ANJAK: METODE DAN CONTOH - MATEMATIKA - 2025

The faktorisasi adalah metode yang jumlahnya banyak dinyatakan sebagai perkalian faktor, yang mungkin angka atau huruf atau keduanya. Untuk memfaktorkan, faktor-faktor yang sama dengan suku-suku dikelompokkan bersama, dan dengan cara ini polinomial terurai menjadi beberapa polinomial.

Jadi, jika faktor-faktor tersebut dikalikan, hasilnya adalah polinomial asli. Memfaktorkan adalah metode yang sangat berguna jika Anda memiliki ekspresi aljabar, karena dapat diubah menjadi perkalian beberapa suku sederhana; misalnya: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Ada kasus di mana polinom tidak dapat difaktorkan karena tidak ada faktor persekutuan di antara suku-sukunya; dengan demikian, ekspresi aljabar ini hanya habis dibagi dengan sendirinya dan oleh 1. Contoh: x + y + z.

Dalam ekspresi aljabar, faktor persekutuan adalah pembagi persekutuan terbesar dari suku-suku yang menyusunnya.

Metode anjak piutang

Ada beberapa metode anjak piutang, yang diterapkan tergantung pada kasusnya. Beberapa di antaranya adalah sebagai berikut:

Memfaktorkan dengan faktor persekutuan

Dalam metode ini faktor-faktor yang umum diidentifikasi; yaitu, yang diulangi dalam istilah ekspresi. Kemudian properti distributif diterapkan, pembagi persekutuan terbesar diambil, dan pemfaktoran selesai.

Dengan kata lain, faktor persekutuan dari ekspresi diidentifikasi dan setiap suku dibagi dengannya; Suku-suku yang dihasilkan akan dikalikan dengan pembagi persekutuan terbesar untuk menyatakan faktorisasi.

Contoh 1

Faktorkan (b ² x) + (b ² y).

Larutan

Pertama-tama Anda mencari faktor persekutuan dari setiap suku, yang dalam hal ini adalah b ² , lalu bagi suku-suku tersebut dengan faktor persekutuan sebagai berikut:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Faktorisasi dinyatakan, mengalikan faktor persekutuan dengan suku-suku yang dihasilkan:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Contoh 2

Faktor (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Larutan

Dalam hal ini kita memiliki dua faktor yang berulang di setiap suku yaitu "a" dan "b", dan yang dipangkatkan. Untuk memfaktorkannya, kedua suku tersebut pertama kali diuraikan dalam bentuk panjangnya:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Dapat dilihat bahwa faktor "a" diulang hanya sekali dalam suku kedua, dan faktor "b" diulang dua kali dalam hal ini; jadi pada suku pertama hanya tersisa 2, faktor "a" dan faktor "b"; sedangkan di periode kedua hanya tersisa 3.

Oleh karena itu, waktu pengulangan "a" dan "b" ditulis dan dikalikan dengan faktor-faktor yang tersisa dari setiap suku, seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Pengelompokan anjak piutang

Karena tidak dalam semua kasus, pembagi persekutuan terbesar dari sebuah polinomial diekspresikan dengan jelas, maka perlu dilakukan langkah-langkah lain untuk dapat menulis ulang polinomial dan faktornya.

Salah satu langkahnya adalah dengan mengelompokkan suku polinom menjadi beberapa kelompok, kemudian menggunakan metode faktor persekutuan.

Contoh 1

Faktorkan ac + bc + ad + bd.

Larutan

Ada 4 faktor di mana dua faktor umum: suku pertama «c» dan suku kedua «d». Dengan cara ini kedua istilah tersebut dikelompokkan dan dipisahkan:

(ac + bc) + (ad + bd).

Sekarang dimungkinkan untuk menerapkan metode faktor persekutuan, membagi setiap suku dengan faktor persekutuannya dan kemudian mengalikan faktor persekutuan tersebut dengan suku-suku yang dihasilkan, seperti ini:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Sekarang kita mendapatkan binomial yang sama untuk kedua suku. Untuk memfaktorkannya, itu dikalikan dengan faktor-faktor yang tersisa; dengan cara itu Anda harus:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Anjak piutang inspeksi

Metode ini digunakan untuk memfaktorkan polinomial kuadrat, juga disebut trinomial; yaitu, yang terstruktur sebagai ax ² ± bx + c, di mana nilai "a" berbeda dari 1. Metode ini juga digunakan jika trinomial memiliki bentuk x ² ± bx + c dan nilai "a" = 1.

Contoh 1

Faktorkan x ² + 5x + 6.

Larutan

Kami memiliki trinomial kuadrat berbentuk x ² ± bx + c. Untuk memfaktorkannya, Anda harus terlebih dahulu menemukan dua angka yang, jika dikalikan, menghasilkan nilai «c» (yaitu, 6) dan jumlahnya sama dengan koefisien «b», yaitu 5. Angka-angka tersebut adalah 2 dan 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Dengan cara ini, ekspresi disederhanakan seperti ini:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Setiap istilah difaktorkan:

- Untuk (x ² + 2x) suku persekutuan diambil: x (x + 2)

- Untuk (3x + 6) = 3 (x + 2)

Jadi, ungkapannya adalah:

x (x +2) + 3 (x +2).

Karena kita memiliki persamaan binomial, untuk mengurangi ekspresi kita mengalikannya dengan suku-suku yang tersisa dan kita harus:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Contoh 2

Faktorkan 4a ² + 12a + 9 = 0.

