik, garis atau bidang. Tidak ada cara yang lebih baik untuk mengungkapkan konsep selain dengan menunjukkan contoh:

Set E dibentuk oleh warna bendera Spanyol. Cara mengekspresikan himpunan ini disebut dengan pemahaman. Himpunan E yang sama yang ditulis dengan ekstensi adalah:

E = {merah, kuning}

Dalam hal ini, merah dan kuning adalah elemen dari himpunan E. Perlu dicatat bahwa elemen terdaftar dalam tanda kurung dan tidak diulang. Dalam kasus bendera Spanyol, ada tiga garis berwarna (merah, kuning, merah), dua di antaranya diulang, tetapi elemennya tidak diulang ketika keseluruhannya diekspresikan.

Misalkan himpunan V dibentuk oleh tiga huruf vokal pertama:

V = {a, e, i}

Himpunan daya V yang dilambangkan dengan P (V) adalah himpunan dari semua himpunan yang dapat dibentuk dengan unsur-unsur V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Jenis set

Set terbatas

Ini adalah himpunan di mana elemen-elemennya dapat dihitung. Contoh himpunan hingga adalah huruf-huruf alfabet Spanyol, vokal Spanyol, planet-planet tata surya, dan lain-lain. Jumlah elemen dalam himpunan hingga disebut kardinalitasnya.

Set tak terbatas

Himpunan tak terbatas dipahami sebagai semua bahwa jumlah elemennya tidak dapat dihitung, karena tidak peduli seberapa besar jumlah elemennya, selalu mungkin untuk menemukan lebih banyak elemen.

Contoh himpunan tak hingga adalah himpunan bilangan asli N, yang dalam bentuk ekstensif dinyatakan sebagai berikut:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Jelas merupakan himpunan tak hingga, karena tidak peduli seberapa besar bilangan asli mungkin, yang terbesar berikutnya selalu dapat ditemukan, dalam proses tanpa akhir. Jelas kardinalitas dari himpunan tak hingga adalah ∞.

Set kosong

Ini adalah himpunan yang tidak mengandung elemen apa pun. Himpunan kosong V dilambangkan dengan Ø atau dengan sepasang kunci tanpa elemen di dalamnya:

V = {} = Ø.

Himpunan kosong itu unik, oleh karena itu himpunan kosong harus salah mengatakan "himpunan kosong", bentuk yang benar adalah mengatakan "himpunan kosong".

Di antara properti dari himpunan kosong kita memiliki bahwa itu adalah bagian dari himpunan manapun:

Ø ⊂ A

Selanjutnya, jika suatu himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan kosong, maka himpunan tersebut harus dikatakan vakum:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Set kesatuan

Himpunan unit adalah himpunan apa pun yang berisi satu elemen. Misalnya, himpunan satelit alam bumi adalah himpunan kesatuan, yang satu-satunya elemennya adalah Bulan. Himpunan B dari bilangan bulat kurang dari 2 dan lebih besar dari nol hanya memiliki elemen 1, oleh karena itu ia adalah himpunan unit.

Set biner

Sebuah himpunan adalah biner jika hanya memiliki dua elemen. Misalnya himpunan X, sehingga x adalah solusi bilangan real dari x ^ 2 = 2. Himpunan dengan ekstensi ini ditulis seperti ini:

X = {-√2, + √2}

Set universal

Himpunan universal adalah himpunan yang berisi himpunan lain dari jenis atau sifat yang sama. Misalnya, himpunan universal bilangan asli adalah himpunan bilangan real. Tetapi bilangan real adalah himpunan universal juga dari bilangan bulat dan bilangan rasional.

Item inti

- Hubungan antar set

Dalam majelis, berbagai jenis hubungan dapat dibangun antara mereka dan elemen-elemennya. Jika dua himpunan A dan B memiliki elemen yang persis sama di antara keduanya, hubungan kesetaraan dibuat, dilambangkan sebagai berikut:

A = B

Jika semua elemen dari himpunan A adalah milik himpunan B, tetapi tidak semua elemen dari B milik A, maka di antara himpunan ini terdapat relasi inklusi yang dilambangkan seperti ini:

A ⊂ B, tapi B ⊄ A

Ekspresi di atas berbunyi: A adalah himpunan bagian dari B, tetapi B bukan bagian dari A.

Untuk menunjukkan bahwa beberapa atau beberapa elemen termasuk dalam himpunan, digunakan simbol keanggotaan ∈, misalnya untuk mengatakan bahwa elemen x atau elemen milik himpunan A ditulis secara simbolis seperti ini:

x ∈ A

Jika sebuah elemen tidak termasuk dalam himpunan A, relasi ini ditulis seperti ini:

dan ∉ A

Hubungan keanggotaan ada antara elemen-elemen himpunan dan himpunan, dengan satu-satunya pengecualian dari himpunan daya, himpunan daya adalah kumpulan atau himpunan dari semua himpunan yang mungkin yang dapat dibentuk dengan elemen himpunan tersebut.

