IDENTITAS PYTHAGORAS: DEMONSTRASI, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

Identitas Pythagoras adalah semua persamaan trigonometri yang berlaku untuk nilai sudut apa pun dan didasarkan pada teorema Pythagoras. Identitas Pythagoras yang paling terkenal adalah identitas trigonometri dasar:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Gambar 1. Identitas trigonometri Pythagoras.

Selanjutnya yang penting dan saya menggunakan identitas Pythagoras dari garis singgung dan garis potong:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

Dan identitas trigonometri Pythagoras yang melibatkan kotangen dan kosekan:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Demonstrasi

Perbandingan trigonometri sinus dan kosinus direpresentasikan pada lingkaran dengan jari-jari satu (1) yang dikenal sebagai lingkaran trigonometri. Lingkaran tersebut berpusat pada asal koordinat O.

Sudut diukur dari sumbu semi positif dari Xs, misalnya sudut α pada gambar 2 (lihat di bawah). Berlawanan arah jarum jam jika sudutnya positif, dan searah jarum jam jika sudutnya negatif.

Sinar dengan asal O dan sudut α digambar, yang memotong lingkaran satuan pada titik P. Titik P diproyeksikan secara ortogonal pada sumbu horizontal X sehingga menimbulkan titik C. Demikian pula P diproyeksikan tegak lurus pada sumbu vertikal Y memberikan tempat ke titik S.

Kami memiliki segitiga siku-siku OCP di C.

Sinus dan kosinus

Harus diingat bahwa sinus rasio trigonometri didefinisikan pada segitiga siku-siku sebagai berikut:

Sinus sudut segitiga adalah perbandingan atau hasil bagi antara kaki yang berlawanan dengan sudut dan sisi miring segitiga.

Diterapkan pada segitiga OCP pada gambar 2 akan terlihat seperti ini:

Sen (α) = CP / OP

tapi CP = OS dan OP = 1, sehingga:

Sen (α) = OS

Artinya OS proyeksi pada sumbu Y memiliki nilai yang sama dengan sinus sudut yang ditampilkan. Perlu dicatat bahwa nilai maksimum sinus suatu sudut (+1) terjadi saat α = 90º dan nilai minimum (-1) saat α = -90º atau α = 270º.

Gambar 2. Lingkaran trigonometri yang menunjukkan hubungan antara teorema Pythagoras dan identitas trigonometri fundamental. (Elaborasi sendiri)

Demikian pula, kosinus suatu sudut adalah hasil bagi antara kaki yang berdekatan dengan sudut dan sisi miring segitiga.

Diterapkan pada segitiga OCP pada gambar 2 akan terlihat seperti ini:

Cos (α) = OC / OP

tapi OP = 1, sehingga:

Cos (α) = OC

Artinya proyeksi OC pada sumbu X memiliki nilai yang sama dengan sinus sudut yang ditunjukkan. Perlu diperhatikan bahwa nilai maksimum cosinus (+1) terjadi jika α = 0º atau α = 360º, sedangkan nilai kosinus minimum adalah (-1) saat α = 180º.

Identitas fundamental

Untuk segitiga siku-siku OCP di C, diterapkan teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa jumlah kuadrat kaki sama dengan kuadrat hipotenusa:

CP ² + OC ² = OP ²

Tetapi telah dikatakan bahwa CP = OS = Sen (α), bahwa OC = Cos (α) dan OP = 1, sehingga ekspresi sebelumnya dapat ditulis ulang sebagai fungsi dari sinus dan cosinus dari sudut tersebut:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Sumbu garis singgung

Sama seperti sumbu X dalam lingkaran trigonometri adalah sumbu kosinus dan sumbu Y adalah sumbu sinus, demikian pula sumbu singgung (lihat gambar 3) yang merupakan garis singgung tepat pada lingkaran satuan pada titik tersebut. B dari koordinat (1, 0).

Jika Anda ingin mengetahui nilai garis singgung suatu sudut, sudut diambil dari sumbu-semi positif dari X, perpotongan sudut dengan sumbu garis singgung menentukan titik Q, panjang segmen OQ adalah garis singgung sudut.

Ini karena menurut definisi, garis singgung sudut α adalah kaki yang berlawanan QB antara kaki OB yang berdekatan. Artinya, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Gambar 3. Lingkaran trigonometri yang menunjukkan sumbu garis singgung dan identitas Pythagoras dari garis singgung. (Elaborasi sendiri)

Identitas Pythagoras dari garis singgung

Identitas Pythagoras dari garis singgung dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan segitiga siku-siku OBQ di B (Gambar 3). Menerapkan teorema Pythagoras ke segitiga ini kita mendapatkan bahwa BQ ² + OB ² = OQ ² . Tetapi telah dikatakan bahwa BQ = Tan (α), bahwa OB = 1 dan OQ = Sec (α), sehingga mengganti dalam persamaan Pythagoras untuk segitiga siku-siku OBQ yang kita miliki:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Contoh

Periksa apakah identitas Pythagoras terpenuhi di segitiga siku-siku kaki AB = 4 dan BC = 3.

Solusi: Tungkainya sudah diketahui, hipotenusa perlu ditentukan, yaitu:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Sudut ∡BAC akan disebut α, ∡BAC = α. Sekarang rasio trigonometri ditentukan:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Jadi α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Ini dimulai dengan identitas trigonometri dasar:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Disimpulkan bahwa itu terpenuhi.

- Identitas Pythagoras berikutnya adalah yang bersinggungan:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Dan disimpulkan bahwa identitas garis singgung diverifikasi.

- Dengan cara yang mirip dengan kotangen:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Disimpulkan bahwa itu juga terpenuhi, yang dengannya tugas memverifikasi identitas Pythagoras untuk segitiga yang diberikan telah selesai.

Latihan terselesaikan

Buktikan identitas berikut, berdasarkan definisi rasio trigonometri dan identitas Pythagoras.

Latihan 1

Buktikan bahwa Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Solusi: Di ​​sisi kanan kita mengenali hasil kali luar biasa dari perkalian binomial dengan konjugatnya yang, seperti yang kita ketahui, adalah selisih kuadrat:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Kemudian suku dengan sinus di sisi kanan berpindah ke sisi kiri dengan tanda berubah:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Memperhatikan bahwa identitas trigonometri fundamental telah tercapai, maka disimpulkan bahwa ekspresi yang diberikan adalah identitas, yaitu benar untuk setiap nilai x.

Latihan 2

Mulai dari identitas trigonometri dasar dan menggunakan definisi rasio trigonometri, tunjukkan identitas Pythagoras dari kosekan.

Solusi: Identitas fundamental adalah:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Kedua anggota dibagi oleh Sen ² (x) dan penyebut dibagi menjadi anggota pertama:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Ini disederhanakan:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) adalah identitas (non-Pythagoras) yang diverifikasi oleh definisi rasio trigonometri. Hal yang sama terjadi dengan identitas berikut: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Akhirnya Anda harus:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Referensi

1. Baldor J. (1973). Bidang dan geometri ruang dengan pengantar trigonometri. Budaya Amerika Tengah. AC
2. CEA (2003). Elemen geometri: dengan latihan dan geometri kompas. Universitas Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
4. IGER. (sf). Matematika Semester Pertama Tacaná. IGER.
5. Geometri Jr. (2014). Poligon. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matematika: Penalaran Dan Aplikasi (Edisi Kesepuluh). Pendidikan Pearson.
7. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Progres Editorial.
8. Wikipedia. Identitas dan rumus trigonometri. Diperoleh dari: es.wikipedia.com