The interpolasi linier adalah metode yang berasal umum Newton interpolasi dan pendekatan untuk menentukan untuk nilai yang tidak diketahui yang antara dua angka yang diberikan; artinya, nilai antara ditemukan. Ini juga diterapkan pada fungsi perkiraan, di mana nilai f (a) dan f (b) diketahui dan kita ingin mengetahui perantara dari f (x) .
Ada berbagai jenis interpolasi, seperti linier, kuadrat, kubik, dan derajat yang lebih tinggi, yang paling sederhana adalah pendekatan linier. Harga yang harus dibayar dengan interpolasi linier adalah bahwa hasilnya tidak akan seakurat perkiraan menggunakan fungsi dengan derajat yang lebih tinggi.
Definisi
Interpolasi linier adalah proses yang memungkinkan Anda menyimpulkan nilai antara dua nilai yang didefinisikan dengan baik, yang dapat berupa tabel atau grafik garis.
Misalnya, jika Anda mengetahui bahwa 3 liter susu bernilai $ 4 dan 5 liter tersebut bernilai $ 7, tetapi Anda ingin mengetahui berapa nilai 4 liter susu, Anda harus menginterpolasi untuk menentukan nilai tengahnya.
metode
Untuk memperkirakan nilai antara suatu fungsi, fungsi f (x) didekati dengan menggunakan garis r (x) , yang berarti bahwa fungsi tersebut bervariasi secara linier dengan «x» untuk bagian «x = a» dan «x = b "; yaitu, untuk nilai "x" dalam interval (x 0 , x 1 ) dan (y 0 , y 1 ), nilai "y" diberikan oleh garis di antara titik-titik dan dinyatakan dengan hubungan berikut:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Agar interpolasi linier, polinomial interpolasi harus berderajat satu (n = 1), sehingga sesuai dengan nilai x 0 dan x 1.
Interpolasi linier didasarkan pada kemiripan segitiga, sedemikian rupa sehingga, yang diturunkan secara geometris dari persamaan sebelumnya, dapat diperoleh nilai "y", yang mewakili nilai "x" yang tidak diketahui.
Dengan begitu Anda harus:
a = tan Ɵ = (kaki berlawanan 1 ÷ kaki berdekatan 1 ) = (kaki berlawanan 2 ÷ kaki berdekatan 2 )
Dinyatakan dengan cara lain, yaitu:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Memecahkan «dan» dari ekspresi, kami memiliki:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Dengan demikian, persamaan umum untuk interpolasi linier diperoleh:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Secara umum, interpolasi linier memberikan kesalahan kecil pada nilai sebenarnya dari fungsi sebenarnya, meskipun kesalahannya minimal dibandingkan jika Anda secara intuitif memilih angka yang mendekati angka yang ingin Anda temukan.
Kesalahan ini terjadi saat mencoba memperkirakan nilai kurva dengan garis lurus; Dalam kasus ini, ukuran interval harus dikurangi untuk membuat perkiraan lebih tepat.
Untuk hasil yang lebih baik mengenai aproksimasi, disarankan untuk menggunakan fungsi derajat 2, 3 atau bahkan derajat yang lebih tinggi untuk melakukan interpolasi. Untuk kasus ini, teorema Taylor adalah alat yang sangat berguna.
Latihan terselesaikan
Latihan 1
Jumlah bakteri per satuan volume yang ada dalam inkubasi setelah x jam disajikan pada tabel berikut. Anda ingin mengetahui berapa volume bakteri selama 3,5 jam.
Larutan
Tabel referensi tidak menetapkan nilai yang menunjukkan jumlah bakteri selama 3,5 jam, tetapi memiliki nilai atas dan bawah masing-masing untuk waktu 3 dan 4 jam. Dengan cara itu:
x 0 = 3 dan 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 dan 1 = 135
Sekarang, persamaan matematika diterapkan untuk mencari nilai interpolasi, yaitu sebagai berikut:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Kemudian nilai yang sesuai diganti:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Dengan demikian diperoleh bahwa untuk waktu 3,5 jam jumlah bakteri adalah 113 yang merupakan tingkat perantara antara volume bakteri yang ada pada waktu 3 dan 4 jam tersebut.
Latihan 2
Luis memiliki pabrik es krim, dan dia ingin melakukan penelitian untuk menentukan pendapatannya di bulan Agustus berdasarkan biaya yang dikeluarkan. Administrator perusahaan membuat grafik yang menyatakan hubungan ini, tetapi Luis ingin tahu:
Berapa pendapatan untuk Agustus, jika terjadi biaya sebesar $ 55.000?
Larutan
Grafik diberikan dengan nilai pendapatan dan biaya. Luis ingin tahu berapa pendapatan Agustus jika pabrik memiliki biaya $ 55.000. Nilai ini tidak langsung tercermin dalam grafik, tetapi nilainya lebih tinggi dan lebih rendah dari ini.
Pertama, tabel dibuat untuk menghubungkan nilai dengan mudah:
Sekarang, rumus interpolasi digunakan untuk menentukan nilai y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Kemudian nilai yang sesuai diganti:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) *
y = 56.000 + (22.000) *
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = $ 68.936.
Jika pengeluaran sebesar $ 55.000 dilakukan pada bulan Agustus, pendapatannya adalah $ 68.936.
Referensi
- Arthur Goodman, LH (1996). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
- Harpe, P. d. (2000). Topik dalam Teori Grup Geometris. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Interpolasi linier ", Ensiklopedia Matematika.
- , JM (1998). Elemen metode numerik untuk Teknik. UASLP.
- , E. (2002). Kronologi interpolasi: dari astronomi kuno hingga pemrosesan sinyal dan gambar modern. Prosiding IEEE.
- numerik, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.