HEPTADECAGON: SIFAT, DIAGONAL, KELILING, LUAS - MATEMATIKA

The heptadecagon adalah poligon dengan 17 sisi dan 17 simpul. Konstruksinya dapat dilakukan dengan gaya Euclidean, yaitu dengan hanya menggunakan penggaris dan kompas. Adalah jenius matematika hebat Carl Friedrich Gauss (1777-1855), yang hampir berusia 18 tahun, yang menemukan prosedur pembuatannya pada 1796.

Rupanya, Gauss selalu sangat condong pada sosok geometris ini, sedemikian rupa sehingga sejak ia menemukan konstruksinya ia memutuskan untuk menjadi seorang ahli matematika. Dikatakan juga bahwa dia ingin heptadecagon diukir di batu nisannya.

Gambar 1. Heptadecagon adalah poligon beraturan dengan 17 sisi dan 17 simpul. Sumber: F. Zapata.

Gauss juga menemukan rumus untuk menentukan poligon beraturan mana yang memiliki kemungkinan dibuat dengan penggaris dan kompas, karena beberapa poligon tidak memiliki konstruksi Euclidean yang tepat.

Karakteristik heptadecagon

Adapun karakteristiknya, seperti poligon lainnya, jumlah sudut internalnya penting. Dalam poligon beraturan dengan n sisi, jumlahnya diberikan oleh:

Jumlah ini, yang dinyatakan dalam radian, terlihat seperti ini:

Dari rumus di atas dapat dengan mudah disimpulkan bahwa setiap sudut internal segi delapan memiliki ukuran yang tepat α yang diberikan oleh:

Oleh karena itu, sudut internal kira-kira adalah:

Diagonal dan perimeter

Diagonal dan keliling adalah aspek penting lainnya. Dalam poligon apa pun, jumlah diagonal adalah:

D = n (n - 3) / 2 dan dalam kasus heptadecagon, sebagai n = 17, kita mendapatkan bahwa D = 119 diagonal.

Sebaliknya, jika panjang setiap sisi dari segi delapan diketahui, maka keliling dari segi delapan biasa ditemukan hanya dengan menambahkan 17 kali panjangnya, atau yang setara dengan 17 kali panjang d setiap sisi:

P = 17 hari

Perimeter heptadecagon

Terkadang hanya jari-jari r dari segi delapan yang diketahui, sehingga perlu dikembangkan rumus untuk kasus ini.

Untuk tujuan ini, konsep apotema diperkenalkan. Apotema adalah ruas yang bergerak dari pusat poligon beraturan ke titik tengah salah satu sisi. Apotema relatif terhadap satu sisi tegak lurus dengan sisi tersebut (lihat gambar 2).

Gambar 2. Bagian-bagian poligon beraturan dengan jari-jari r dan apotemanya ditampilkan. (Elaborasi sendiri)

Selanjutnya, apotema adalah garis-bagi sudut dengan titik pusat dan sisi-sisi pada dua simpul yang berurutan dari poligon, hal ini memungkinkan ditemukannya hubungan antara jari-jari r dan sisi d.

Jika sudut pusat DOE disebut β dan dengan mempertimbangkan bahwa apotema OJ adalah sebuah garis-bagi, kita mendapatkan EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), yang darinya kita memiliki hubungan untuk mencari panjang d sisi poligon diketahui jari-jarinya r dan sudut pusatnya β:

d = 2 r Sen (β / 2)

Dalam kasus segi tujuh β = 360º / 17, kami memiliki:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Akhirnya, diperoleh rumus keliling segi delapan, yang diketahui jari-jarinya:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

Keliling sebuah heptadecagon dekat dengan keliling keliling yang mengelilinginya, tetapi nilainya lebih kecil, yaitu, keliling lingkaran yang berbatas adalah Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

