- Berapa dimensinya?
- Ruang tiga dimensi
- Dimensi dan waktu keempat
- Koordinat hypercube
- Membuka hypercube
- Referensi
Sebuah hypercube adalah sebuah kubus dimensi n. Kasus khusus dari hypercube empat dimensi disebut tesseract. Sebuah hypercube atau n-cube terdiri dari segmen-segmen lurus, semuanya memiliki panjang yang sama yang ortogonal pada simpulnya.
Manusia melihat ruang tiga dimensi: lebar, tinggi, dan dalam, tetapi tidak mungkin bagi kita untuk memvisualisasikan hypercube dengan dimensi lebih besar dari 3.
Gambar 1. Kubus 0 adalah sebuah titik, jika titik itu memanjang ke suatu arah jarak a membentuk kubus 1, jika kubus 1 itu memperpanjang jarak a dalam arah ortogonal kita memiliki kubus 2 (dari sisi x ke a), jika kubus 2 memanjang jarak a dalam arah ortogonal kita memiliki kubus 3. Sumber: F. Zapata.
Paling banyak kita bisa membuat proyeksi dalam ruang tiga dimensi untuk mewakilinya, dengan cara yang mirip dengan cara kita memproyeksikan kubus ke bidang untuk mewakilinya.
Dalam dimensi 0, satu-satunya gambar adalah titik, jadi kubus 0 adalah titik. Kubus 1 adalah ruas lurus, yang dibentuk dengan menggerakkan suatu titik ke satu arah dengan jarak a.
Untuk bagiannya, 2 kubus adalah persegi. Ini dibangun dengan menggeser kubus 1 (ruas panjang a) ke arah y, yang ortogonal ke arah x, jarak a.
Kubus 3 adalah kubus umum. Itu dibangun dari bujur sangkar dengan menggerakkannya ke arah ketiga (z), yang ortogonal ke arah x dan y, jarak a.
Gambar 2. Kubus 4 (Tesseract) adalah perpanjangan dari kubus 3 dalam arah ortogonal ke tiga arah spasial konvensional. Sumber: F. Zapata.
Kubus 4 adalah tesseract, yang dibangun dari kubus 3 yang bergerak secara ortogonal, jarak a, menuju dimensi keempat (atau arah keempat), yang tidak dapat kita rasakan.
Sebuah tesseract memiliki semua sudut siku-siku, ia memiliki 16 simpul, dan semua tepinya (semuanya 18) memiliki panjang yang sama a.
Jika panjang sisi-sisi kubus-n atau kubus-hiper yang berdimensi n adalah 1, maka itu adalah hiperkubus satuan, di mana diagonal terpanjang berukuran √n.
Gambar 3. Kubus-n diperoleh dari kubus (n-1) yang memanjang secara ortogonal di dimensi berikutnya. Sumber: wikimedia commons.
Berapa dimensinya?
Dimensi adalah derajat kebebasan, atau kemungkinan arah pergerakan suatu benda.
Dalam dimensi 0 tidak ada kemungkinan untuk diterjemahkan dan satu-satunya objek geometris yang mungkin adalah titik.
Dimensi dalam ruang Euclidean diwakili oleh garis atau sumbu berorientasi yang mendefinisikan dimensi tersebut, yang disebut sumbu X. Pemisahan antara dua titik A dan B adalah jarak Euclidean:
d = √.
Dalam dua dimensi, ruang direpresentasikan oleh dua garis yang berorientasi ortogonal satu sama lain, disebut sumbu X dan sumbu Y.
Posisi titik mana pun dalam ruang dua dimensi ini ditentukan oleh pasangan koordinat Kartesiannya (x, y) dan jarak antara dua titik A dan B adalah:
d = √
Karena itu adalah ruang tempat geometri Euclid terpenuhi.
Ruang tiga dimensi
Ruang tiga dimensi adalah ruang tempat kita bergerak. Ini memiliki tiga arah: lebar, tinggi, dan kedalaman.
Di ruang kosong sudut tegak lurus memberikan tiga arah ini dan untuk masing-masing kita dapat mengasosiasikan sumbu: X, Y, Z.
