TEORI ANTRIAN: SEJARAH, MODEL, UNTUK APA DAN CONTOH - MATEMATIKA - 2025

The teori antrian adalah cabang matematika yang mempelajari fenomena dan perilaku dalam antrean. Mereka didefinisikan ketika pengguna yang menuntut layanan tertentu memutuskan untuk menunggu server diproses.

Pelajari elemen yang ada di antrean tunggu jenis apa pun, apakah itu elemen manusia, atau pemrosesan atau operasi data. Kesimpulannya adalah penerapan konstan dalam lini produksi, registrasi dan pemrosesan.

Font Pexels

Nilai-nilainya berfungsi dalam parametriisasi proses sebelum penerapannya, berfungsi sebagai elemen organisasi kunci untuk manajemen perencanaan yang benar.

Sejarah

Penanggung jawab utama pengembangannya adalah matematikawan kelahiran Denmark Agner Kramp Erlang, yang bekerja di perusahaan telekomunikasi Pertukaran telepon Kopenhagen.

Agner mencatat peningkatan kebutuhan yang muncul dalam sistem pengiriman layanan telepon perusahaan. Oleh karena itu studi fenomena matematika yang dapat dikuantifikasi dalam sistem antrian dimulai.

Publikasi resmi pertamanya adalah sebuah artikel berjudul Teori Antrian, yang diterbitkan pada tahun 1909. Fokus utamanya diarahkan pada masalah penentuan ukuran saluran dan pusat pengalihan telepon untuk layanan panggilan.

Model dan elemen

Ada beberapa model antrian yang berbeda di mana beberapa aspek bertanggung jawab untuk menentukan dan mengkarakterisasi masing-masing. Sebelum menentukan model, elemen yang membentuk setiap model antrian disajikan.

-Elements

Sumber masuk atau populasi potensial

Ini adalah himpunan pelamar yang mungkin untuk layanan ini. Ini berlaku untuk semua jenis variabel, dari pengguna manusia hingga kumpulan paket data. Mereka diklasifikasikan menjadi terbatas dan tidak terbatas tergantung pada sifat himpunan.

Ekor

Ini mengacu pada sekumpulan elemen yang sudah menjadi bagian dari sistem layanan. Yang sudah sepakat menunggu ketersediaan operator. Mereka sedang menunggu resolusi sistem.

-Sistem ekor

Ini terdiri dari tiga serangkai yang dibentuk oleh antrian, mekanisme layanan dan disiplin antrian. Ini memberi struktur pada protokol sistem, mengatur kriteria pemilihan untuk elemen dalam antrian.

- Mekanisme layanan

Ini adalah proses di mana layanan diberikan kepada setiap pengguna.

-Klien

Itu adalah elemen apa pun yang termasuk dalam populasi potensial yang menuntut layanan. Penting untuk mengetahui tingkat masuknya klien, serta probabilitas sumber menghasilkan mereka.

-Kapasitas antrian

Ini mengacu pada kapasitas maksimum barang yang bisa menunggu untuk dilayani. Ia dapat dianggap terbatas atau tidak terbatas, dalam banyak kasus tidak terbatas menurut kriteria kepraktisan.

-Disiplin antrian

Ini adalah protokol yang menentukan pesanan di mana pelanggan dilayani. Ini berfungsi sebagai saluran pemrosesan dan pesanan bagi pengguna, bertanggung jawab atas disposisi dan pergerakan mereka dalam antrean. Menurut kriteria Anda, itu bisa dari berbagai jenis.

- FIFO: Dari akronim dalam bahasa Inggris First in first out, juga dikenal sebagai FCFS first come first serve. Yang artinya, masing-masing, First in first out dan First in first to be serve. Kedua formulir tersebut menunjukkan bahwa pelanggan pertama yang datang akan menjadi yang pertama dilayani.

- LIFO: Last in first out juga dikenal sebagai stack atau LCFS last come first serve. Dimana pelanggan yang datang terakhir dilayani terlebih dahulu.

- RSS: Pilihan layanan secara acak disebut juga layanan SIRO dalam urutan acak, di mana pelanggan dipilih berdasarkan kriteria acak atau acak.

Model

Ada 3 aspek yang mengatur model antrian yang perlu diperhatikan. Ini adalah sebagai berikut:

- Distribusi waktu antara kedatangan: mengacu pada tingkat di mana unit ditambahkan ke antrian. Mereka adalah nilai fungsional dan tunduk pada variabel yang berbeda tergantung pada sifatnya.

- Distribusi waktu layanan: waktu yang digunakan oleh server untuk memproses layanan yang diminta oleh klien. Ini bervariasi sesuai dengan jumlah operasi atau prosedur yang ditetapkan.

2 aspek ini dapat mengambil nilai-nilai berikut:

M: distribusi eksponensial eksponensial (Markoviana).

D: Distribusi merosot (waktu konstan).

E _k : Distribusi erlang dengan parameter bentuk k.

G: Distribusi umum (distribusi apapun).

- Jumlah server: Gerbang layanan terbuka dan tersedia untuk memproses klien. Mereka penting dalam definisi struktural dari setiap model antrian.

Dengan cara ini, model antrian didefinisikan, pertama mengambil inisial dalam huruf kapital dari distribusi waktu kedatangan dan distribusi waktu layanan. Akhirnya, jumlah server dipelajari.

Contoh yang cukup umum adalah MM 1, yang mengacu pada tipe eksponensial dari kedatangan dan distribusi waktu layanan, saat bekerja dengan satu server.