Daerah

Untuk menentukan luas segi delapan kita akan mengacu pada Gambar 2, yang menunjukkan sisi dan apotema dari poligon beraturan dengan n sisi. Dalam gambar ini segitiga EOD memiliki luas yang sama dengan alas d (sisi poligon) dikalikan dengan tinggi a (apotema poligon) dibagi 2:

Luas EOD = (dxa) / 2

Jadi, mengetahui apotema a dari segi tujuh dan sisi d yang sama, luasnya adalah:

Luas segi enam = (17/2) (dxa)

Area diberi sisi

Untuk mendapatkan rumus luas segi tujuh yang mengetahui panjang tujuh belas sisinya, maka perlu diperoleh hubungan antara panjang apotema a dan sisi d.

Dengan mengacu pada gambar 2, diperoleh hubungan trigonometri berikut:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, di mana β adalah sudut pusat DOE. Jadi apotema a dapat dihitung jika panjang sisi poligon dan sudut pusat β diketahui:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Jika ungkapan ini sekarang menggantikan apotema, dalam rumus luas heptadekagon yang diperoleh di bagian sebelumnya, kita memiliki:

Luas segi tujuh = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

Menjadi β = 360º / 17 untuk heptadecagon, jadi kita akhirnya mendapatkan rumus yang diinginkan:

Luas segi tujuh = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Area diberi radius

Pada bagian sebelumnya, hubungan telah ditemukan antara sisi d poligon beraturan dan jari-jarinya r, hubungan ini adalah sebagai berikut:

d = 2 r Sen (β / 2)

Ekspresi untuk d ini disisipkan dalam ekspresi yang diperoleh di bagian sebelumnya untuk area tersebut. Jika substitusi dan penyederhanaan yang relevan dibuat, rumus yang memungkinkan penghitungan luas segi tujuh diperoleh:

Luas segi tujuh = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Perkiraan ekspresi untuk area tersebut adalah:

Luas segi enam = 3.0706 (r ² )

Seperti yang diharapkan, luas ini sedikit lebih kecil dari luas lingkaran yang mengelilingi segi tujuh A _circ = π r ² ≈ 3,1416 r ² . Tepatnya, ini 2% lebih kecil dari lingkaran berbatasinya.

Contoh

Contoh 1

Untuk menjawab pertanyaan ini, perlu diingat hubungan antara sisi dan jari-jari poligon bersisi n:

d = 2 r Sen (180º / n)

Untuk segi delapan n = 17, jadi d = 0.3675 r, yaitu jari-jari segiempat segiempat adalah r = 2 cm / 0.3675 = 5.4423 cm atau

Diameter 10.8844 cm.

Keliling dari segi delapan sisi 2 cm adalah P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Contoh 2

Kita harus mengacu pada rumus yang diperlihatkan di bagian sebelumnya, yang memungkinkan kita mencari luas sebuah segi tujuh jika panjang sisinya d:

Luas segi tujuh = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Dengan mengganti d = 2 cm pada rumus sebelumnya, kita mendapatkan:

Luas = 90,94 cm

Referensi

CEA (2003). Elemen geometri: dengan latihan dan geometri kompas. Universitas Medellin.
Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
Freed, K. (2007). Temukan Poligon. Perusahaan Pendidikan Benchmark.
Hendrik, V. (2013). Poligon Umum. Birkhäuser.
IGER. (sf). Matematika Semester Pertama Tacaná. IGER.
Geometri Jr. (2014). Poligon. Lulu Press, Inc.
Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matematika: Penalaran Dan Aplikasi (Edisi Kesepuluh). Pendidikan Pearson.
Patiño, M. (2006). Matematika 5. Progres Editorial.
Sada, M. Poligon beraturan bersisi 17 dengan penggaris dan kompas. Diperoleh dari: geogebra.org
Wikipedia. Heptadecagon. Diperoleh dari: es.wikipedia.com

HEPTADECAGON: SIFAT, DIAGONAL, KELILING, LUAS - MATEMATIKA - 2025