PECAHAN PARSIAL: KASUS DAN CONTOH - MATEMATIKA - 2025

The pecahan parsial adalah fraksi yang dibentuk oleh polinomial, di mana penyebut bisa menjadi linear atau kuadrat polinomial dan, di samping itu, dapat dinaikkan menjadi beberapa kekuatan. Terkadang ketika kita memiliki fungsi rasional, sangat berguna untuk menulis ulang fungsi ini sebagai penjumlahan pecahan parsial atau pecahan sederhana.

Ini karena dengan cara ini kita dapat memanipulasi fungsi-fungsi ini dengan cara yang lebih baik, terutama dalam kasus di mana aplikasi tersebut perlu diintegrasikan. Fungsi rasional hanyalah hasil bagi antara dua polinomial, dan keduanya bisa tepat atau tidak tepat.

Jika derajat polinomial pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, itu disebut fungsi layak rasional; jika tidak, ini dikenal sebagai fungsi rasional yang tidak tepat.

Definisi

Ketika kita memiliki fungsi rasional yang tidak tepat, kita dapat membagi polinomial pembilangnya dengan polinomial penyebutnya dan kemudian menulis ulang pecahan p (x) / q (x), mengikuti algoritma pembagian sebagai t (x) + s (x) / q (x), di mana t (x) adalah polinomial dan s (x) / q (x) adalah fungsi rasional yang tepat.

Fraksi parsial adalah fungsi polinomial yang tepat, yang penyebutnya berbentuk (ax + b) ⁿ atau (ax ² + bx + c) ⁿ , jika sumbu polinomial ² + bx + c tidak memiliki akar nyata dan n adalah angka alam.

Untuk menulis ulang fungsi rasional dalam pecahan parsial, hal pertama yang harus dilakukan adalah memfaktorkan penyebut q (x) sebagai hasil kali faktor linier dan / atau kuadrat. Setelah ini selesai, pecahan parsial ditentukan, yang bergantung pada sifat faktor-faktor ini.

Kasus

Kami mempertimbangkan beberapa kasus secara terpisah.

Kasus 1

Faktor q (x) semuanya linier dan tidak ada yang berulang. Artinya:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ )… (a _s x + b _s )

Tidak ada faktor linier yang identik dengan yang lain. Ketika kasus ini terjadi kami akan menulis:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ )… + A _s / (a _s x + b _s ).

Dimana A ₁ , A ₂ ,…, A _s adalah konstanta yang akan ditemukan.

Contoh

Kami ingin menguraikan fungsi rasional menjadi pecahan sederhana:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Kami melanjutkan ke faktor penyebut, yaitu:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Kemudian:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Dengan menerapkan kelipatan persekutuan terkecil, dapat diperoleh bahwa:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Kami ingin mendapatkan nilai konstanta A, B, dan C, yang dapat ditemukan dengan mengganti akar yang membatalkan masing-masing suku. Mengganti 0 untuk x kita memiliki:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Mengganti - 1 untuk x kita memiliki:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Mengganti - 2 untuk x kita memiliki:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

Dengan cara ini diperoleh nilai A = –1/2, B = 2 dan C = –3/2.

Ada metode lain untuk mendapatkan nilai A, B dan C.Jika di sisi kanan persamaan x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x kami menggabungkan istilah, kami memiliki:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Karena ini adalah persamaan polinomial, kita mengetahui bahwa koefisien di sisi kiri harus sama dengan koefisien di sisi kanan. Ini menghasilkan sistem persamaan berikut:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Menyelesaikan sistem persamaan ini, kita mendapatkan hasil A = –1/2, B = 2, dan C = -3/2.

Akhirnya, mengganti nilai yang diperoleh kita memiliki itu:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Kasus 2

Faktor q (x) semuanya linier dan beberapa diulang. Misalkan (ax + b) adalah faktor yang mengulangi "s" kali; kemudian, faktor ini sesuai dengan jumlah pecahan parsial «s».

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Di mana A _s , A _s-1 ,…, A ₁ adalah konstanta yang akan ditentukan. Dengan contoh berikut, kami akan menunjukkan cara menentukan konstanta ini.

Contoh

Terurai menjadi pecahan parsial:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Kami menulis fungsi rasional sebagai jumlah pecahan parsial sebagai berikut:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2 ).

Kemudian:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Mengganti 2 untuk x, kita mendapatkan bahwa:

7 = 4C, yaitu C = 7/4.

Mengganti 0 untuk x kita memiliki:

- 1 = –8A atau A = 1/8.

