URUTAN KUADRAT: CONTOH, ATURAN, DAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIKA - 2025

The suksesi Kuadrat , dalam istilah matematika, terdiri dari urutan angka yang mengikuti aritmatika aturan tertentu. Sangat menarik untuk mengetahui aturan ini untuk menentukan salah satu suku dari suatu barisan.

Salah satu cara untuk melakukannya adalah dengan menentukan perbedaan antara dua suku yang berurutan dan melihat apakah nilai yang diperoleh selalu berulang. Jika demikian, maka dikatakan urutannya teratur.

Urutan angka adalah cara mengatur urutan angka. Sumber: pixabay.com

Tetapi jika tidak terulang, maka Anda dapat mencoba memeriksa perbedaan antara perbedaan dan melihat apakah nilai ini konstan. Jika demikian, maka itu adalah urutan kuadrat .

Contoh urutan reguler dan urutan kuadrat

Contoh-contoh berikut membantu memperjelas apa yang telah dijelaskan sejauh ini:

Contoh suksesi biasa

Misalkan urutan S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Urutan ini, dilambangkan dengan S, adalah himpunan bilangan tak hingga, dalam hal ini bilangan bulat.

Terlihat bahwa ini adalah deret beraturan, karena setiap suku diperoleh dengan menjumlahkan 3 suku atau unsur sebelumnya:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Dengan kata lain: urutan ini teratur karena perbedaan antara suku berikutnya dan suku sebelumnya memberikan nilai tetap. Dalam contoh yang diberikan nilai ini adalah 3.

Urutan reguler yang diperoleh dengan menambahkan kuantitas tetap ke suku sebelumnya juga disebut perkembangan aritmatika. Dan perbedaan-konstan- antara suku-suku yang berurutan disebut rasio dan dilambangkan sebagai R.

Contoh urutan non-reguler dan kuadrat

Lihat sekarang urutan berikut:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Ketika perbedaan berturut-turut dihitung, nilai-nilai berikut diperoleh:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Perbedaannya tidak konstan, sehingga dapat dikatakan BUKAN berurutan.

Namun, jika kita mempertimbangkan himpunan perbedaan, kita memiliki urutan lain, yang akan dilambangkan sebagai S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Deret baru ini memang barisan biasa, karena setiap suku diperoleh dengan menjumlahkan nilai tetap R = 2 ke yang sebelumnya. Itulah mengapa kita dapat menegaskan bahwa S adalah barisan kuadrat.

Aturan umum untuk menyusun urutan kuadrat

Ada rumus umum untuk membuat barisan kuadrat:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C.

Dalam rumus ini, T _n adalah suku pada posisi n barisan. A, B dan C adalah nilai tetap, sedangkan n bervariasi satu per satu yaitu, 1, 2, 3, 4, …

Dalam urutan S dari contoh sebelumnya A = 1, B = 1 dan C = 0. Dari sana dapat disimpulkan bahwa rumus yang menghasilkan semua suku adalah: T _n = n ² + n

Artinya:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Perbedaan antara dua suku yang berurutan dari barisan kuadrat

T _{n + 1} - T _n = -

Mengembangkan ekspresi melalui produk yang luar biasa tetap:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Dengan menyederhanakannya, Anda mendapatkan:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Berikut rumus yang memberikan urutan selisih S _Dif yang dapat dituliskan seperti ini:

Beda _n = A ∙ (2n + 1) + B

Dimana jelas istilah berikutnya adalah 2 ∙ Terkadang yang sebelumnya. Artinya, rasio urutan perbedaan S _diff adalah: R = 2 ∙ A.

Masalah terpecahkan dari urutan kuadrat

Latihan 1

Misalkan urutan S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Tentukan apakah:

i) Apakah biasa atau tidak

ii) Apakah itu kuadrat atau tidak

iii) Itu kuadrat, urutan perbedaan dan rasionya

Jawaban

i) Mari kita hitung selisih antara suku-suku berikut dan suku-suku sebelumnya:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Kita dapat menegaskan bahwa barisan S tidak beraturan, karena perbedaan antara suku-suku yang berurutan tidak konstan.

ii) Urutan selisihnya teratur, karena selisih suku-sukunya adalah nilai konstanta 2. Oleh karena itu, barisan asli S adalah kuadrat.

iii) Kita telah menentukan bahwa S kuadrat, urutan perbedaannya adalah:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} dan rasionya R = 2.