Larutan

Kita memiliki trinomial kuadrat berbentuk ax ² ± bx + cy untuk memfaktorkannya, kalikan seluruh ekspresi dengan koefisien x ² ; dalam hal ini, 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Sekarang kita harus mencari dua bilangan yang, jika dikalikan satu sama lain, memberikan nilai "c" (yaitu 36) dan yang jika dijumlahkan menghasilkan koefisien dari suku "a", yaitu 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Dengan cara ini ungkapan tersebut ditulis ulang, dengan mempertimbangkan bahwa 4 ² a ² = 4a _* 4a. Oleh karena itu, properti distributif berlaku untuk setiap istilah:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Akhirnya, ekspresi tersebut dibagi dengan koefisien a ² ; yaitu, 4:

(4 + 6) _* (4 + 6) / 4 = ((4 + 6) / 2) _* ((4 + 6) / 2).

Ekspresinya adalah sebagai berikut:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Anjak dengan produk terkenal

Ada kasus di mana, untuk memfaktorkan polinomial sepenuhnya dengan metode di atas, ini menjadi proses yang sangat panjang.

Itulah sebabnya ekspresi dapat dikembangkan dengan formula produk yang luar biasa dan dengan demikian prosesnya menjadi lebih sederhana. Di antara produk terkenal yang paling banyak digunakan adalah:

- Selisih dua kotak: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Kuadrat sempurna dari suatu penjumlahan: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Kuadrat sempurna dari suatu perbedaan: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Selisih dua kubus: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Jumlah dua kubus: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

Contoh 1

Faktor (5 ² - x ² )

Larutan

Dalam hal ini ada perbedaan dua kotak; oleh karena itu formula produk yang luar biasa berlaku:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

Contoh 2

Faktorkan 16x ² + 40x + 25 ²

Larutan

Dalam kasus ini, Anda mendapatkan kuadrat sempurna dari sebuah penjumlahan, karena Anda dapat mengidentifikasi dua suku yang dikuadratkan, dan suku yang tersisa adalah hasil perkalian dua dengan akar kuadrat suku pertama, dengan akar kuadrat suku kedua.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Untuk memfaktorkan hanya akar kuadrat dari suku pertama dan ketiga yang dihitung:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Kemudian dua suku yang dihasilkan diekspresikan dipisahkan oleh tanda operasi, dan seluruh polinom dikuadratkan:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Contoh 3

Faktor 27a ³ - b ³

Larutan

Ekspresi tersebut mewakili pengurangan di mana dua faktor dipangkatkan. Untuk memfaktorkannya, digunakan rumus untuk perkalian penting dari selisih kubus, yaitu:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

Jadi, untuk memfaktorkan, akar pangkat tiga dari setiap suku binomial diambil dan dikalikan dengan kuadrat suku pertama, ditambah produk dari suku pertama dengan suku kedua, ditambah kuadrat suku kedua.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Memfaktorkan dengan aturan Ruffini

Metode ini digunakan jika Anda memiliki polinomial dengan derajat lebih besar dari dua, untuk menyederhanakan ekspresi menjadi beberapa polinomial derajat lebih kecil.

Contoh 1

Faktorkan Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Larutan

Pertama kita mencari angka yang merupakan pembagi dari 12, yang merupakan suku independen; Ini adalah ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, dan ± 12.

Kemudian x diganti dengan nilai-nilai ini, dari terendah ke tertinggi, dan dengan demikian ditentukan dengan nilai mana pembagian akan tepat; artinya, sisanya harus 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

Begitu seterusnya untuk setiap pembagi. Dalam kasus ini, faktor yang ditemukan adalah untuk x = -1 dan x = 2.

Sekarang metode Ruffini diterapkan, yang menurutnya koefisien ekspresi akan dibagi dengan faktor-faktor yang ditemukan sehingga pembagiannya tepat. Suku polinom diurutkan dari eksponen tertinggi ke terendah; dalam hal suku dengan derajat berikutnya hilang dalam barisan, 0 ditempatkan di tempatnya.

Koefisien terletak dalam skema seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Koefisien pertama diturunkan dan dikalikan dengan pembagi. Dalam hal ini, pembagi pertama adalah -1, dan hasilnya ditempatkan di kolom berikutnya. Kemudian nilai koefisien dengan hasil yang diperoleh dijumlahkan secara vertikal dan hasilnya diletakkan di bawah. Dengan cara ini proses diulangi sampai kolom terakhir.

Kemudian prosedur yang sama diulangi lagi, tetapi dengan pembagi kedua (yaitu 2) karena pernyataannya masih bisa disederhanakan.

Jadi, untuk setiap akar yang diperoleh polinomial akan memiliki suku (x - a), di mana "a" adalah nilai dari akar:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Di sisi lain, suku-suku ini harus dikalikan dengan sisa aturan Ruffini 1: 1 dan -6, yang merupakan faktor-faktor yang mewakili derajat. Dengan cara ini ekspresi yang terbentuk adalah: (x ² + x - 6).

Memperoleh hasil faktorisasi polinomial dengan metode Ruffini adalah:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Akhirnya, polinomial derajat 2 yang muncul pada persamaan sebelumnya dapat ditulis ulang sebagai (x + 3) (x-2). Oleh karena itu, faktorisasi terakhirnya adalah:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Referensi

1. Arthur Goodman, LH (1996). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
2. J, V. (2014). Bagaimana Mengajar Anak-Anak Tentang Memfaktorkan Polinomial.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Matematika Dasar Dengan Aplikasi.
4. Roelse, PL (1997). Metode linier untuk faktorisasi polinomial di atas medan hingga: teori dan implementasi. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Cincin dan Faktorisasi.