Misalkan V = {a, e, i}, himpunan dayanya adalah P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, dalam hal ini himpunan V menjadi elemen himpunan P (V) dan dapat ditulis:

V ∈ P (V)

- Sifat inklusi

Properti pertama dari penyertaan menetapkan bahwa setiap set berisi dirinya sendiri, atau dengan kata lain, bahwa itu adalah bagian dari dirinya sendiri:

A ⊂ A

Properti inklusi lainnya adalah transitivitas: jika A adalah himpunan bagian dari B dan B pada gilirannya adalah himpunan bagian dari C, maka A adalah himpunan bagian dari C.Dalam bentuk simbolis, relasi transitivitas ditulis sebagai berikut:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Di bawah ini adalah diagram Venn yang sesuai dengan transitivitas inklusi:

Gambar 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Operasi antar set

Persimpangan

Perpotongan adalah operasi antara dua himpunan yang memunculkan himpunan baru yang termasuk dalam himpunan universal yang sama dengan dua himpunan pertama. Dalam artian, ini adalah operasi tertutup.

Secara simbolis operasi perpotongan dirumuskan seperti ini:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Contohnya adalah sebagai berikut: himpunan A dari huruf dalam kata "elemen" dan himpunan B dari huruf dari kata "berulang", perpotongan antara A dan B ditulis seperti ini:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Himpunan universal U dari A, B dan juga dari A⋂B adalah himpunan huruf-huruf alfabet Spanyol.

Persatuan

Penyatuan dua himpunan adalah himpunan yang dibentuk oleh unsur-unsur yang sama dengan dua himpunan dan unsur non persekutuan dari dua himpunan. Operasi penyatuan antar set diekspresikan secara simbolis seperti ini:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Perbedaan

Operasi perbedaan himpunan A dikurangi himpunan B dilambangkan dengan AB. AB adalah himpunan baru yang dibentuk oleh semua elemen yang ada di A dan bukan milik B. Secara simbolis tertulis seperti ini:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Gambar 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Perbedaan simetris

Perbedaan simetris adalah operasi antara dua himpunan di mana himpunan yang dihasilkan terdiri dari elemen-elemen yang tidak sama dengan dua himpunan. Perbedaan simetris direpresentasikan secara simbolis seperti ini:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Contoh

Contoh 1

Diagram Venn adalah cara grafis untuk merepresentasikan himpunan. Misalnya, himpunan C dari huruf-huruf dalam himpunan kata direpresentasikan seperti ini:

Contoh 2

Di bawah ini ditunjukkan oleh diagram Venn bahwa himpunan vokal dalam kata "set" adalah himpunan bagian dari himpunan huruf dalam kata "set".

Contoh 3

Himpunan Ñ dari huruf-huruf alfabet Spanyol adalah himpunan terbatas, himpunan dengan ekstensi ini ditulis seperti ini:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} dan kardinalitasnya adalah 27.

Contoh 4

Himpunan V vokal dalam bahasa Spanyol adalah himpunan bagian dari himpunan Ñ:

V ⊂ Ñ oleh karena itu adalah himpunan berhingga.

Himpunan hingga V dalam bentuk ekstensif ditulis seperti ini: V = {a, e, i, o, u} dan kardinalitasnya adalah 5.

Contoh 5

Diketahui himpunan A = {2, 4, 6, 8} dan B = {1, 2, 4, 7, 9}, tentukan AB dan BA.

A - B adalah elemen A yang tidak ada di B:

A - B = {6, 8}

B - A adalah elemen B yang tidak ada di A:

B - A = {1, 7, 9}

Latihan terselesaikan

Latihan 1

Tulis dalam bentuk simbolis dan juga dengan perluasan himpunan P dari bilangan asli genap kurang dari 10.

Solusi: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Latihan 2

Misalkan himpunan A yang dibentuk oleh bilangan asli yang merupakan faktor 210, dan himpunan B yang dibentuk oleh bilangan asli prima kurang dari 9. Tentukan dengan perluasan kedua himpunan dan tentukan hubungan apa yang ada antara kedua himpunan tersebut.

Solusi: Untuk menentukan unsur-unsur himpunan A, kita harus mulai dengan mencari faktor-faktor dari bilangan asli 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Kemudian himpunan A ditulis:

A = {2, 3, 5, 7}

Sekarang kita pertimbangkan himpunan B, yang merupakan bilangan prima kurang dari 9. 1 bukan bilangan prima karena tidak memenuhi definisi bilangan prima: "sebuah bilangan prima jika dan hanya jika ia memiliki tepat dua pembagi, 1 dan bilangan itu sendiri." Bilangan 2 genap dan sekaligus bilangan prima karena memenuhi definisi bilangan prima, bilangan prima lain yang kurang dari 9 adalah 3, 5 dan 7. Jadi himpunan B adalah:

B = {2, 3, 5, 7}

Oleh karena itu, kedua himpunan tersebut sama: A = B.

Latihan 3

Tentukan himpunan yang elemen x berbeda dari x.

Solusi: C = {x / x ≠ x}

Karena setiap elemen, bilangan, atau objek sama dengan dirinya sendiri, himpunan C tidak boleh selain himpunan kosong:

C = Ø

Latihan 4

Misalkan himpunan N dari bilangan asli dan Z adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan N ⋂ Z dan N ∪ Z.

Larutan:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z karena N ⊂ Z.

Referensi

1. Garo, M. (2014). Matematika: persamaan kuadrat: Bagaimana memecahkan persamaan kuadrat. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematika untuk manajemen dan ekonomi. Pendidikan Pearson.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Ambang.
4. Preciado, CT (2005). Kursus Matematika ke-3. Progreso Editorial.
5. Matematika 10 (2018). "Contoh Set Hingga". Diperoleh dari: matematicas10.net
6. Wikipedia. Teori himpunan. Diperoleh dari: es.wikipedia.com