Latihan 2

Misalkan barisan S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} dari contoh sebelumnya, yang telah diverifikasi bahwa ia adalah kuadrat. Menentukan:

i) Rumus yang menentukan istilah umum T _n.

ii) Periksa istilah ketiga dan kelima.

iii) Nilai suku kesepuluh.

Jawaban

i) Rumus umum T _n adalah A ∙ n ² + B ∙ n + C. Kemudian tinggal mengetahui nilai A, B dan C.

Urutan perbedaan memiliki rasio 2. Selanjutnya, untuk setiap urutan kuadrat rasio R adalah 2 ∙ A seperti yang ditunjukkan pada bagian sebelumnya.

R = 2 ∙ A = 2 yang membuat kita menyimpulkan bahwa A = 1.

Suku pertama dari deret perbedaan S _Dif adalah 2 dan harus memenuhi A ∙ (2n + 1) + B, dengan n = 1 dan A = 1, yaitu:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

pemecahan untuk B kita dapatkan: B = -1

Maka suku pertama S (n = 1) bernilai 1, yaitu: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C.Seperti yang telah kita ketahui bahwa A = 1 dan B = -1, substitusi kita memiliki:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C.

Memecahkan C kita mendapatkan nilainya: C = 1.

Singkatnya:

A = 1, B = -1 dan C = 1

Maka suku ke-n adalah T _n = n ² - n + 1

ii) Suku ketiga T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 dan itu diverifikasi. Kelima T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 yang juga diverifikasi.

iii) Suku kesepuluh adalah T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Latihan 3

Urutan bidang Latihan 3. Sumber: elaborasi sendiri.

Gambar tersebut menunjukkan urutan lima angka. Kisi mewakili satuan panjang.

i) Tentukan barisan untuk luas gambar.

ii) Tunjukkan bahwa ini adalah urutan kuadrat.

iii) Temukan luas Gambar # 10 (tidak diperlihatkan).

Jawaban

i) Deret S yang bersesuaian dengan luas deret gambar adalah:

S = {0, 2, 6, 12, 20 ,. . . . . }

ii) Urutan yang sesuai dengan perbedaan berturut-turut dari suku-suku S adalah:

S _diff = {2, 4, 6, 8 ,. . . . . }

Karena selisih antara suku berurutan tidak konstan, maka S bukanlah barisan beraturan. Masih perlu diketahui apakah itu kuadrat, yang kami lakukan lagi urutan perbedaannya, mendapatkan:

{2, 2, 2, …….}

Karena semua suku urutan berulang, dipastikan bahwa S adalah urutan kuadrat.

iii) Barisan S _dif beraturan dan rasionya R adalah 2. Menggunakan persamaan yang ditunjukkan di atas R = 2 ∙ A, tersisa:

2 = 2 ∙ A, yang berarti A = 1.

Suku kedua dari barisan perbedaan S _Dif adalah 4 dan suku ke n dari S _Dif adalah

A ∙ (2n + 1) + B.

Suku kedua memiliki n = 2. Selain itu, telah ditentukan bahwa A = 1, jadi dengan menggunakan persamaan dan substitusi sebelumnya kita memiliki:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Memecahkan B, kita mendapatkan: B = -1.

Diketahui bahwa suku kedua S bernilai 2, dan harus memenuhi rumus suku umumnya dengan n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Artinya

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C.

Disimpulkan bahwa C = 0, artinya rumus yang memberikan suku umum dari barisan S adalah:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Sekarang istilah kelima diverifikasi:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Gambar # 10, yang belum digambar di sini, akan memiliki luas yang sesuai dengan suku kesepuluh dari barisan S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Referensi

1. https://www.geogebra.org