Jenis model antrian lainnya adalah MM s, MG 1, ME 1, DM 1, dan lainnya.

Jenis sistem antrian

Ada beberapa jenis sistem antrian dimana beberapa variabel berfungsi sebagai indikator dari jenis sistem yang disajikan. Namun pada dasarnya ini diatur oleh jumlah antrian dan jumlah server. Struktur linier yang menjadi sasaran pengguna untuk mendapatkan layanan juga berlaku.

- Antrian dan server. Ini adalah struktur biasa, di mana pengguna melalui sistem kedatangan memasuki antrian, di mana setelah selesai menunggu sesuai dengan disiplin antrian, dan diproses oleh satu-satunya server.

- Satu antrian dan beberapa server. Pengguna, di akhir waktu tunggu mereka, dapat pergi ke server yang berbeda yang dapat menjadi pelaksana dari proses yang sama, serta dapat menjadi pribadi untuk prosedur yang berbeda.

- Beberapa antrian dan beberapa server. Struktur tersebut dapat dibagi untuk proses yang berbeda atau berfungsi sebagai saluran lebar untuk memenuhi permintaan yang tinggi akan layanan umum.

- Antrian dengan server berurutan. Pengguna melalui tahapan yang berbeda. Mereka masuk dan mengambil tempat dalam antrian, dan ketika dilayani oleh server pertama, mereka lolos ke tahap baru yang membutuhkan pemenuhan sebelumnya yang dilakukan pada layanan pertama.

Terminologi

- λ: Simbol ini (Lambda) mewakili dalam teori antrian nilai yang diharapkan dari input per interval waktu.

- 1 / λ: Sesuai dengan nilai yang diharapkan antara waktu kedatangan setiap pengguna yang masuk ke sistem.

- μ: Simbol Mu sesuai dengan jumlah klien yang diharapkan yang menyelesaikan layanan per unit waktu. Ini berlaku untuk setiap server.

- 1 / μ: Waktu layanan yang diharapkan oleh sistem.

- ρ: Simbol Rho menunjukkan faktor pemanfaatan server. Ini digunakan untuk mengukur berapa banyak waktu server akan sibuk memproses pengguna.

ρ = λ / sμ

Jika p> 1, sistem akan bersifat sementara, akan cenderung berkembang, karena tingkat utilitas server di bawah jumlah pengguna yang memasuki sistem.

Jika p <1 sistem akan tetap stabil.

Untuk apa teori itu

Itu dibuat untuk mengoptimalkan proses penyediaan layanan telepon. Ini membatasi utilitas sehubungan dengan fenomena garis tunggu, di mana ia berusaha untuk mengurangi nilai waktu dan membatalkan semua jenis pengerjaan ulang atau proses yang berlebihan yang memperlambat proses pengguna dan operator.

Font Pexels

Pada tingkat yang lebih kompleks, di mana variabel input dan layanan mengambil nilai campuran, kalkulasi yang dilakukan di luar teori antrian hampir tidak terpikirkan. Rumus yang diberikan oleh teori membuka kalkulus tingkat lanjut dalam cabang ini.

Elemen hadir dalam rumus

- Pn: Nilai yang mengacu pada probabilitas bahwa unit "n" berada di dalam sistem.

- Lq: Panjang antrian atau nilai rata-rata pengguna di dalamnya.

- Ls: Rata-rata unit dalam sistem.

- Wq: Rata-rata tingkat tunggu dalam antrian.

- Ws: Rata-rata tingkat tunggu dalam sistem.

- _λ: Rata-rata jumlah klien yang memasuki layanan.

- Ws (t): Nilai yang mengacu pada probabilitas bahwa pelanggan tetap lebih dari "t" unit dalam sistem.

- Wq (t): Nilai yang mengacu pada probabilitas bahwa pelanggan tetap lebih dari "t" unit dalam antrian.

Contoh

Registri memiliki satu server untuk memproses paspor pengguna yang datang. Rata-rata 35 pengguna per jam menghadiri pendaftaran. Server memiliki kapasitas untuk melayani 45 pengguna per jam. Sebelumnya diketahui bahwa pengguna menghabiskan rata-rata 5 menit dalam antrian.

Kamu ingin tahu:

1. Waktu rata-rata yang dihabiskan setiap pengguna di sistem
2. Jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian

Kami memiliki λ = 35/45 Pelanggan / menit

μ = 45/60 klien / menit

Wq = 5 menit

Bagian A

Waktu rata-rata dalam sistem dapat dihitung dengan Ws

Ws = Wq + 1 / μ = 5 menit + 1,33 = 6,33 menit

Dengan cara ini, total waktu pengguna akan berada di sistem ditentukan, di mana 5 menit akan berada dalam antrian dan 1,33 menit dengan server.

Bagian b

Lq = λ x Wq

Lq = (0,78 menit klien) x (5 menit) = 3,89 klien

Ada lebih dari 3 klien dalam antrian secara bersamaan.

Referensi

1. Manajemen operasi. Editorial Vértice, 16 April. 2007
2. Teori antrian atau antrian. Germán Alberto Córdoba Barahona. Pontificia Universidad Javeriana, 2002
3. Teori sistem memecahkan masalah. Roberto Sanchis Llopis. Publikasi Universitat Jaume I, 2002
4. Metode kuantitatif organisasi industri II. Joan Baptista Fonollosa Guardiet, Hukum José María Sallán, Albert Suñé Torrents. Universitas Politèc. dari Catalunya, 2009
5. Teori persediaan dan aplikasinya. Editorial Pax-México, 1967