Ruang ini juga merupakan Euclidean dan jarak antara dua titik A dan B dihitung sebagai berikut:
d = √
Manusia tidak dapat melihat lebih dari tiga dimensi spasial (atau Euclidean).
Namun, dari sudut pandang matematis yang ketat, dimungkinkan untuk mendefinisikan ruang Euclidean berdimensi-n.
Pada ruang ini sebuah titik memiliki koordinat: (x1, x2, x3,… .., xn) dan jarak antara dua titik adalah:
d = √.
Dimensi dan waktu keempat
Memang, dalam teori relativitas, waktu diperlakukan sebagai satu dimensi lagi dan koordinat dikaitkan dengannya.
Tetapi harus diperjelas bahwa koordinat yang terkait dengan waktu ini adalah bilangan imajiner. Oleh karena itu, pemisahan dua titik atau peristiwa dalam ruang-waktu bukanlah Euclidean, melainkan mengikuti metrik Lorentz.
Hypercube empat dimensi (tesseract) tidak hidup dalam ruang-waktu, ia termasuk dalam hyper-space Euclidean empat dimensi.
Gambar 4. Proyeksi 3D dari hypercube empat dimensi dengan rotasi sederhana di sekitar bidang yang membagi gambar dari depan ke kiri, dari belakang ke kanan, dan dari atas ke bawah. Sumber: Wikimedia Commons.
Koordinat hypercube
Koordinat simpul dari kubus-n yang berpusat di titik asal diperoleh dengan melakukan semua permutasi yang mungkin dari ekspresi berikut:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Dimana a adalah panjang tepinya.
-The Volume dari n-kubus tepi adalah: (a / 2) n (2 n ) = a n .
-Diagonal terpanjang adalah jarak antara simpul yang berlawanan.
-Berikut ini adalah simpul berlawanan dalam persegi : (-1, -1) dan (+1, +1).
-Dan di kubus : (-1, -1, -1) dan (+1, +1, +1).
-Diagonal terpanjang dari ukuran kubus-n:
d = √ = √ = 2√n
Dalam hal ini sisi diasumsikan sebagai a = 2. Untuk kubus-n dari sisi apapun itu akan menjadi:
d = a√n.
-A tesseract memiliki masing-masing 16 simpul yang terhubung ke empat sisi. Gambar berikut menunjukkan bagaimana simpul dihubungkan dalam sebuah tesseract.
Gambar 5. 16 simpul dari hypercube empat dimensi dan bagaimana mereka terhubung akan ditampilkan. Sumber: Wikimedia Commons.
Membuka hypercube
Sosok geometris biasa, misalnya polihedron, dapat dilipat menjadi beberapa bangun-bangun yang berdimensi lebih kecil.
Dalam kasus 2 kubus (persegi), ia dapat dibagi menjadi empat segmen, yaitu empat kubus 1.
Demikian pula kubus 3 dapat dibuka menjadi enam kubus 2.
Gambar 6. Sebuah kubus-n dapat dibuka menjadi beberapa kubus (n-1). Sumber: Wikimedia Commons.
Sebuah 4 kubus (tesseract) dapat dibuka menjadi delapan kubus 3.
Animasi berikut menunjukkan terungkapnya tesseract.
Gambar 7. Sebuah hypercube 4 dimensi dapat dibuka menjadi delapan kubus tiga dimensi. Sumber: Wikimedia Commons.
Gambar 8. Proyeksi tiga dimensi dari hypercube empat dimensi yang melakukan rotasi ganda di sekitar dua bidang ortogonal. Sumber: Wikimedia Commons.
Referensi
- Budaya ilmiah. Hypercube, memvisualisasikan dimensi keempat. Diperoleh dari: culturacientifica.com
- Epsilons. Hypercube empat dimensi atau tesseract. Diperoleh dari: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Sebuah metode untuk mendapatkan reaksi dari pengembangan hypercube (4D). Diperoleh dari: researchgate.net
- Wikibooks. Matematika, Polyhedra, Hypercubes. Diperoleh dari: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Diperoleh dari: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Diperoleh dari: en.wikipedia.com