GEOMETRI EUCLIDEAN: SEJARAH, KONSEP DASAR, DAN CONTOH - MATEMATIKA - 2025

The geometri Euclidean berkorespondensi untuk mempelajari sifat-sifat ruang geometris di mana aksioma Euclid puas. Meskipun istilah ini kadang-kadang digunakan untuk menutupi geometri yang memiliki dimensi lebih tinggi dengan sifat serupa, umumnya istilah ini identik dengan geometri klasik atau geometri bidang.

Pada abad III a. C. Euclides dan murid-muridnya menulis Elemen, sebuah karya yang mencakup pengetahuan matematika dari waktu yang diberkahi dengan struktur deduktif-logis. Sejak saat itu, geometri menjadi ilmu, awalnya untuk memecahkan masalah klasik dan berkembang menjadi ilmu formatif yang membantu penalaran.

Sejarah

Untuk berbicara tentang sejarah geometri Euclidean, penting untuk memulai dengan Euclid dari Alexandria dan Elemen.

Ketika Mesir ditinggalkan di tangan Ptolemeus I, setelah kematian Alexander Agung, dia memulai proyeknya di sebuah sekolah di Alexandria.

Di antara orang bijak yang mengajar di sekolah itu adalah Euclid. Diperkirakan bahwa kelahirannya berasal dari sekitar 325 SM. C. dan kematiannya pada 265 a. C. Kita dapat mengetahui dengan pasti bahwa dia bersekolah di sekolah Plato.

Selama lebih dari tiga puluh tahun Euclid mengajar di Aleksandria, membangun elemen-elemennya yang terkenal: ia mulai menulis deskripsi lengkap tentang matematika pada masanya. Ajaran Euclid menghasilkan murid-murid yang sangat baik, seperti Archimedes dan Apollonius dari Perga.

Euclid bertanggung jawab untuk menyusun berbagai penemuan yang berbeda dari Yunani kuno di Elemen, tetapi tidak seperti pendahulunya dia tidak membatasi dirinya untuk menegaskan bahwa sebuah teorema adalah benar; Euclid menawarkan demonstrasi.

The Elements adalah ringkasan dari tiga belas buku. Setelah Alkitab, itu adalah buku yang paling banyak diterbitkan, dengan lebih dari seribu edisi.

Elemen Euclid

Elemen adalah mahakarya Euclid di bidang geometri, dan menawarkan perlakuan definitif dari geometri dua dimensi (bidang) dan tiga dimensi (ruang), inilah asal mula dari apa yang sekarang kita kenal sebagai geometri Euclidean .

Konsep dasar

Unsur-unsur tersebut terdiri dari definisi, gagasan umum dan postulat (atau aksioma) diikuti oleh teorema, konstruksi dan bukti.

- Satu poin adalah yang tidak memiliki bagian.

- Garis adalah panjang yang tidak memiliki lebar.

- Garis lurus adalah garis yang letaknya sama dalam hubungannya dengan titik-titik yang ada di dalamnya.

- Jika dua garis dipotong sehingga sudut yang berdekatan sama, sudut-sudut itu disebut garis lurus dan garis-garis itu disebut tegak lurus.

- Garis sejajar adalah garis yang, berada di bidang yang sama, tidak pernah berpotongan.

Setelah ini dan definisi lainnya, Euclid menyajikan kepada kita daftar lima postulat dan lima gagasan.

Gagasan umum

- Dua hal yang sama dengan sepertiga sama satu sama lain.

- Jika hal yang sama ditambahkan ke hal yang sama, hasilnya sama.

- Jika benda yang sama dikurangkan dengan benda yang sama, hasilnya sama.

- Hal-hal yang cocok satu sama lain sama satu sama lain.

- Totalnya lebih besar dari satu bagian.

Postulat atau aksioma

- Satu dan hanya satu garis melewati dua titik berbeda.

- Garis lurus dapat diperpanjang tanpa batas.

- Anda dapat menggambar lingkaran dengan pusat dan radius apa pun.

- Semua sudut siku-siku sama.

- Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus sehingga sudut dalam dari sisi yang sama berjumlah kurang dari dua sudut siku-siku, maka kedua garis tersebut akan bersilangan pada sisi tersebut.

Postulat terakhir ini dikenal sebagai postulat paralel dan dirumuskan ulang dengan cara berikut: "Untuk suatu titik di luar garis, satu garis sejajar dengan garis tertentu dapat ditarik."

Contoh

Selanjutnya, beberapa teorema Elemen akan berfungsi untuk menunjukkan properti ruang geometris di mana lima postulat Euclid terpenuhi; Selain itu, mereka akan mengilustrasikan penalaran logis-deduktif yang digunakan oleh ahli matematika ini.

Contoh pertama

Proposisi 1.4. (LAL)

Jika dua segitiga memiliki dua sisi dan sudut antara keduanya sama, maka sisi lainnya sama dengan sudut lainnya.

Demonstrasi

Misalkan ABC dan A'B'C 'adalah dua segitiga dengan AB = A'B', AC = A'C 'dan sudut BAC dan B'A'C' sama. Mari kita pindahkan segitiga A'B'C 'sehingga A'B' sama dengan AB dan sudut B'A'C 'sama dengan sudut BAC.

Jadi garis A'C 'bertepatan dengan garis AC, sehingga C' sama dengan C. Kemudian, menurut dalil 1, garis BC harus sama dengan garis B'C '. Oleh karena itu, kedua segitiga itu bertepatan dan, akibatnya, sudut dan sisinya sama.

Contoh kedua

Proposisi 1.5. (

Misalkan segitiga ABC memiliki sisi AB dan AC yang sama.

Jadi, segitiga ABD dan ACD memiliki dua sisi yang sama dan sudut di antara keduanya sama. Jadi, menurut Proposisi 1.4, sudut ABD dan ACD sama.

Contoh ketiga

Proposisi 1.31

Anda dapat membuat garis sejajar dengan garis yang diberikan oleh titik tertentu.

Bangunan

Diketahui sebuah garis L dan sebuah titik P, sebuah garis M ditarik melalui P dan memotong L. Kemudian sebuah garis N ditarik melalui P yang memotong L. Sekarang, sebuah garis N ditarik melalui P, yang memotong M, membentuk sudut yang sama dengan sudut yang dibentuk L dengan M.

Afirmasi

N sejajar dengan L.

Demonstrasi

Misalkan L dan N tidak sejajar dan berpotongan di titik A. Misalkan B adalah titik di L di luar A. Mari kita perhatikan garis O yang melewati B dan P. Kemudian, O memotong M pada sudut yang jumlahnya kurang dari dua lurus.

Kemudian dengan 1,5 garis O harus memotong garis L di sisi lain M, sehingga L dan O berpotongan pada dua titik, yang bertentangan dengan postulat 1. Oleh karena itu, L dan N harus sejajar.

Referensi

1. Euclid. Elemen Geometri. Universitas Otonomi Nasional Meksiko
2. Euclid. Enam buku pertama dan elemen kesebelas dan kedua belas dari Euclid
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktik dan sejarah geometri Euclidean, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Sejarah Matematika. Editorial Mir
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Geometri Analitik Bidang. Editorial Venezolana CA