Mengganti nilai-nilai ini dalam persamaan sebelumnya dan berkembang, kita mendapatkan bahwa:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2DX ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Menyamakan koefisien, kami memperoleh sistem persamaan berikut:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Memecahkan sistem, kami memiliki:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Untuk ini, kami harus:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Kasus 3

Faktor q (x) adalah kuadrat linier, tanpa faktor kuadrat yang berulang. Dalam hal ini, faktor kuadrat (ax ² + bx + c) akan sesuai dengan pecahan parsial (Ax + B) / (ax ² + bx + c), di mana konstanta A dan B adalah yang akan ditentukan.

Contoh berikut menunjukkan bagaimana melanjutkan dalam kasus ini

Contoh

Terurai menjadi pecahan sederhana a (x + 1) / (x ³ - 1).

Pertama-tama, kita melanjutkan untuk memfaktorkan penyebut, yang menghasilkan:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Kita dapat mengamati bahwa (x ² + x + 1) adalah polinomial kuadrat tak tersederhanakan; artinya, ia tidak memiliki akar yang nyata. Dekomposisi menjadi pecahan parsial adalah sebagai berikut:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Dari sini kita mendapatkan persamaan berikut:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Menggunakan persamaan polinomial, kami memperoleh sistem berikut:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Dari sistem ini kita mendapatkan bahwa A = 2/3, B = - 2/3 dan C = 1/3. Mengganti, kami memiliki itu:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Kasus 4

Akhirnya, kasus 4 adalah kasus di mana faktor-faktor dari q (x) linier dan kuadrat, di mana beberapa faktor kuadrat linier diulang.

Dalam kasus ini, jika (ax ² + bx + c) adalah faktor kuadrat yang mengulangi "s" kali, maka pecahan parsial yang sesuai dengan faktor tersebut (ax ² + bx + c) adalah:

(A ₁ x + B) / (sumbu ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (ax ² + bx + c) ^s

Dimana A _s , A _s-1 ,…, A dan B _s , B _s-1 ,…, B adalah konstanta yang akan ditentukan.

Contoh

Kami ingin menguraikan fungsi rasional berikut menjadi pecahan parsial:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Karena x ² - 4x + 5 adalah faktor kuadrat yang tidak dapat direduksi, kita mendapatkan bahwa penguraiannya menjadi pecahan parsial diberikan oleh:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Menyederhanakan dan mengembangkan, kami memiliki:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Dari atas kita memiliki sistem persamaan berikut:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Saat menyelesaikan sistem, kita mendapatkan:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 dan E = - 3/5.

Dengan mengganti nilai yang diperoleh kita memiliki:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Aplikasi

Kalkulus integral

Pecahan parsial digunakan terutama untuk studi kalkulus integral. Berikut beberapa contoh cara membuat integral menggunakan pecahan parsial.

Contoh 1

Kami ingin menghitung integral dari:

Kita dapat melihat bahwa penyebut q (x) = (t + 2) ² (t + 1) terdiri dari faktor-faktor linier di mana salah satunya diulang; Inilah mengapa kami berada dalam kasus 2.

Kita harus:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Kami menulis ulang persamaan dan kami memiliki:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Jika t = - 1, kita punya:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C.

Jika t = - 2, hasilnya adalah:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Maka jika t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Mengganti nilai A dan C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Dari penjelasan di atas kita mendapatkan bahwa B = - 1.

Kami menulis ulang integral sebagai:

Kami melanjutkan untuk menyelesaikannya dengan metode substitusi:

Inilah hasilnya:

Contoh 2

Pecahkan integral berikut:

Dalam hal ini kita dapat memfaktorkan aq (x) = x ² - 4 sebagai q (x) = (x - 2) (x + 2). Kami jelas dalam kasus 1. Oleh karena itu:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Itu juga dapat dinyatakan sebagai:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Jika x = - 2, kita punya:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Dan jika x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Jadi, kita mendapatkan penyelesaian integral yang diberikan setara dengan menyelesaikan:

Hasilnya adalah:

Contoh 3

Pecahkan integral:

Kita memiliki q (x) = 9x ⁴ + x ² , yang dapat difaktorkan menjadi q (x) = x ² (9x ² + 1).

Kali ini kami memiliki faktor linier berulang dan faktor kuadrat; artinya, kami berada dalam kasus 3.

Kita harus:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Mengelompokkan dan menggunakan polinomial yang sama, kami memiliki:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A.

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Dari sistem persamaan ini kami memiliki:

D = - 9 dan C = 0

Dengan cara ini, kami memiliki:

Dengan menyelesaikan hal di atas, kami memiliki:

Hukum aksi massa

Aplikasi yang menarik dari pecahan parsial yang diterapkan pada kalkulus integral ditemukan dalam kimia, lebih tepatnya dalam hukum aksi massa.

Misalkan kita memiliki dua zat, A dan B, yang bergabung bersama dan membentuk zat C, sehingga turunan jumlah C terhadap waktu sebanding dengan hasil kali jumlah A dan B pada saat tertentu.

Kita dapat mengungkapkan hukum aksi massa sebagai berikut:

Dalam ekspresi ini α adalah jumlah awal gram yang sesuai dengan A dan β jumlah awal gram yang sesuai dengan B.

Selanjutnya r dan s melambangkan banyaknya gram A dan B yang bergabung membentuk r + s gram C. Untuk bagiannya, x melambangkan banyaknya gram zat C pada waktu t, dan K adalah konstanta proporsionalitas. Persamaan di atas dapat ditulis ulang sebagai:

Melakukan perubahan berikut:

Kami memiliki persamaan menjadi:

Dari ungkapan ini kita dapat memperoleh:

Dimana jika a ≠ b, pecahan parsial dapat digunakan untuk integrasi.

Contoh

Mari kita ambil contoh zat C yang muncul dari penggabungan zat A dengan B, sedemikian rupa sehingga terpenuhi hukum massa di mana nilai a dan b masing-masing adalah 8 dan 6. Berikan persamaan yang memberi kita nilai gram C sebagai fungsi waktu.

Mengganti nilai dalam hukum massa yang diberikan, kita memiliki:

Saat memisahkan variabel, kami memiliki:

Di sini 1 / (8 - x) (6 - x) dapat dituliskan sebagai penjumlahan pecahan parsial, sebagai berikut:

Jadi, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Jika kita mengganti 6 untuk x, kita memiliki B = 1/2; dan mengganti 8 untuk x, kita memiliki A = - 1/2.

Mengintegrasikan dengan pecahan parsial kami memiliki:

Hasilnya adalah:

Persamaan diferensial: persamaan logistik

Penerapan lain yang dapat diberikan pada pecahan parsial ada dalam persamaan diferensial logistik. Dalam model sederhana kita mendapatkan bahwa tingkat pertumbuhan suatu populasi sebanding dengan ukurannya; artinya:

Kasus ini ideal dan dianggap realistis sampai terjadi sumber daya yang tersedia dalam suatu sistem tidak mencukupi untuk mendukung penduduk.

Dalam situasi ini, hal yang paling masuk akal adalah berpikir bahwa ada kapasitas maksimum, yang akan kita sebut L, yang dapat dipertahankan oleh sistem, dan bahwa tingkat pertumbuhan sebanding dengan ukuran populasi dikalikan dengan ukuran yang tersedia. Argumen ini mengarah pada persamaan diferensial berikut:

Ekspresi ini disebut persamaan diferensial logistik. Ini adalah persamaan diferensial terpisah yang dapat diselesaikan dengan metode integrasi pecahan parsial.

Contoh

Contohnya adalah dengan mempertimbangkan populasi yang tumbuh sesuai dengan persamaan diferensial logistik berikut y '= 0,0004y (1000 - y), yang data awalnya adalah 400. Kita ingin mengetahui jumlah populasi pada waktu t = 2, di mana t diukur bertahun-tahun.

Jika kita menulis y 'dengan notasi Leibniz sebagai fungsi yang bergantung pada t, kita memiliki:

Integral di sisi kiri dapat diselesaikan dengan menggunakan metode integrasi pecahan parsial:

Kita bisa menulis ulang persamaan terakhir ini sebagai berikut:

- Mensubstitusikan y = 0 kita mendapatkan bahwa A sama dengan 1/1000.

- Mengganti y = 1000 kita mendapatkan bahwa B sama dengan 1/1000.

Dengan nilai-nilai ini integralnya adalah sebagai berikut:

Solusinya adalah:

Menggunakan data awal:

Saat membersihkan dan kami memiliki:

Maka kita dapatkan bahwa pada t = 2:

Kesimpulannya, setelah 2 tahun jumlah populasi menjadi sekitar 597,37.

Referensi

1. A, RA (2012). Matematika 1. Universidad de los Andes. Dewan Publikasi.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 integral terselesaikan. Universitas Eksperimental Nasional Tachira.
3. Leithold, L. (1992). Perhitungan dengan geometri analitik. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Perhitungan. Meksiko: Pendidikan Pearson.
5. Saenz, J. (nd). Kalkulus integral. Sisi miring.